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贵州省安顺市平坝第一高级中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题理(新)


平坝第一高级中学 2014-2015 第二学期半期考试题 高二数学(理科)
(时间 120 分钟,分值 150 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要 求的,请将所选答案写在答题卡上) (1)已知 i 为虚数单位,复数 z ? ?2 ? i 的共轭复数为 (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) ?2 ? i (2)函数 y ? x 2 在区间[1,2]上的平均变化率为 (D) 5 f ( x ? x ) ? f ( x0 ) 0 ? (3)若函数 f ( x) 在 x0 处可导,且 f / ( x0 ) ? 1 , 则 lim x ?0 x (A) 1 (B) ?1 (C) 2 (D) ?2 (A) 2 (C) 4 (4)已知 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 ,若 f ?(?1) ? 3 ,则 a 的值为 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (B) 3 (D) ?2 ? i

1 的零点个数为 x (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3 (6)已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,则 f ( x) 的切线斜率的最小值是 (A) ?3 (B) 0 (C) 3 (D) 6 (7)函数 y ? f ( x) 在点 P(5, f (5)) 处的切线方程为 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f / (5) ? (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2 (8)若复数 z ? a ?1 ? (a ? 1)i (a ? R) 是纯 虚数,则 (A) a ? 1 (B) a ? ?1 (C) a ? ?1 (D) a ? 1 且 a ? ?1 (9)曲线 y ? sin x ( x ?[0, 2? ]) 与 x 轴所围成图形的面积是 (A) 0 (B) 2 (C) ? (D) 4
(5)函数 f ( x) ? ln x ? (10)已知函数 f ( x) ? e ? ex ? 2 在区间 (??, a) 上是减函数,则
x

(A) a ? 1 (11)设 f (n) ?

(B) a ? 1

(C) a ? 1

(D) a ? 1

1 1 1 1 ? ? ? ?? (n ? N * ) ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 1 1 (A) (B) 2n ? 1 2n ? 2

1

(C)

1 1 ? 2n ? 1 2n ? 2

(D)

1 1 ? 2n ? 1 2n ? 2

(12)若曲线 C1 : y ? ax2 (a ? 0) 与曲线 C2 : y ? ex 在 (0, ??) 上有交点,则 a 的取值范围 为 (A) [

e2 , ??) 4

(B) [

e2 , ??) 8

(C) (0,

e2 ] 4

(D) (0,

e2 ] 8

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分, 请将答案填在答题卷相应空格上) ( 13 )复数 z ? a ? ( a ? 5) i 在复平面上对应的点位于第四象限,则实数 a 的取值范围 是 (14) .

?

2

0

4 ? x 2 dx ?



(15)若数列 {an } 是等差数列, bn ?

1 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ,则数列 {bn } 也是等差数列.类 n
时,数

比上述性质,若数列 {cn } 是各项都为正数的等比数列,则 dn ? 列 {d n } 也是等比数列. (16)若函数 f ( x) ?

1 2 x ? 4 ln x ? 1 在 其定义域内的一个子区间 ? k ? 2, k ? 2? 内不是单调 2


函数,则实数 k 的取值范围是

三、解答题: (本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) (17) (本小题满分 10 分) 已知复数 z ? (1 ? i) ? 3 ? 6i.
2

(Ⅰ)求 z 及 z ; (Ⅱ)若 z ? az ? b ? ?8 ? 20i ,求实数 a , b 的值.
2

(18) (本小题满分 12 分) 计算由曲线 y ?

1 2 x , y ? x 所围成的平面图形的面积. 3

2

(19) (本小题满分 12 分) 如图,一矩形铁皮的长为 16cm ,宽为 10cm ,在四个角上截去四个相同的小正方形, 制 成一个无盖的小盒子, (Ⅰ)求出盒子容积 V ( x) 关于小正方形的边长 x 的函数解析式,并指出定义域; (Ⅱ)小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?并求 出最大容积.

(20) (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ?1 在 x ? 1 处取得极值, 且在 (0, ?1) 点处的切线与直线
2

2 x ? y ? 0 平行.
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? xf ( x) ? 2 x 的单调递增区间及极值.

(21) (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, an ?1 ?

an (n ? N ? ). 1 ? 2an

(Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想数列 ?an ? 的通项公式 an的表达式; (Ⅱ)用适当的方法证明你的猜想.

3

(22) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数. (Ⅰ)证明: f ( x ) 是 R 上的奇函数; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? e ? x ? m ? 1在( 上恒成立,求实数 m 的取值 0, ? ?) 范围.

4


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