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高二数学选修4-4练习题(人教版)


高二数学坐标系与参数方程选修 高二数学坐标系与参数方程选修 4-4 练习题 坐标系与参数方程
[基础训练 A 组] 基础训练 一、选择题: 选择题: 1.曲线 ?

? x = ?2 + 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y = 1 ? 2t
B. (0,



A. (0,

2 1 )、 , 0) ( 5 2

1 1 )、 , 0) ( 5 2

C. (0, ?4)、 0) (8,

D. (0,

5 )、 0) (8, 9

2.下列在曲线 ?

? x = sin 2θ (θ 为参数) 上的点是( ? y = cos θ + sin θ
B. ( ?



A. (

1 , ? 2) 2

3 1 , ) 4 2

C. (2,

3)

D. (1,

3)


3.将参数方程 ?

? x = 2 + sin 2 θ ? (θ 为参数) 化为普通方程为( 2 ? y = sin θ ?
B.
2

A.

y = x?2

y = x+2

C.

y = x ? 2(2 ≤ x ≤ 3)


D.

y = x + 2(0 ≤ y ≤ 1)

4.化极坐标方程 ρ A. x
2

cos θ ? ρ = 0 为直角坐标方程为(
B. x

+ y 2 = 0或y = 1

=1

C. x

2

+ y 2 = 0或x = 1


D.

y =1

5.点 M 的直角坐标是 ( ?1, A. (2,

3) ,则点 M )
C. (2,

的极坐标为(

π
3

)

B. (2, ?

π
3

2π ) 3

D. (2, 2kπ )

+ ), (k ∈ Z ) 3

π

6.极坐标方程 ρ cos θ A.一条射线或一个圆 7.把方程 xy
1 ? x = t2 ? A. ? 1 ? y = t?2 ?

= 2sin 2θ

表示的曲线为(

B.两条直线

C.一条直线或一个圆 )

D.一个圆

= 1 化为以 t 参数的参数方程是(

? x = sin t ? B. ? 1 ? y = sin t ?

? x = cos t ? C. ? 1 ? y = cos t ?

? x = tan t ? D. ? 1 ? y = tan t ?


8.直线 ?

? x = 1 + 2t (t为参数) 被圆 x 2 + y 2 = 9 截得的弦长为( y = 2+t ?
B.

A.

12 5

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

二、填空题: 填空题: 9.直线 ?

? x = 3 + 4t (t为参数) 的斜率为________________________ ? y = 4 ? 5t

10.参数方程 ?

? x = et + e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________________ t ?t ? y = 2(e ? e ) ?

11.已知直线 l1 : ?

? x = 1 + 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y = 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y = 2 ? 4t



AB = ________________________
+ y sin α = 0 的极坐标方程为__________________________

12.直线 x cos α

13.已知曲线 ?

? x = 2 pt 2 ? y = 2 pt

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, ,
=____________________

且t1 + t2 = 0 ,那么 MN
14.直线 ?

? x = ?2 ? 2t ? ? y = 3 + 2t ?

(t为参数) 上与点 A(?2, 3) 的距离等于 2 的点的坐标是_________

三、解答题: 解答题: 15.已知点 P ( x, y ) 是圆 x (1)求 2 x +
2

+ y 2 = 2 y 上的动点.
(2)若 x +

y 的取值范围;

y + a ≥ 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

16.求直线 l1 : ?

?x = 1+ t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 = 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? y = ?5 + 3t ?

与 Q (1, ?5) 的距离.

[综合训练 B 组] 综合训练
一、选择题: 选择题: 1.直线 l 的参数方程为 ?

?x = a + t (t为参数) , l 上的点 P 对应的参数是 t1 ,则点 P 与 P (a, b) 1 1 ?y = b +t
2 t1 2

之间的距离是(

A.

t1

B.

2 t1

C.

2 t1

D.

1 ? ?x = t + 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ?y = 2 ?
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? ?x = 1+ 2 t ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x 2 + y 2 = 16 交于 A, B 两点, ? y = ?3 3 + 3 t ? ? 2


AB 的中点坐标为(
B. (?



