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1.3.1单调性与最大(小)值


课题导入
函数是描述事物运动变化规律的数学模型, 函数是描述事物运动变化规律的数学模型,了 解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象, 解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象, 能说出它们的变化规律吗? 能说出它们的变化规律吗? y
2 -2

y
2 2

0
-2

x

-2

0
-2

2

x

保持量(百分数) 保持量(百分数)
100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6

天数

某市一天的温度变化图: 某市一天的温度变化图:
y=f(x),x∈[0,24] = , ∈ ,

说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的? 说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?

教学目标
知识与技能
理解函数的最大( 值及其几何意义, 理解函数的最大(小)值及其几何意义,学会运 用函数图象理解和研究函数的性质. 用函数图象理解和研究函数的性质.

过程与方法
通过实例,使学生体会到函数的最大( 通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值, 实际上是函数图象的最高( 实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而借 点的纵坐标, 助函数图象的直观性可得出函数的最值, 助函数图象的直观性可得出函数的最值,有利于培养 以形识数的解题意识. 以形识数的解题意识.

情感态度与价值观
利用函数的单调性和图象求函数的最大( 利用函数的单调性和图象求函数的最大(小) 解决日常生活中的实际问题, 值,解决日常生活中的实际问题,激发学生学习的 积极性. 积极性.

教学重难点
重点
函数的最大(小)值及其几何意义. 值及其几何意义. 函数的最大(

难点
利用函数的单调性求函数的最大( 利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

问题1 问题
画出f(x)=x的图像,并观察其图像。 的图像,并观察其图像。 画出 的图像 上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____? 、 2、 在区间 (-∞, +∞)上 , 随着 的增大 , f(x)的值 、 ________上 随着x的增大 的增大, 的值 增大 随着 ______. 5 -5 o -5 f(x)=x 5

问题2 问题
f(x) = x 2 的图像,并观察图像. 的图像,并观察图像. 画出

(-∞,0] 1、在区间 ________ 上,f(x)的值随着 的增大而 、 的值随着x的增大而 的值随着 减小 ______. f(x) = x 2 (0,+∞) 2、 在区间 ________ 上 , 、 f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而 5 增大 _____. -5 o 5 -5

对于二次函数 f(x) = x 2 ,我们可以这样描述

(0, 的增大, “在区间 +∞ ) 上,随x的增大,相应的 的增大 相应的f(x)也随 也随
着增大” 着增大”. 在区间 (0, +∞ )上,任取两个 x1 , x 2,得到

f(x1 ) = x1 ,f(x 2 ) = x 2 ,当 x1 < x 2 时,有 f(x1 ) < f(x 2 )
2 这时, 上是这增 这时,我们就说函数 f(x) = x在区间(0, +∞ )上是这增

2

2

函数. 函数

思 考

(1)对于函数 f(x) ,若在区间 I 上,当x=1 )对于函数y= =

时, y=1; 当 x=2时, y=3 , 能说在区间 I 上函数值 = = 时 = y 随自变量 x的增大而增大吗 的增大而增大吗? 的增大而增大吗 y
3 1 0 1 2

x

思 考

(2)对于函数 f(x) ,若在区间 I 上,当x=1, 对于函数y= =

2, 3, 4, 时, 相应地 y=1, 3, 4, 5,能说在区间 I 上函 = , 数值y 随自变量x 的增大而增大吗 数值 随自变量 的增大而增大吗? y
4

3 2 01 1 2 3 4

x

思 考

(3) 对于函数 f(x)若 区间I 上有n个数 对于函数y= 若 区间I 上有n

x1< x2<x3<···< xn,它们的函数值满足: 它们的函数值满足: y1< y2<y3<···< yn时,能说在区间 I 上 y 随 x 的增大 而增大吗 ? y
yn y3 y2 y1 0 x1 x2 x3

