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椭圆互相垂直的切线交点轨迹的性质探析_图文

《 数学之友》  

2 0 1 3 年第 2 4 期 

椭圆互相垂直的切线交点轨迹的性质探析 
解 题 探 索 
何 明 
( 江苏省海安县教育局教研室 , 2 2 6 6 0 0 )  

y:k x±  

.  

1   问题  
我 们知 道 , 在 平 面直角 坐标 系 x O y中 , 椭 圆  +  


即Y — k x =± ̄ /  。 + b   , ① 

于是斜率为一 ÷的椭圆的 切线方程为 
y一   ±

, 2=1 ( 口>b>O ) 的 辅 助 圆 有小 辅 助 圆 。+ Y  =b 。  

√   “ 。 ,  

和大辅 助 圆  +y 2 =口   . 那 么 圆  +Y  =口  + b  与 

即  +  =±√ Ⅱ   + 6   后   , ② 
①  + ②  ,   得( 1 + k   ) (   +   )=( 1+ k   ) ( 口 。+ b 。 ) ,  
所 以 。 + Y   = o  + b   .  

椭 圆  + 告= 1 ( o > b > 0 ) 有 没 有 关 系 呢 ?  
2 猜想 
’   2  

( 2 ) 若有 一 条切 线 的 斜 率不 存 在 , 则 点 P坐标 
=1  
D  
A? . . : : ’ ~   —?   … 。 B  

在 研 究 椭 圆  +  
U   U 

( 口>b >0 ) 的“ 范 围” 时, 曾 经 

- - . q ,   、  

(   , ) , ) 满 足   ± ? ’ 均 满 足  + y 2 = a 2 + 6 z .   L Y   土 0’  
故两 切 线 交 点 P 的 轨 迹 方 程 为  +   =  
+6   .  

涉 及 到 一个 矩 形 , 也 是 该 椭 圆  的 一 个外 切 矩 形 , 它是 由直 线 

证 法二 : 设 P( x 0 , Y o ) ,  

=± 口和 Y= O r   b围成 的 , 即 图 中所 示矩 形 A B C D .  

( 1 ) 若 一条 切线 的斜率 为 k ,   则 切线方程 为 , , =  (  一 ‰)+ , , 0 .  
代人 椭 圆方 程 , 消去 Y后 ,   得( 口   +b   )  。一2 a   k ( k x 0一Y 0 )   +口   (   0一  
Y o )  一 a 2 b   = 0,  

显然 , 圆  +Y   =口  + b  是 矩 形 A B C D 的外 接 
2   2  

圆, 于是 猜 想 : 椭 圆  +   =1 ( 口>b> 0 ) 的任 意 外 
¨   U 

切矩形有同一个外接圆   + y   = 口   + b   .   3 证 明 

于是  = a 4 k   (   一 Y o )  一( 0   后   + b   ) [ 口   ( k x o  


“ 猜想 ” 可 以等价 转化 为 : 在 平面 直角 坐标 系 

Y 0 )  一a Z b   ]= O ,  
化简, 并整 理 ,   得( 口  一   2 0 ) k  + 2 x 0 Y 0 k+ b   一 y 2 0 = 0 .  

x O y 中, 作 椭圆  + 告= 1 ( 0 > b > o ) 的 两条互相垂  
直 的切 线 , 则两切 线 交 点 P 的轨迹 方程 为  + Y   =  
Ⅱ  +b   .  

显然 , 为使 上述 关 于 k的方 程 的解 为两 条 互 相  垂直 的切 线 的斜 率 , 则需 满足 


:一1 ,  
一 X0  

证法一 : ( 1 ) 若两条切线的斜率均存在 ,  
设一 条切 线 的方程 为 Y= k x+m,  

即  +  2 =0  + b   .   (%)  

( 2 ) 若有一条切线的斜率不存在 ,  

则 由 i x +  l , 消 去 y ,  
【 y: k x+ m,  

则 J .   。  ± ? ’ 均 满 足 (  ) .  
L Y o= ±b.  

