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(北师大版)2018-2019年度高中数学必修2同步习题-:第一章立体几何初步 1.1.1(含解析)

§1 简单几何体 1.1 1.下列说法正确的是( ) 简单旋转体 A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 答案:D 2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的 ( ) 解析:选项 B 中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项 C 中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆 锥的组合体;选项 D 中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体. 答案:A 3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是( A.圆锥 答案:C B.圆柱 C.球 D.圆台 ) 4.AB 为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过 AB 和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是 ( ) B.矩形 D.以上都不对 A.三角形 C.梯形 解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过 AB 和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面 的交线 CD 必过上底面圆心,且 CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接 A,C(或 B,D)两点的线是曲线,不可 能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选 D. 答案:D 5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是( A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台 C.一个圆锥 D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 解析: ) 如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥 AO 的底部挖去一个同底的圆锥 BO. 答案:D 6.点 O1 为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过 O1 与底面平行的截面面积是底面面积的( A. 3 B. 3 C. 4 D. 9 1 2 1 1 ) 解析:如图所示,由题意知 SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3, ∴ ☉1 ∶ ☉O=1∶9,故选 D. 答案:D 7.下列说法中错误的是 . ①过圆锥顶点的截面是等腰三角形; ②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形; ③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个. 答案:② 8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为 r,则其轴截面的面积为 . 解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高 为 r,所以 S= 2 × 22 = 2. 答案:r2 9.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为 30°,母线的长为 2, 则其底面面积为 . 1 解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面 ABC,设圆锥的底面半径为 r,底面圆心为 O. ∵△ABC 为等腰三角形, ∴△ABO 为直角三角形. 又∠BAO=30°,∴BO=r= 2 = 2 . 1 2 ∴底面圆 O 的面积为 S=πr2= 2. 答案: 2 π π 10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是 1∶4,母线长是 10 cm,求这个圆锥的 母线长. 分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间 的关系. 解:设圆锥的母线长为 y cm,圆台上、下底面的半径分别为 x cm,4x cm. 作圆锥过轴的截面如图所示. 在 Rt△SOA 中,O'A'∥OA,则 = , 即 = 4 , 解得y= 3 . 故圆锥的母线长为 3 cm. 40 -10 40 ' '' 11.圆锥的底面半径为 r,母线长是底面半径的 3 倍,在底面圆周上有一点 A,求一个动点 P 自点 A 出发在侧面上绕一周回到点 A 的最短路程. 解:沿圆锥的母线 SA 将侧面展开,如图所示. 则线段 AA1 就是所求的最短路程. ∵弧 A1A 的长为 2πr,SA=3r, 设弧 A1A 所对的圆心角为 α, ∴ 180° π·3r=2πr,∴α=120°. ∴AA1=SA·cos 30°×2=3r× 2 × 2 = 3 3, 即所求最短路程是 3 3. 3

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