若x取无数 取无数 个呢? 个呢 应该取区间I 应该取区间 xn x应该取区间I内所有实数
x

能否仿照前面的描述, 能否仿照前面的描述,说明函数 在区间( ∞,0]上是减函数吗 上是减函数吗? 在区间(-∞,0]上是减函数吗? f(x) = x 2

在区间(-∞,0] 上,任取两个 x1 , x 2 得到 在区间 ,

f(x1 ) = x1 ,f(x 2 ) = x 2 ,当 x1 < x 2 时,有 f(x1 ) > f(x 2 )
2 这时, 上是这减 这时,我们就说函数 f(x) = x在区间(0, +∞ )上是这减

2

2

函数. 函数

知识要 点
函数单调性的概念: 函数单调性的概念:
1.增函数
一般地, 设函数y=f(x)的定义域为 , 如果对 的定义域为I, 一般地 , 设函数 的定义域为 于定义域I内的某个区间 内的任意两个自变量 于定义域 内的某个区间D内的任意两个自变量 1 , 内的某个区间 内的任意两个自变量x x2 , 当 x1<x2 时 , 都有 1)<f(x2), 那么就说 都有f(x , 那么就说f(x)在 在 区间D上是增函数 如图1 区间 上是增函数 如图 . 上是增函数,如图

一般地,设函数y=f(x)的定义域为 ,如果对于 的定义域为I, 一般地,设函数 的定义域为 定义域I内的某个区间 内的任意两个自变量 定义域 内的某个区间D内的任意两个自变量 1,x2 , 内的某个区间 内的任意两个自变量x 都有f(x 那么就说f(x)在区间 在区间D 当x1<x2时,都有 1)>f(x2) ,那么就说 在区间 上是减函数 如图 如图2. 上是减函数 ,如图 y y=f(x) f(x1) 0 x1 图1 f(x2) x x2 f(x1) 0 x1 图2 f(x2) x2 x y y=f(x)

注 意
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 、 性质,是函数的局部性质. 性质,是函数的局部性质 局部性质 2 、必须是对于区间 内的任意两个自变量 1, 必须是对于区间D内的任意两个自变量 内的任意两个自变量x x2;当x1<x2时,总有 1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是 总有f(x 增函数和减函数. 增函数和减函数

在某区间上, 在某区间上,
图象上升 增函数 ?
y

o

x

减函数

图象下降。 ?图象下降。
y x

o

函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函 在某个区间上是增函数或是减函 如果函数 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) 在这一区间具有( 数,那么就说函数 在这一区间具有 严格的) 单调性,区间 叫做 叫做y=f(x)的单调区间 单调性,区间D叫做 的单调区间.

下图是定义在区间[-4,5]上的函数 上的函数y=f (x),根 例1 下图是定义在区间 上的函数 , 据图像说出函数的单调区间, 据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区 间上,它是增函数还是减函数? 间上,它是增函数还是减函数?

3 2

o
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -3

函数y=f(x)的单调区间有 ,-2),[-2,-1), 的单调区间有[-4, , , , 解:函数 的单调区间有 [-1,1),[1,3),[3,5],其中 , , , , , 其中 其中y=f (x)在区间 在区间 [-4,-2), [-1,1), [3,5]上是增函数,在区间 , , , , , 上是增函数 上是增函数, [-2,-1), [1,3)上是减函数 , , , 上是减函数 上是减函数.

k 例2 物理学中的玻意耳定律 p = (k为正常数) 告 V 诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时 减小时, 诉我们,对于一定量的气体,当其体积 减小时,

压强p将增大 试用函数单调性证明之 压强 将增大,试用函数单调性证明之 将增大 试用函数单调性证明之.
k 分析:按题意就是证明函数 p = 在区间 分析: v 上是减函数. (0, +∞ ) 上是减函数.