得(2 k  + b   )   + 2 a   k m x+0   ( m  一b   )= 0 ,  

综上, 两切 线交点P (  , y o ) 满足《+  = 口   + 6   .  
4 性 质 
由上述过程 , 我们得到 :  
?

再由△= 4 a   [ a 2 k   r t z 2 一(  j }   + 6   ) ( m 2 一 b   ) ] = 0 ,  
得 m= ±  口   后 。 +b 。 .  

所 以斜 率为 k的椭 圆 的切线 方程 为 

7 5?  

《 数学之友》  

2 0 1 3年第 2 4期 

性质 1 在平面直 角坐标 系 x O y中 , 作椭 圆  
口 


> 4 ̄ / 0   6   I ] }   + 2 a   b   k   + a 2 b   .,   —————————■—■ ———————一 = 4ab .  
1 + 

2  

+   =1 ( o>b> 0 ) 的两 条互 相 垂 直 的切 线 , 则两 切 


当有一 组 对 边 所 在 直 线 的 斜 率 不 存 在 时 , I s  
4a b .  
. .

线交 点 . P的轨 迹方 程为  + Y   = a   +b   .  

2  



2 

我们把椭圆互相垂直 的切线围成的矩形叫做该  椭 圆的外 切矩形 . 那 么外 切矩形 还有 以下性 质 :  
. ,

故求 椭 圆  +   =1 ( 0>b>0 ) 的外 切 矩 形 面 

积的最大值为 2 ( a   + b 。 ) , 最小值为 4 a b .  
. .

2  





2  

性 质 2 椭 圆  +   =l ( 0>b > o ) 的外 切 矩形 
U   t _ ,  

2  



2  

从上述过程中, 可以看出, 椭圆  + 告= 1 ( 口 >  
口  0 

面积的最大值为 2 ( a   + b 。 ) , 最小值为 4 a b .  
. .

b >0 ) 有 唯 一 的外 切正 方 形 , 且 四条 边 所 在 直线 的  斜 率分别 为 1和 一1 , 顶点 为 圆  + y 2 =a  +b   与 坐  标 轴 的交点 , 这时 , 矩 形 的 面积 取 得 最 大值 , 且 为 圆 
+ Y   =a  + b  内接矩 形 的最 大 面积 ; 但 要 注意 , 外  切矩形 的最小 面积并 非 圆  + Y   =a  +b  内接矩 形 

2  





2  

性 质 3 椭 圆  +   =1 ( 。>b> 0 ) 的外 切 矩形 
U   U 

边长 的最大值 为 4 口 , 最 小值 为 2 6 .  
. .

2  





2  

性质4 椭圆  + 鲁= 1 ( 。 > b > 0 ) 的外 切矩 形  
U   U 

的最小 面积 ( 事实上 , 取不到最小 面积) , 而 是 边 平  行 于 坐标 轴 的矩形 .  

周长 的最 大值 为 4  
b ) .  

( 口   + b   ) , 最 小值 为 4 ( n+  

下面以证 明性质 2为例 :  

5 迁 移 

设椭圆   a   + 旨 D   = 1 ( 口 > b > 0 ) 的 外切矩形一组   5 . 1  迁 移 到双曲 线  
对 边所 在直 线 的 斜 率 为 k , 则 另 一 组 对 边 所 在 直 线 

在 平 面直角 坐标 系 x O y中 , 比较椭 圆- T+     Y =1  
2  
. ,

的斜率为 一 ÷.  
由前 面讨 论 知 , 斜 率 为 后的椭 圆  +   =1 ( o   >b> 0 ) 的 切 线方 程 为 Y=   ±   0 。   +b   , 它 们 之  间的距离 为 
√ 1 +k ‘  

