tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文章
当前位置:首页 >> 理学 >>

Aitken加速收敛算法

2012-2013(1)专业课程实践论文

Aitken 加速收敛方法

李阳 0818180221 R 数学 08-2 班 曹宏博 0818180220 R 数学 08-2 班

一、算法理论
Aitken 加速收敛算法基本原理: 对于收敛的迭代过程, 只要迭代足够多次, 就可以使结果达到任意的精度。 但有时迭代过程收敛缓慢,从而使计算量变得很大,因此,迭代过程的加速是 个重要的过程。 设 x 0 是跟 x * 的某个预测值,只迭代公式校正一次 x1 ? f (x 0 ) ,而由微分中 值定理有: x1 - x * 假定 到
x2 ?
x ?
*

? f (t) ? (x 0 - x )
' *

(其中 t 介于 x * 与 x 0 之间) 。
? L ? ( x0 - x ) 得
*

f

'

? x ? 改变不大,近似的取某个近似值 L ,则由 x1 - x *
L ? x0 1- L

x1 1- L

,























x1 1- L

-

x0 ? L 1- L

? x1 ?

L ? ? x1 - x 0 ? 1- L

是比 x 1 更好的近似值,将每得到一次改进值

? 算做一步,并用 x k 和 x k 分别表示第 K 步的校正值和改进值,则加速迭代计算

方案可表述如下:
? 校正: x k ? 1

? f ?xk

?
? L ? ? x k ?1 - x k 1- L
f ? ? x ? 的有关信息

改进: x k ?1

? ? x k ?1 ?

?
L,实

然而上述加速公式有个缺点,由于其中含有倒数 际使用不便。

仍设已知 x * 的某个猜测值为 x 0 ,将校正值 x1 ? f ? x 0 ? ,再校正一次,又得
x 2 ? f ? x1 ? 。由于 x 2 - x ? L ? x1 - x
*

?

*

? 将它与式

x ?
*

x1 1- L

-

L ? x0 1- L

联立,消去未知 L,然后有 这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的信

x ? x2 *

? x 2 - x1 ?2
x 0 - 2 ? x1 ? x 2

息,但是它需要用 2 次迭代值进行加工,如果将得到一次改进值作为一步,则 计算公式如下:

? 校正: x k ?1 ? f ? x k ?
? 再校正: x k?? 1 ? ? f ? x k ? 1 ? 改进: x k ? 1 ? x k?? 1 ?

? x k??? 1 - x k? ? 1 ?2
? ? x k?? 1 - 2 ? x k ? 1 ? x k

上述处理过程称为 Aitken 方法。如下用 2 个题说明: 例题(1)用 Aitken 算法通过编程计算 x 3 - x - 1 ?
0

在[1,2]内的近似根,要
- 1 ? 0 在[1,

求精度达到 0 . 0001 。例题(2)用 Aitken 算法通过编程计算 x 3 - x 2 2]内的近似根,要求精度达到 0 . 001 。

二、算法框图
开始

定义函数 S(t)=t*t*t-1

输入迭代初始值x0,控制 精度e,循环次数I,i=0

fabs(x0*x0*x0-x0-1)>e


i++; x1=s(x0);x2=s(x1); x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x22*x1+pow((x1+1),1.0/3.

fabs(x0*x0*x0-x0-1)>e 输出近似根 x迭代次数e



x=x0;

结束

三、算法程序
(1)题程序: #include<iostream> #include<cmath> double s(double t) { return (t*t*t-1); } using namespace std; int main() { int i; double x,x0,x1,x2,e; cout<<"请输入迭代初始值 x0"<<",和控制精度 e"<<endl; cin>>x0>>e; i=0; while(fabs(x0*x0*x0-x0-1)>e) { i++; x1=s(x0); x2=s(x1); x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow((x1+1),1.0/3.0)); } x=x0; cout<<"近似根 x="<<x<<endl; cout<<"所需迭代次数 i="<<i<<endl; return 0; }

四、算法实现
例 1. 用 Aitken 算法通过编程计算 x 3 - x - 1 ? 到 0 . 0001 。 解:运行程序 (1)输入 x 0 的初始值是 1.5 以及精度值 0.0001.然后按回车。 (2)得到结果近似根 x ? 1.32472,所需迭代次数为 5 次。 当精度达到 0.0001 时,程序运行结果如下图:
0

在[1,2]内的近似根, 要求精度达

Aitken 迭代法是将迭代值在迭代一次, 此时对于发散的 x k ? 1 式,经过 Aitken 迭代法处理后却获得了相当好的收敛性。

? x k - 1 迭代公
3

例 2. 用 Aitken 算法通过编程计算 x 3 - x 2 - 1 ? 0 在[1,2]内的近似根, 要求精度 达到 0.001。 解: 运行程序 (1)首先输入 x 0 的初始值是 1.3,以及精度值 0.001 按回车。 (2)得到结果近似根 x
? 1.46557,迭代次数为

2次

当精度达到 0.001 时,程序运行结果如下图:


推荐相关:

Aitken加速收敛算法.doc

Aitken加速收敛算法 - 2012-2013(1)专业课程实践论文 Aitk

5_6+迭代法的收敛阶和AitKen加速方法1.pdf

5_6+迭代法的收敛阶和AitKen加速方法1 - §6 迭代法的收敛阶和 AitKen 加速方法 一、 迭代法的收敛阶 定义:对于方程 x = g ( x ) ,若迭代过程 xk +1...