证明:根据单调性的定义, 证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则 上的任意两个实数, , 上的任意两个实数

取值

k k V2 - V 1 p(V )-p(V2 ) = =k 1 V V2 VV2 1 1
又k>0,于是 p(V )-p(V ) > 0 于是 1 2

作差变形

由V1,V2∈ (0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0, V2- V1 >0 , 且

定号



p(V ) > p(V ) 2 1

k 所以, 是减函数.也就 所以,函数 p = ,V∈(0,+∞) 是减函数 也就 V 结论 是说,当体积V减少时 压强p将增大 减少时, 将增大. 是说,当体积 减少时,压强 将增大

用定义证明函数单调性的步骤是: 用定义证明函数单调性的步骤是: (1)取值 )
即取 x1 , x 2 是该区间内的任意两个值且 x1 < x 2

(2)作差变形 ) 通过因式分解、配方、 即求 f(x1 ) - f(x 2 ) ,通过因式分解、配方、有
理化等方法

(3)定号 )
即根据给定的区间和

x 2 - x1 的符号的确定

f(x1 ) - f(x 2 ) 的符号

(4)判断 )

根据单调性的定义得结论

1 求证: 例3 求证:函数 f(x) = - - 1 在区间 ( 0, ∞ ) 上是单 + x 调增函数. 调增函数.

证明:在区间( , ) 证明:在区间(0,+∞)上任取两个值 x1 , x 2 且 x1 < x 2 , 则

1 1 x1 - x 2 f(x1 ) - f(x 2 ) = - + = x1 x 2 x1 x 2 x 又因为 x1 - x 2 < 0 , 1 x 2 > 0 ,所以说 f(x1 ) - f(x 2 ) < 0

1 在区间( , ) 即函数 f(x) = - - 1 在区间(0,+∞)上是单调 x 增函数. 增函数

思考
0 若把区间改为 ( -∞,) ,结论变化吗 ? a 若把函数改为 f(x) = - - 1 (a ≠ 0), 结论变化吗? 结论变化吗? x

自己动手做一下吧

探究
1 的图象. 画出反比例函数 y = 的图象. x 1 这个函数的定义域是什么? 这个函数的定义域是什么?

{x∣x≠0} ∣

2 它在定义域 上的单调性怎样?证明你的结 它在定义域I上的单调性怎样 上的单调性怎样? 论. y 分两个区间(0,+∞), 分两个区间(0,+∞), (∞ ,0)来考虑其单调性. 来考虑其单调性. 0 x

证明: 证明:(1)在区间 ,+∞)上,设x1,x2是(0,+∞)上 ) 区间(0, 上 , 上 任意两个实数, 任意两个实数,且x1<x2,则

由于x1,x2∈( 0,+∞) 得x1x2>0,又由 1<x2得x2-x1>0 又由x 由于 又由 所以f(x 所以 1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数 上是减函数 函数 , 上是减函数. (2)在区间(- ∞ ,0)上,同理可得到函数 )在区间( ) f(x)=1/x 在(- ∞ ,0)上是减函数。综上所述,函数 函数。 )上是减函数 综上所述, f(x)=1/x 在定义域上是减函数. 定义域上是减函数

1 1 x2 - x1 = f(x1)- f(x2)= x1 x2 x1x2

下列两个函数的图象: 下列两个函数的图象: y
M M y

观察

x
o x0
图1

o
图2

x0

x

思 考

观察这两个函数图象,图中有个最高点, 观察这两个函数图象,图中有个最高点, 那么这个最高点的纵坐标叫什么呢? 那么这个最高点的纵坐标叫什么呢?

思 考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为 , 设函数 图象上最高点的纵坐标为M, 图象上最高点的纵坐标为 则对函数定义域内任意自变量x, 与 的大小 则对函数定义域内任意自变量 ,f(x)与M的大小 关系如何? 关系如何? f(x)< M

例如函数f ( x ) = -x + 1 ( x ∈ R )
2

1是此函数的最大值 是此函数的最大值
?(0)=1
2 1

1、对任意的 x ∈ R都有 、 都有?(x)≤1. 2、存在0,使得 、存在 ,使得?(0)=1.