A. (3, ?3) 4.圆 ρ

3,3)

C. (

3, ?3)


D. (3, ?

3)

= 5 cos θ ? 5 3 sin θ 的圆心坐标是(

A. ( ?5, ?

4π ) 3

B. ( ?5,

π
3

)

C. (5,

π
3

)

D. ( ?5,

5π ) 3

5.与参数方程为 ?

?x = t ? ? y = 2 1? t ?

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 B. x + = 1(0 ≤ x ≤ 1) 4
2



y2 A. x + =1 4
2

C. x

2

+

y2 = 1(0 ≤ y ≤ 2) 4

D. x

2

+

y2 = 1(0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2) 4


6.直线 ?

? x = ?2 + t (t为参数) 被圆 ( x ? 3) 2 + ( y + 1)2 = 25 所截得的弦长为( ? y = 1? t
B. 40

A.

98

1 4

C.

82


D.

93 + 4 3

7.极坐标方程 ρ cos 2θ A.极点 B.极轴

= 0 表示的曲线为(
C.一条直线

D.两条相交直线 )

8.在极坐标系中与圆 ρ

= 4 sin θ

相切的一条直线的方程为(

A. ρ cos θ

=2

B. ρ sin θ

=2

C. ρ

= 4 sin(θ + ) 3

π

D. ρ

= 4 sin(θ ? ) 3

π

二、填空题: 填空题:

1 ? ?x = 1? 9.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ≠ 0) ,则它的普通方程为________________ ? y = 1? t2 ?
10.直线 ?

? x = 3 + at (t为参数) 过定点______________________ ? y = ?1 + 4t
2

11.点 P(x,y)是椭圆 2 x

+ 3 y 2 = 12 上的一个动点,则 x + 2 y 的最大值为_____________ = tan θ ? 1 cos θ
,则曲线的直角坐标方程为________________

12.曲线的极坐标方程为 ρ 13.设

y = tx(t为参数) 则圆 x 2 + y 2 ? 4 y = 0 的参数方程为_______________________
= cos θ 与 ρ = sin θ 的两个圆的圆心距为__________________

14.极坐标方程分别为 ρ 三、解答题: 解答题:

x2 y 2 + = 1 上,求点 P 到直线 3 x ? 4 y = 24 的最大距离和最小距离. 15.点 P 在椭圆 16 9

16.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x 2 + 12 y 2 = 1 交于点 M , N , 2
的最小值及相应的 α 的值.



PM ? PN

[提高训练 C 组] 一、选择题: 1 把方程 xy = 1 化为以 t 参数的参数方程是(
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C ? x = cos t ? ? 1 ? y = cos t ? D ? x = tan t ? ? 1 ? y = tan t ?

A

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? ?x = t ? 1 ?y = t?2 ?
1 2

B

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? x = sin t ? ? 1 ? y = sin t ?

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? x = ?2 + 5t 曲线 ? (t为参数) 与坐标轴的交点是( ) ? y = 1 ? 2t 2 1 1 1 A (0, )、 , 0) ( ( (8, B (0, )、 , 0) C (0, ?4)、 0) 5 2 5 2 ? x = 1 + 2t (t为参数) 被圆 x 2 + y 2 = 9 截得的弦长为( ) 3 直线 ? y=2+t ? 2
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D

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5 (0, )、 0) (8, 9

A 4
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12 5

B

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12 5 5

C

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9 5 5

D

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9 10 5

? x = 4t 2 若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? ) (t为参数) 上,则 PF 等于( ? y = 4t B 3 C 4 D 5 A 2 5 极坐标方程 ρ cos 2θ = 0 表示的曲线为( ) B 极轴 C 一条直线 D 两条相交直线 A 极点 6 在极坐标系中与圆 ρ = 4 sin θ 相切的一条直线的方程为( ) π π A ρ cos θ = 2 B ρ sin θ = 2 C ρ = 4 sin(θ + ) D ρ = 4 sin(θ ? ) 3 3 二、填空题: ? x = 2pt 2 1 已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M, N 对应的参数分别为 t1和t 2, , 且t1 + t 2 = 0 ,那么 ? y = 2pt MN =_______________
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2

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? x = ?2 ? 2t ? 直线 ? (t为参数) 上与点 A(?2, 3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______ ? y = 3 + 2t ?

