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南充高中2011-2013年面向省内外自主招生考试(数学试卷)


南充高中 2011-2013 年面向省内外 自主招生考试 数 学 试 卷

南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试 数 学 试 卷
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 5 分,共计 20 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号 填入答题卷的相应位置) 1、把多项式 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 因式分解之后,正确的是 A、 ( x ? y ? 3)( x ? y ? 1) B、 ( x ? y ? 1)( x ? y ? 3) C、 ( x ? y ? 3)( x ? y ? 1) D、 ( x ? y ? 1)( x ? y ? 3) 2、圆内接四边形四条边长顺次为 5、10、11、14,则这个四边形的面积为 A . 78

1 2

B . 97

1 2

C .90

D. 102

3、在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E,F 分别是 BC 的三等分点,AE,AF 分别交 BD 于 M,N 两点,则 BM : MN : ND 等于 A、3:2:1 B、4:2:1 C、5:2:1 D、5:3:2
0 ; ②如果 ? ? 45 , 那么 sin ? ? cos ? ;

4、 已知 ? 为锐角, 下列结论: ① sin ? ? cos ? ? 1 ③若 cos ? ?

1 0 , 则 ? ? 60 2

2 ; ④ (sin ? ? 1) ? 1 ? sin ?

其中正确的序号为 A、①②③④ B、 ②③④ C、①③④ D、①②③ 二、填空题(每小题 5 分,共计 60 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) 5、 在△ABC 中, BD 和 CE 分别是 AC 和 AB 上的中线, 且 BD 与 CE 互相垂直,BD=8,CE=12, 则△ABC 的面积是 P 6、如图,MN 是⊙O 的直径,若∠E=25° , Q ∠PMQ=35° ,则∠MQP= .O M E N

x?

1 ? x ? y ?3 ? 3 y

2x ? y ?

1 ?6 y

7、方程组

的解为

8、有三位同学,每位同学都以相同的可能性分配到 4 个房间中的一个,则这三个同学 都被分配到同一个房间的概率为 9、如图,在△ABC 中M为垂心,O 为外心, ?BAC ? 60 且△ABC 外接圆直径为 10,则 AM= 10、一元二次方程 x 2 ? px ? 19 ? 0 的两根恰好比 方程 x ? Ax ? B ? 0 的两个根分别大 1,其中 A,B,p
2 0

A .O C

M B

都为整数,则 A+B= 11、在菱形 ABCD 中, AE ? BC 于点 E,EC=1,

AE 5 ? ,则四边形 AECD 的周长为 AB 13

12、已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ,一次函数 y ? k ( x ? 1) ? 实数 k 都只有一个公共点,则二次函数的解析式为

k2 ,若它们的图像对任意的 4

13、某学生连续观察了 n 天的天气情况,观察结果是:①共有 5 个下午是晴天;②共有 7 个上午是晴天;③共有 8 个半天是雨天;④下午下雨的那天上午是晴天,则该学生观察的天 数 n= 14、如图,是两块完全一样的含 30° 角的三角板,分别记作△ABC 与△A′B′C′,现将两块三 角板重叠在一起,设较长直角边的中点为 M,绕中点 M 转动上面 的三角板 ABC,使其直角顶点 C 恰好落在三角板 A′B′C′的斜边 A′B′上,当∠A=30° ,AC=10 时,则此时两直角顶点 C、C′间的距 离是 15、 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 在由直线 y ? ? x ? 3 , 直y?4 和直线 x ? 1 所围成的 区域内或其边界上,点 Q 在 x 轴上,若点 R 的坐标为 R(2, 2) ,则

QP ? QR 的最小值为
16、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行,1 小时后他们分别到达各自的终点 A 和 B, 若仍从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B,甲的速度与乙 的速度之比为

/ / / / / / / / / / / / / / / 密/ / / / / / / / / / / / / / 封/ / / / / / / / / / / / / / 线/ / / / / / / / / / / / / / / /

第Ⅱ卷(答题卷) 一、选择题:(每小题 5 分,共计 20 分) 题号 答案 二、填空题:(每小题 5 分,共计 60 分) 5.____________ 8.____________ 11.____________ 6.____________ 9.____________ 12.____________ 7.____________ 10.____________ 13.____________ 1 2 3 4

考号_________________

初中就读学校___________________________

14.____________ 15.____________ 16.____________ 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分) (1)“不在同一直线上的三点确定一个圆”.请你判断平面直角坐标系内的 三个点 A(2,7) , B(?3,?9) , C (5,11) 是否可以确定一个圆.请写出你的推理过程. (2)设 0 ? x ? 1 ,化简 ?

? ?? 1 1? x 1? x 1? ? ? 1 ? ?? ? 2 ? 1? x ? 1? x x? 1 ? x 2 ? x ? 1 ?? ? ?? x ?

