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选修1-2回归分析的基本思想及其初步应用第三课时_图文

高二数学 选修2-3

3.1回归分析的基 本思想及其初步 应用(二)

复习回顾
1、线性回归模型: y=bx+a+e, 其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差。 2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi ? y i ) 是随机误差的效应,称 ei =yi ? yi 为残差。 3、对每名女大学生计算这个差异,然后分别将所得 n 的值平方后加起来,用数学符号表示为: ( y ? y ) 2

?
i ?1

i

i

称为残差平方和,它代表了随机误差的效应。

刻画模型拟合的精度
2 ? ( y ? y ) ? i i i ?1 n 2 ( y ? y ) ? i i ?1 n

相关指数:R2 ? 1 ?

R2取值越大,则残差平方和越小,即模型的拟合效果 越好.

建立回归模型的基本步骤 1)确定解释变量和预报变量; 2)画出散点图; 3)确定回归方程类型; 4)求出回归方程; 5)利用相关指数或残差进行分析.

问题:一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收 集了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
温度x 21 产卵数y 7 23 11
350 300

25 21

27 24

29 66

32 115

35 325

解:1)作散点图;
产卵数

250

200

150

100

50

0 20 22 24 26 28 温度 30 32 34 36

从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能 用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中 在一条指数曲线或二次曲线的附近。

合作探究
问题1

二次函数模型
选用y=bx2+a ,还是y=bx2+cx+a ? 如何求a、b ?
y=bx2+a 非线性关系 变换 t=x2 y=bt+a 线性关系

方案1

问题2 问题3

400 300 200 100

产卵数

-40

-30

-20

0 -10 0 -100 -200

气 温
10 20 30 40

方案1解答
平方变换:令t=x2,产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a 就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a
温度 温度的平方t 产卵数y/个 21 441 7 23 529 11 25 625 21 27 729 24 29 841 66 32 1024 115 35 1225 325

作散点图,并由计算器得: y 和 t 之间的线性回归方程为 y=0.367t-202.54,相关指数R2=r2≈0.8962=0.802

将t=x2代入线性回归方程得: y=0.367x2 -202.54 当x=28时,y=0.367×282202.54≈85,且R2=0.802, 所以,二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。

产卵数y/个 350 300 250 200 150 100 50 0 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350

t

合作探究
产卵数
450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 -5 -50 0

指数函数模型

方案2

气 温

-10

5

10

15

20

25

30

35

40

问题1 问题2

如何选取指数函数的底?
y ? c1ec2 x
非线性关系 对数变换 y=bx+a 线性关系

y ? c110c2 x

方案2解答 对数变换:在 y

lg y ? lg(c110c2 x ) ? lg c1 ? lg10c2 x ? lg c1 ? c2 x lg10 ? c2 x ? lg c1
令 z ? lg y, a ? lg c1 , b ? c2 ,则
就转换为z=bx+a
温度xoC z=lgy 产卵数y/个 21 0.85 7 23 1.04 11 25 1.32 21 27 1.38 24
2.8 2.4 2 1.6 1.2 0.8 0.4 0 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

? c110c2 x中两边取常用对数得 y ? c110c2 x
29 1.82 66
z

32 2.06 115

35 2.51 325

由计算器得:z关于x的线性回归方程

为z=0.118x-1.665 ,y ? 100.118x-1.665 相关指数R2=r2≈0.99252=0.985
当x=28oC 变化 时,y ≈44 ,指数回归 模型中温度解释了98.5%的产卵数的

x

最好的模型是哪个?

400 300 200 100 0 -40 -30 -20

产卵数

-10 0 -100 -200

10

20

30

气 温 40
-10

450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 -5 -50 0

产卵数

气 温
5 10 15 20 25 30 35 40

二次函数模型

指数函数模型

应用统计方法解决实际问题需要注意的问题:对 于同样的数据,有不同的统计方法进行分析, 我们要用最有效的方法分析数据。

现在有两个不同的回归模型可供选择来拟合 红铃虫的产卵数与温度数据,他们分别是:

y ? c1e

c2 x ? e

,

z ? c2 x ? b ? e
y ?? t ?? ?e

y ? ?x ? ? ? e.
2

可以利用直观(散点图和残差图)、相关指 数来确定哪一个模型的拟合效果更好。

最好的模型是哪个?

函数模型 二次函数模型

相关指数R2 0.802 0.985

比 一 比

指数函数模型

用线性回归模型解决非线性相关问题

(1)y=f(bx+a+e)

z ? f (y)
(2)y=bg(x)+a+e

?1

bx ? a ? e ? f (y)
Z=bx+a+e
t=g(x)

?1

y=bt+a+e

(3)y=f(bg(x)+a+e)

z ? f (y)t ? g(x)
?1

Z=bt+a+e

小 实际问题 y = f(x) 抽样

结 样本分析 y = f(x)

回归模型 y = f(x)

小结
用身高预报体重时,需要注意下列问题: ——这些问题也使用于其他问题。 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。

涉及到统计的一些思想:
模型适用的总体;
模型的时间性; 样本的取值范围对模型的影响; 模型预报结果的正确理解。


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