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2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00)

一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1.若 x ≥ 2 ,则函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值是 x ?1



2.已知函数 f ( x) ? e x .若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是



3.已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为前 n 项和,且满足 an 2 ? S2n?1 , n ? N ,
*

则数列 ?an ? 的通项 an

?



4.若函数 f ( x) ? ?

2 ? ?2 x ? 3x, x ≥ 0, 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? 2 x ? ax , x ? 0 ? ?



5.已知函数 f ( x) ? lg | x ? 是 .

10 | .若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m ,则 f ( m) 的值 3

6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ?

3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5



AB ? 3 , CD ? 5 , 7. 四面体 ABCD 中, 异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4, 夹角为 60 , 则四面体 ABCD 的体积为 .
o

8.若满足 ?ABC ?

?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围是



9.设集合 S ? ?1, 2,

,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的最小数,则这样的


集合对 ( A, B) 的个数是

10.如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ),那么称 m 为“好数” .问 1,2,3,?,2014 中“好 数”的个数为 . 二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

11.已知 a , b , c 为正实数, a ? b ? c ,
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

12.已知 F 1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 (0, b) ,直线 F1B a 2 b2 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M .若 1 MF2 ? F 1F 2 ,求双曲线 C 的离心率. 2

13. 如图, 已知 ?ABC 是锐角三角形, 以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D , 交边 AB 上的高 CH 于点 E . 以 BD AC 为直径的半圆交 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .

14. (1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个三角形区域涂上 红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并涂色可以使红色三角形个数 与蓝色三角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角形.将每个三 角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.在上述分割并涂色的所有 情形中,红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少?证明你的结论.


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