O

知识要 点
M是函数 f (x)的最大值(maximum value): 是函数y= 的最大值( 是函数 的最大值 ):
一般地,设函数y= f (x)的定义域为 ,如果存在 一般地,设函数 的定义域为I, 的定义域为 实数M满足: 实数 满足: 满足 (1)对于任意的 ∈I,都有 (x) ≤M; )对于任意的x ,都有f (2)存在 x )

∈ I ,使得 f(x0 ) = M . 0

思 考

能否仿照函数的最大值的定义, 能否仿照函数的最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢? 的最小值的定义呢? 的最小值的定义呢 一般地,设函数y=f(x)的定义域为 ,如果实 的定义域为I, 一般地,设函数 的定义域为

数M满足: 满足: 满足 (1)对于任意的的 ∈I,都有 )对于任意的的x∈ ,都有f(x) ≥M; (2)存在 x 0 ∈ I ,使得 f(x 0 ) = M , ) 那么我们称M是函数 的最小值( 那么我们称 是函数y=f(x)的最小值(minimun 是函数 的最小值 value). )

思 考 思 考

函数的最大值是函数值域中的一个元素吗? 函数的最大值是函数值域中的一个元素吗?



如果在函数f(x)定义域内存在 1和 x2,使对 定义域内存在x 如果在函数 定义域内存在 定义域内任意x都有 成立, 定义域内任意 都有 f(x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ) 成立,由 此你能得到什么结论?如果函数f(x)的最大值是 , 的最大值是b, 此你能得到什么结论?如果函数 的最大值是 最小值是a,那么函数f(x)的值域是 ,b]吗? 的值域是[a, 吗 最小值是 ,那么函数 的值域是 函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值 在定义域中既有最大值又有最小值. 函数 在定义域中既有最大值又有最小值

探究: 探究:函数单调性与函数的最值的关系
(1)若函数y=f (x)在区间 ,n] (m<n)上单调递增, )若函数 在区间[m, 上单调递增, 在区间 上单调递增 则函数y=f (x)的最值是什么? 的最值是什么? 则函数 的最值是什么

y
f(n)

当x=m时,f (x)有最 时 有最 小值f (m),当x=n时,f (x) 小值 , 时 有最大值f 有最大值 (n).

m
O

n

x
f(m)

(2)若函数 若函数y=f(x)在区间 ,n]上单调递减,则函数 在区间[m, 上单调递减 上单调递减, 若函数 在区间 y=f(x)的最值是什么? 的最值是什么? 的最值是什么

y
当x=m时,f (x)有最 时 有最

f(m)

大值f 大值 (m),当x=n时,f(x) , 时 有最小值f 有最小值 (n).

n
O

m
f(n)

x

(3)若函数 f(x) = a(x - l)2 + h(a < 0,m < l < n) 则函 若函数 在区间[m,n]上的最值是什么? 上的最值是什么? 数y=f(x)在区间 在区间 上的最值是什么

y
f(m)

f(l)
最大值f 最大值 (l)=h,有最小值 ,有最小值f (m), f (n)中较小者 中较小者. 中较小者

f(n)
O

m

l

n

x

例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h ( t ) = -4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少

( 精确到1米 ) ?

h(t) = -4.9t 2 + 14.7t + 18 的图像。显然, 的图像。显然, 解:做出函数

函数图像的顶点就是烟花上升的最高点, 函数图像的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻, 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距 地面的高度. 地面的高度 由二次函数的知识, 由二次函数的知识,对于函数 h h(t) = -4.9t 2 + 14.7t + 18 ,我们有
20 15 10 5

14.7 当t = = 1.5 时,函 2 × (-4.9) 数有最大值
1 2 3 4

o

t

4 × (-4.9) × 18 - 14.7 2 h= ≈ 29 4 × (-4.9)

所以,烟花冲出 是它爆裂的最佳时刻, 所以,烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻,此 是它爆裂的最佳时刻 时距离地面的高度约为29m. 时距离地面的高度约为

1 例5 已知函数 f(x) = (x ∈ [3, 5]) ,求函数的最大 x-2 值与最小. 值与最小
分析:由函数的图象可知道,此函数在[3, 上 分析:由函数的图象可知道,此函数在 ,5]上 递减。所以在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大 递减。所以在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大 值与最小值. 值与最小值 是区间[3, 上的任意两个实数 上的任意两个实数, 解:设 x1 , x 2 是区间 ,5]上的任意两个实数, 且 x1 < x 2 ,则
(x 2 - 2) - (x1 - 2) x 2 - x1 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = = = . x1 - 2 x 2 - 2 (x1 - 2)(x 2 - 2) (x1 - 2)(x 2 - 2)