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3 4 5

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? x = 3sin θ + 4 cos θ 圆的参数方程为 ? (θ为参数) ,则此圆的半径为_______________ ? y = 4 sin θ ? 3cos θ 极坐标方程分别为 ρ = cos θ 与 ρ = sin θ 的两个圆的圆心距为_____________
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

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? x = t cos θ ? x = 4 + 2 cos α 直线 ? 与圆 ? 相切,则 θ = _______________ ? y = t sin θ ? y = 2 sin α 三、解答题: 1 t ? ?t ? x = 2 (e + e ) cos θ ? 1 分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y = 1 (e t ? e? t ) sin θ ? ? 2 (1) θ 为参数, t 为常数; 2) t 为参数, θ 为常数; (
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o c 王@ 王c王 新新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o 王@ 王c王 c 新新

10 , 0) 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x 2 + 12y 2 = 1 交于点 M, N , 2 求 PM ? PN 的值及相应的 α 的值 2
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o 王@ 王c王 c 新新

过点 P(

新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w

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练习题-答案 高二 A 级数学选修 4-4 练习题 答案 [基础训练 A 组] 基础训练 一、选择题:BBCC 选择题: 1.B 当x CCDB

2.B 3.C

2 1 1 ,而 y = 1 ? 2t ,即 y = ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y = 0 时, t = ,而 x = ?2 + 5t ,即 x = ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2 3 1 2 转化为普通方程: y = 1 + x ,当 x = ? 时, y = 4 2
= 0 时, t =
转化为普通方程:

y = x ? 2 ,但是 x ∈ [2, 3], y ∈ [0,1]

4.C ρ ( ρ cos θ 5.C

? 1) = 0, ρ = x 2 + y 2 = 0, 或ρ cos θ = x = 1 2π ), (k ∈ Z ) 都是极坐标 3

(2, 2kπ +

6.C

ρ cos θ = 4 sin θ cos θ , cos θ = 0, 或ρ = 4 sin θ ,即ρ 2 = 4 ρ sin θ
则θ

= kπ +

π
2

, 或 x2 + y2 = 4 y

7.D

xy = 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制

8.B

? x = 1 + 5t × ? x = 1 + 2t ? ? ?? ? ?y = 2+t ? y = 1 + 5t × ? ?

2 ? x = 1 + 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y = 2+t 5

x 2 + y 2 = 9 得 (1 + 2t )2 + (2 + t ) 2 = 9, 5t 2 + 8t ? 4 = 0

8 16 12 12 t1 ? t2 = (t1 + t2 ) 2 ? 4t1t2 = (? ) 2 + = ,弦长为 5 t1 ? t2 = 5 5 5 5 5
二、填空题: 填空题: 9. ?

5 4
2

k=

y ? 4 ?5t 5 = =? x ? 3 4t 4 y ? t ? x = et + e ? t ? x + 2 = 2e y y ? ? ?? ? ( x + )( x ? ) = 4 ?y t ?t 2 2 ? = e ?e ? x ? y = 2e ? t ?2 ? ? 2

10.

x y ? = 1, ( x ≥ 2) 4 16

2

11.

5 2 =

将?

? x = 1 + 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y = 5 得 t = ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB = 2 2 2 ? y = 2 ? 4t

12. θ

π
2



ρ cos θ cos α + ρ sin θ sin α = 0, cos(θ ? α ) = 0 ,取 θ ? α =

π
2

13. 4 p

t1

显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴,

MN = 2 p t1 ? t2 = 2 p 2t1

14. (?3, 4) ,或 (?1, 2) 三、解答题: 解答题:

1 2 (? 2t ) 2 + ( 2t )2 = ( 2) 2 , t 2 = , t = ± 2 2

15.解: (1)设圆的参数方程为 ?

? x = cos θ ? y = 1 + sin θ



(2) x +

y + a = cos θ + sin θ + 1 + a ≥ 0

2 x + y = 2 cos θ + sin θ + 1 = 5 sin(θ + ? ) + 1

∴ a ≥ ?(cos θ + sin θ ) ? 1 = ? 2 sin(θ + ) ? 1 4

π

∴? 5 + 1 ≤ 2 x + y ≤ 5 + 1 .
16.解:将 ?