计算方法复习题.doc

x ? 10 ?3) 此迭代的收敛阶是多少, 并说明理由; (3)此迭代的收敛阶是多少,并说明理由 (4)写出 Aitken 加速收敛算法. 3 五. (7 分)求方程 x ? 1...

方程的加速迭代法.doc

方程的加速迭代法 - 2013-2014(1)专业课程实践论文 题目:方程的加速迭代方法 一、算法理论 Aitken加速迭代算法基本原理: 对于收敛的迭代过程, 只要迭代足够多次, ...

幂法求解矩阵主特征值的加速方法研究.doc

所以我们要用加速的方法来加速收敛, 加速方法包括原点平移加速、Rayleigh 商加速和 Aitken 加速算法。 关键词:幂法;原点平移加速;Rayleigh 商加速;Aitken 加速算法 ...

迭代加速技术.doc

2 二、应用计算方法的基本原理 2.1.Aitken 加速法 2.1.1 算法描述 Aitken ...根据两表结果知,在 迭代误差相同的情况下,Aitken 迭代加速法可加速收敛过程,更...

计算方法 课件2.3-2.4_图文.pdf

可使Picard迭代法的收敛加速 ? 可使某些发散的迭代法收敛 17 算法2.4 Aitken 加速迭代法 18 Aitken 加速迭代公式示例 3 例2.6 应用Aitken加速迭代法求方程 x ...

数值计算方法 (第2章 非线性方程与方程组的数值解法)_图文.ppt

? ? 1. Aitken加速收敛迭代法 2. Steffensen加速收敛方法 38 Aitken加速收敛...3 Newton迭代法算法框图 83 Newton迭代法算法 (1 ) (2 ) (3) 输入 x 0...

第四章 解非线性方程的迭代法_图文.ppt

此时,迭代法是m阶收敛的. 下面介绍Aitken加速算法,此方法可对线性收敛的简

第四章解非线性方程的迭代法_图文.ppt

此时,迭代法是m阶收敛的. 下面介绍Aitken加速算法,此方法可对线性收敛的简

大学数值计算方法(第2章 非线性方程与方程组的数值解法....ppt

5 等步长扫描算法算法:(求方程 f ( x) ? 0的有根区间) (1) 输入 a, ...? ? 1. Aitken加速收敛迭代法 2. Steffensen加速收敛方法 37 Aitken加速收敛...

计算方法2_图文.ppt

3、根据函数单调性判断 §2.1 一、算法 二分法(对分法) 设 f ( x) 在[...线性收敛序列的Aitken加速法 1 c 设 是一个线性收敛的序列,即有 小于1的正常...

第四章 解非线性方程的迭代法.ppt

0 此时,迭代法是m阶收敛的. 下面介绍Aitken加速算法,此方法可对线性收敛的简 单迭代法起到加速作用,而且可应用于其它数值方法中。 由于 xk+1-?=??(?1)(xk...

解非线性方程的迭代法_图文.ppt

因此,当?(x)满足条件(4.4)时,简单迭代法是m阶收敛的. 下面介绍Aitken加速算法,此方法可对线性收敛的简 单迭代法起到加速作用,而且可应用于其它数值方法中。 ...

计算方法第四章_图文.ppt

1 ?? §4.1 一、算法 二分法(对分法) 设 f (x) 在[a,b]上连续,f(a...ek 则由埃特金(Aitken)加速公式产生的数列?xk ? 比数列{xk}较快的收敛于根...

数值计算方法第七章_图文.ppt

?5 解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.1 所示。 表 7.1.1 例 7...加速收敛方法,容易先想 到 Aitken 加速方法。有前幂法论证可知 ?2 k mk ? ...

计算方法与软件应用6.doc

值,那么可以试算,当试验值选择得比较合适,收敛算法生成的点列将很快逼近不动点...2? ( x k ) + ?[? ( x k )] (4.13) 称这种加速的方法为 Aitken ...

Aitken方法的改进及Matlab实现_图文.pdf

二分法预报、改进的Aitken迭代校正的方法,构造了一种非线性方程求根的一种新算法...法收敛速度慢,并且有时会出 现发散现象;随后出现的改进迭代法加快收敛速度,...

计算方法课件2_图文.pdf

2012-3-2 zhwang@nwpu.edu.cn 4 §2.2 二分法(对分法)一、算法设 f (...2012-3-2 zhwang@nwpu.edu.cn 26 线性收敛序列的Aitken加速法(续) 当k充分...

数值计算方法 (第2章 非线性方程与方程组的数值解法)_图文.ppt

6 等步长扫描算法算法:(求方程 f ( x) = 0的有根区间) (1) 输入 a, ...此方法称为Aitken加速收敛方法。 39 Aitken加速收敛迭代法 概述 加速收敛迭代法...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com