由于 3 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 5, 得 x 2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x 2 - 2) > 0, 于是

f(x1 ) - f(x 2 ) > 0


f(x1 ) > f(x 2 )
所以,此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得 所以,此函数在区间 的两个端点上分别取得 最大值与最小值即在x=3时取得最大值是 ,在 时取得最大值是1, 最大值与最小值即在 时取得最大值是 x=5时取得最小值为 时取得最小值为0.5. 时取得最小值为

课堂小结
1、单调函数的图象特征; 、单调函数的图象特征; 2、函数单调性的定义; 、函数单调性的定义; 3、证明函数单调性的步骤; 、证明函数单调性的步骤; 4、函数的最值: 最大值 、函数的最值:
最小值

{

5、函数的最值的求法 、
(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值 )利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值; (2)利用图象求函数的最值 )利用图象求函数的最值; (3)利用函数单调性求函数的最值 . )

高考链接
1 在 区 间[3, +∞)的 (2007年 广 东 ) 函 数 f ( x ) = 1x 2 最 小 值 为 ______. 3

1.填表 填表

课堂练习
y = kx + b(k ≠ 0)
k y = (k ≠ 0) x

函数 k >0 k <0

k >0
(? ∞ , 0 ), (0 , + ∞ )

k <0
(?∞,0), (0, +∞)

单调区间 (-∞ , +∞ ) (?∞, +∞) 单调性 增函数 减函数

减函数

增函数

y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
函数

a>0
单调区间
β (?∞, ? ) (? β , +∞) 2α 2α

a<0
β β (? , +∞ ) (?∞, ? ) 2α 2α

单调性

减函数

增函数

增函数

减函数

1 0.5 2.函数y = ( x ∈[ 2, 5])的最大值为______. x 0.2 最小值为_____.

3.已知函数f(x)在 ( -∞, 2] 上单调递增, 在 [ 2, +∞) 上 最大 f(2) 单调递减则f ( x ) 有______值为______.

4.函数y = x 2 + 4x + 2在区间 [ -3, 5] 上的最小

-2 值为______.

5 . 设b>1为常数,如果当 ∈[1,b]时,函数 为常数, 为常数 如果当x∈ 时

所以f(x)在x=1时取得最小值为 ,又因为 ∈[1,b], 在 时取得最小值为1,又因为x∈ 所以 时取得最小值为 , 的图像可知道在区间[1,b]上是递增的,所以 上是递增的, 由f(x)的图像可知道在区间 的图像可知道在区间 上是递增的
y

1 2 3 的值域也是[1,b],求b的值 的值. 求 的值 f(x) = x - x + 的值域也是 2 2 1 2 3 1 2 解:因为 f(x) = x - x + = (x - 1) + 1 2 2 2

1 2 3 f(b) = b - b + = b 2 2
得b=3或b=-1,因为 或 ,因为b>1, , 所以说b=3. 所以说
1 x

1 0

教材习题答案
1.在一定范围内,生产效率随着工人数的增加 在一定范围内, 在一定范围内 而提高,当工人数达到某个数量时, 而提高,当工人数达到某个数量时,生产效率达到 最大值,而超过这个数量时, 最大值,而超过这个数量时,生产效率又随着工人 数的增加而降低.由此可见 并非是工人越多, 由此可见, 数的增加而降低 由此可见,并非是工人越多,生产 效率即越高. 效率即越高 2.增区间为:[8,12],[13,18];减区间为 增区间为: 增区间为 减区间为 [12,13],[18,20].

3.证明:任取 x1 , x 2 ∈ R, 且 x1 < x 2 ,因为 证明: 证明

f(x1 ) - f(x 2 ) = 2(x 2 - x1 ) > 0


f(x1 ) > f(x 2 )
所以f(x)=-2x+1在R上是减函数 在 上是减函数 上是减函数. 所以 4.最小值 最小值. 最小值


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