∴ a ≥ ? 2 ?1

?x = 1+ t ? 代入 x ? y ? 2 3 = 0 得 t = 2 3 , ? y = ?5 + 3t ?

得 P (1 + 2

3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ = (2 3) 2 + 62 = 4 3 .

[综合训练 B 组] 综合训练 一、选择题:CDDA DCDA 选择题: 1.C 2.D 距离为

t12 + t12 = 2 t1

y = 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ≥ 2, 或x ≤ ?2 ,所以表示两条射线 1 3 2 t +t (1 + t ) 2 + (?3 3 + t ) = 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 = 0 , t1 + t2 = 8, 1 2 = 4 2 2 2 1 ? ?x = 1+ 2 × 4 ? ? ?x = 3 中点为 ? ?? ? ? y = ?3 3 + 3 × 4 ? y = ? 3 ? ? 2

3.D

4.A

圆心为 (

5 5 3 ,? ) 2 2

5.D

x2 = t,

y2 y2 = 1 ? t = 1 ? x2 , x2 + = 1, 而t ≥ 0, 0 ≤ 1 ? t ≤ 1, 得0 ≤ y ≤ 2 4 4

6.C

? 2 x = ?2 + 2t × x = ?2 + t ? ? ? 2 ?? ? ? y = 1? t ? y = 1 ? 2t × 2 ? ? 2

,把直线 ?

? x = ?2 + t 代入 ? y = 1? t

( x ? 3) 2 + ( y + 1)2 = 25 得 (?5 + t ) 2 + (2 ? t ) 2 = 25, t 2 ? 7t + 2 = 0

t1 ? t2 = (t1 + t2 )2 ? 4t1t2 = 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 = 82

7.D

ρ cos 2θ = 0, cos 2θ = 0,θ = kπ ±

π
4

,为两条相交直线

8.A

ρ = 4 sin θ 的普通方程为 x 2 + ( y ? 2) 2 = 4 , ρ cos θ = 2 的普通方程为 x = 2
圆x
2

+ ( y ? 2) 2 = 4 与直线 x = 2 显然相切

二、填空题: 填空题:

9.

y=

x( x ? 2) 1 1 1 2 x( x ? 2) ( x ≠ 1) 1 ? x = , t = , ∴ y = 1? ( ) = ( x ≠ 1) 2 ( x ? 1) t 1? x 1? x ( x ? 1) 2 y +1 4 = , ?( y + 1)a + 4 x ? 12 = 0 对于任何 a 都成立,则 x = 3, 且y = ?1 x?3 a
椭圆为

10. (3, ?1)

11.

22

x2 y 2 + = 1 ,设 P ( 6 cos θ , 2 sin θ ) , 6 4

x + 2 y = 6 cos θ + 4sin θ = 22 sin(θ + ? ) ≤ 22
12. x
2

=y

ρ = tan θ ?

1 sin θ = , ρ cos 2 θ = sin θ , ρ 2 cos 2 θ = ρ sin θ , 即 x 2 = y 2 cos θ cos θ 4t 1+ t2 y = tx ,即 y = 4t 2 1+ t2

4t ? ?x = 1+ t2 ? 13. ? 2 ? y = 4t ? 1+ t2 ?
14.

x 2 + (tx) 2 ? 4tx = 0 ,当 x = 0 时, y = 0 ;当 x ≠ 0 时, x =

; 而

2 2

圆心分别为 (

1 1 , 0) 和 (0, ) 2 2

三、解答题: 解答题:

15.解:设 P (4 cos θ ,3sin θ ) ,则 d 当 cos(θ

=

12 cos θ ? 12sin θ ? 24 5

12 2 cos(θ + ) ? 24 4 = 5

π



π 12 π 12 + ) = ?1 时, d max = (2 + 2) ;当 cos(θ + ) = 1 时, d min = (2 ? 2) . 4 5 4 5

? 10 ?x = + t cos α 16.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y = t sin α ?
3 (1 + sin 2 α )t 2 + ( 10 cos α )t + = 0 , 2
所以当 sin
2

