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函 数 复 习 提 纲













(一) :函 数 的 概 念 1、映射 f : A ? B 的概念。 2、函数 f : A ? B 是特殊的映射。特别定义域 A 和值域 B 都 是非空数集! 3. 同一函数的概念。当两个函数的定义域和对应法则相同 时,它们一定为同一函数。 4.分段函数的概念。并集。 5,复合函数:内函数的值域为外函数的定义域。 (二)定义域, 解析式,值域的求法 1. 求函数定义域的常用方法 (1)根据解析式有意义求定义域 (2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。 (3)复合函数的定义域。若已知 f ( x) 的定义域为 [a , b ] , 其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域由不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可; 若已 知
f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相当于当 x ?[a, b]

时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 2.求函数值域(最值)的方法 (1) 、配方法——二次函数

⑵、换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求 值域的函数,运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围
y? x?2 x?3

的值域为____

⑶、分离常数法 3.求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法——已知所求函数的类型 (2) 代换 (配凑) 法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式, f ( x) 求 的表达式。 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的值域。 (3) 方程的思想——已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数 的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关 于
f ( x)

及 另 外 一 个 函 数 的 方 程 组 。 例 : 已 知
1? )

3 f (x ?

,求 ( f 2 ? ( x1 ? )x f2 x) 的解析式

(4)赋值法——已知含有抽象函数的恒等式,求 f ( x) 例:已知 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2xy, f (1) ? 2, 求f (?3) (三) :函 数 的 性 质 1、函数的单调性:⑴定义及变式①
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ( x) 在
x1 x2, ? D



x1 ? x2,



D 上为单调递增。② f ? x1 ? ? f ? x2 ? , x1 x2, ? D

且 f ( x) 在 D 上为单调递增 ? x1 ? x2,



f ( x)

在 D 上 为 单 调 递 增 , x1 ? x2, ,
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

x1 x2, ? D ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?



x1 , x2 ? ? a, b ?

? 0 ? f ? x ? 在 ? a, b ?

上 是 增 函 数

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ? f ? x ? 在 ? a, b ? 上是减函数

(2)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ① 在解答题中常用: 定义法:取值――作差――变 形――定号 ② 在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等 ③ 复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减, 如:函数 y ? lo g1 ? ? x2
2

? 2x? 的单调递增区间是 _______

特别提醒:求单调区间时,勿忘定义域,写 成区间。 二是:在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ? ” 和“或”; 三是:单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等 式表示. (3)单调性与奇偶性的应用(①比较大小;②解不等 式;③求参数范围). 2.函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关 于原点对称!

(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式 较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性) : ① 定义法: ②图像法:奇函数的图象关于原点对
x

称;偶函数的图象关于 y 轴对称。如,函数f ( x) ? 4 图像关于( )对称

?1 的 2x

(3)函数奇偶性的性质: ① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其 单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若 有单调性,则其单调性恰恰相反. ②若 f ( x) 为偶函数, f (? x) ? 则 若定义在 f ( x) ? f (| x |) .如:
3

R

上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,且 f ( 1 ) =2,则不 等 式
f(
1 8

l x) ?o2

g的







______.

③若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .④,既 奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对 称的任意一个数集).
如果f ( x)为奇函数则:(1)f(-x+a)=f(x-a) (2)f(x)图像关于(0,0)对称 f(x+a)的图像关于(-a,0)对称 如果f ( x ? a)为奇函数则:(1)f(-x+a)=-f(x+a) (2)f(x)图像关于(a,0)对称 f(x+a)的图像关于(0,0)对称

如果f ( x)为偶函数则:(1)f(-x+a)=f(x-a) (2)f(x)图像关于x=0对称, f(x+a)的图像关于x=-a对称 如果f ( x ? a)为偶函数则:(1)f(-x+a)=f(x+a) (2)f(x)图像关于x=a对称, f(x+a)的图像关于x=0对称


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