2  


( 口 > b > 0 ) 和双曲 线- 7一   苦= 1 ( 口 > b > 0 ) , 可以发  
现, 双 曲线 的 方 程 只 是 将 椭 圆 方 程 中 的 “ b  ’ 换 成 



b   ’ , 于是 , 可 以猜 想 :  

在平 面直 角坐标 系 x O y中 , 作 双 曲线  一   =1   , 即外切 矩形 的一条 边 长 为 
( a>b>0 ) 的两 条 互相 垂 直 的切线 , 则 两切 线 的交 

√1+  



, 所 以另一 条边 长 为 

点为 P 的轨 迹方 程为  +y 2 = a  一 b   .  
、 / 1   +   k .  

证明 : 设 一条切线 的方程 为 Y:   +m,  

于是 外切 矩形 的面 积 

S一 2 ,  ̄ / 婴 a 2 k 2 + b  ̄ .  


则 由 f  一  1 , 消 去 y ,  
 



【 , , =  + m,  

得( 6  一 a 2 k   )   一 2 a 。 k m x— a   ( m  + b   )= 0 ,   再 由△= 4 a 。 [ a 2 k   m 2 +( b 。 一 a 2  ) ( m   + b   ) ]= O ,  
得,  = ±  口   一b   .  




 
 


[ f  

:  
1+k  

≤ 

±   ±(  ±  
1+ 

所 以斜率 为 k的椭圆 的切线 方程 为 



2 ( a  + b   ) ,  

Y =   ±√ 口   后   一 b 。 ,  

( 当且 仅 当 k   =1时 , 取 “=” 号) .   因为 a> b> 0 ,  
所 以 s:  

即Y 一   =± √ 口   ? }   一 b   ,  ① 

于 是 斜 率 为 一 寺 的 椭 圆 的 切 线 方 程 为  
y一   x±  

一 一

   

:   : 墨 : ±!   : ±   : ) 墨 : ±   : 鱼  
1+  

毫  

即 砂+ 戈 =±  ̄ / 口   一 6   . j }   ,② ( 下转第8 0页)  

?

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《 数 学之友 》  

2 0 1 3 年第 2 4期 

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[ 1 ]   中华 人 民共 和 国教 育 部 . 义务 教 育 数 学  课 程标 准 ( 2 0 1 1年 版 ) [ M] . 北京 : 北 京 师 范 大 学 出 
版社 , 2 0 1 2 .  

所 以轨迹 方程 为直线  = 一  .  
解 法二 : 设 p( x 。 , Y 。 ) ,  

由题意知切线的斜率存在 ,   设斜 率为 k , 则切线 方程 为 
(  ̄- - X , 0 )   由 
+y 0 ,  

则曲 
I   y= 


消 
+m 。  

得 

2  

消 去   , N - y =   (  ~   。 ) + , , 。 ,  
且 p置  一 2 p y+ 2 p ( Y o 一  0 )= 0 .   于是 A= 4 p   一 8 p k ( Y 0 一k x 0 )= O ,  

化 简得 2 x o k  - 2 y 0 k+ p= 0 ,  
由 A= 4 p   一 8 k p m=o , 得 m=  

为使 上述 关 于 k的方程 的两 个根 为互 相垂直 的  两 条切 线 的斜 率 ,  

则 斜 率 为 一 ÷ 的 切 线 方 程 为 y = 一   1 一 丝 2 .  

则 需 满 足  = 一 1 , 即   。 = 一 号 .  
故所求交点 的轨迹方程为 =一  

叫y 【   Y 攀  一   一 言 , 【   Y   一 芎 I   一 i   J ,  
因 为 一 号   ) E   R ,  
?

参 考文献 :  

[ 1 ] 何 明. 高 中数学考试命题 中的改题方法 

[ J ] . 数学之友, 2 0 1 3 , ( 1 2 ) : 8 5 — 8 6 .  

8 0?  


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