α = 1 时,即 α =

π

2



3 2 则 PM ? PN = t1t 2 = 1 + sin 2 α 3 PM ? PN 的最小值为 . 4

[提高训练 C 组]

一、选择题 1 D xy = 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制 2 1 1 2 B 当 x = 0 时, t = ,而 y = 1 ? 2t ,即 y = ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y = 0 时, t = ,而 x = ?2 + 5t ,即 x = ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2 2 ? ? x = 1 + 5t × x = 1 + 2t ? ? ? x = 1 + 2t 5 ?? 3 B ,把直线 ? 代入 ? ?y = 2 + t ?y = 2 + t ? y = 1 + 5t × 1 ? 5 ?
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x 2 + y 2 = 9 得 (1 + 2t) 2 + (2 + t) 2 = 9, 5t 2 + 8t ? 4 = 0
8 16 12 12 t1 ? t 2 = (t1 + t 2 ) 2 ? 4t1 t 2 = (? )2 + = ,弦长为 5 t1 ? t 2 = 5 5 5 5 5 4 C 抛物线为 y 2 = 4x ,准线为 x = ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x = ?1 的距离,即为 4
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王@ 王c王 新新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o c

5 6

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D A

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π ,为两条相交直线 4 ρ = 4 sin θ 的普通方程为 x 2 + (y ? 2) 2 = 4 , ρ cos θ = 2 的普通方程为 x = 2 ρ cos 2θ = 0, cos 2θ = 0, θ = kπ ±

圆 x 2 + (y ? 2) 2 = 4 与直线 x = 2 显然相切 二、填空题 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴 1 4p t1
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o 王@ 王c王 c 新新

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即 x 轴, MN = 2p t1 ? t 2 = 2p 2t1
1 2 ,t = ± 2 2

2 3 4

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(?3, 4) ,或 (?1, 2) 5

(? 2t) 2 + ( 2t) 2 = ( 2) 2 , t 2 =

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? x = 3sin θ + 4 cos θ 由? 得 x 2 + y 2 = 25 y = 4 sin θ ? 3cos θ ?

2 1 1 圆心分别为 ( , 0) 和 (0, ) 2 2 2 π 5π 5 ,或 直线为 y = x tan θ ,圆为 (x ? 4)2 + y 2 = 4 ,作出图形,相切时, 6 6 π 5π 易知倾斜角为 ,或 6 6 三、解答题 1 解: 1)当 t = 0 时, y = 0, x = cos θ ,即 x ≤ 1, 且y = 0 ; (
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o 王@ 王c王 c 新新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o 王@ 王c王 c 新新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o 王@ 王c王 c 新新

y x , sin θ = 1 t 1 t (e + e? t ) (e ? e ? t ) 2 2 y2 x2 而 x 2 + y2 = 1 ,即 + =1 1 t 1 t ?t 2 ?t 2 (e + e ) (e ? e ) 4 4 1 (2)当 θ = kπ, k ∈ Z 时, y = 0 , x = ± (e t + e ? t ) ,即 x ≥ 1, 且y = 0 ; 2 π 1 t 当 θ = kπ + , k ∈ Z 时, x = 0 , y = ± (e ? e ? t ) ,即 x = 0 ; 2 2 2y 2x 2x ? t ? t ?t ? 2e = cos θ + sin θ ?e + e = cos θ kπ ? ? 当θ ≠ , k ∈ Z 时,得 ? ,即 ? 2 ?e t ? e? t = 2y ? 2e? t = 2x ? 2y ? ? sin θ cos θ sin θ ? ?

当 t ≠ 0 时, cos θ =

得 2e t ? 2e? t = ( 即

2y 2y 2x 2x + )( ? ) cos θ sin θ cos θ sin θ
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王kc新王c王 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o

y2 x2 ? =1 cos 2 θ sin 2 θ ? 10 ?x = + t cos α 2 解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y = t sin α ?
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(1 + sin 2 α )t 2 + ( 10 cos α)t +

3 =0 2

3 2 则 PM ? PN = t1 t 2 = 1 + sin 2 α π 3 π 所以当 sin 2 α = 1 时,即 α = , PM ? PN 的最小值为 ,此时 α = 2 4 2

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新


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