姓名________________

18. (本小题 12 分) 已知二次函数 y ? x2 ? x ? 2 及实数 a ? ?2 ,求 (1)函数在 ?2 ? x ? a 的最小值 (2)函数在 a ? x ? a ? 2 内的最小值

19. (本小题 12 分)如图, 正方形 ABCD 的边长为 1, 点 M,N 分别在 BC,CD 上, 使得 ?CMN 的周长为 2. 求(1) ?MAN 的大小; (2) ?AMN 的面积的最小值 D N C M

20. (本小题 12 分) 如图,⊙ O 为△ABC 的外接圆, ?BAC ? 60 ,H 为边 AC、AB 上的高
0

BD、CE 的交点,在 BD 上取点 M,使 BM=CH (1) 求证: ?BOC ? ?BHC ; (2) 求证: ?BOM ? ?COH ; (3) 求

A E O M B H D C

MH 的值 OH

21. (本小题 12 分)如图⊙A 和⊙B 是外离两圆,⊙A 的半径长为2,⊙B 的半径长为1, AB=4,P为连结两圆心的线段AB上的一点,PC切⊙A 于点C,PD切⊙B 于点D. (1)若PC=PD,求PB的长; (2)试问线段AB上是否存在一点P,使 PC ? PD ? 4 ,如果存在,问这样的 P 点
2 2

有几个?并求出PB的值;如果不存在,说明理由; (3)已知当点P在线段AB上运动到某处,使 PC ? PD 时,就有 ?APC ~ ?PBD 。 请问:除上述情况外,当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少,或PC、P

D具有何种关系)时,这两个三角形仍相似,并判断此时直线 CP 与⊙B 的位置关系,证明 你的结论 D P B

C A

22. (本小题 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 AOCB 是梯形, AB∥OC,点 A 在 y 轴上,点 C 在 x 轴上,且 (OA ? 8)? 10 ? OC ? 0 ,OB=OC.
2

(1)求点 B 的坐标; (2)点 P 从 C 点出发,沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动,过点 P 作 PH⊥OB,垂足为 H,设△HBP 的面积为 S(S≠0) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间 的函数关系式(直接写出自变量 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,过点 P 作 PM∥CB 交线段 AB 于点 M,过点 M 作 MR⊥OC, 垂足为 R,线段 MR 分别交直线 PH、OB 于点 E、G,点 F 为线段 PM 的中点,联结 EF. ①判断 EF 与 PM 的位置关系; ②当 t 为何值时, EG ? 2 ?

南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试 数 学 试 卷(参考答案)
(考试时间: 120 分钟 一、选择题:(每小题 5 分,共计 20 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 试卷总分:150 分)

二、填空题:(每小题 5 分,共计 60 分) 5.______64______ 8. 6._______40° _____ 9._____5_______ 12.__ y ? x ? 2 x ? 1 _
2

x?2
7.

x?4


1 16

y ?1

y ? ?1

10.______18_____

11._____32___

13.______10______

14.______5______

15.____ 17 ________

16.______

3 ______ 4

三、解答题: (本大题共 6 个小题 ,共 70 分 ,解答应写出必要的说明 ,证明过程和推演步骤 ) 17.(本小题 10 分 ) (1)“不在同一直线上的三点确定一个圆”。请你判断平面直角坐标系内的三个 点 A(2,7) , B(?3,?9) , C (5,11) 是否可以确定一个圆。请写出你的推理过程。 解:设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b(k≠ 0)则 2k+b=7 -3k+b=-9

16 3 ∴k= 5 , b= 5 16 3 x? 5 ………………………………………………………………………3 分 ∴ y= 5
当 x=5 时

3 y=16+ 5 =16.8≠ 11
∴点 C(5、11)不在直线 AB 上

南充高中 2012 年面向省内外自主招生考试

数 学 试 卷
(时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷(填空题、选择题)
一、填空题(每小题 6 分,共 84 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) ) 1、已知 a ? b ? 3, ab ? ?1, 则 a ? b ?
3 3

2、若 x ? x ? 1 ? 0 则 2 x ? 3x ? x ?
2 3 2

3、若 x ? 0, xy ? 0, 则 y ? x ?1 ? x ? y ? 5 ? 4、 1 ? 2 ? 3 ?

? 2011 ? 2012 ? 2011 ?

? 3 ? 2 ? 1 等于

的平方

5、在有理数范围内分解因式: ( x ? 3)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 4) ? 24 ? 6、甲、乙、丙三名学生分 20 支相同的铅笔,每人至少 1 支,则不同的分配方法有 种

b、 b 为方程 (3x2 ? 4x ?1)(3x2 ? 4x ? 5) ? 12 7、 已知 a 、 2 分别为三角形三边的边长, 且a、
的根( a 、 b 可以相等) ,则三角形的周长为 8、一动点 P 从数轴上的原点出发,沿数轴的正方向以每前进 5 个单位、后退 3 个单位的 程序运动.已知动点 P 每秒前进或后退 1 个单位,设 xn 表示第 n 秒时点 P 在数轴的位置 所对应的数(如 x4 ? 4, x5 ? 5, x6 ? 4 ).则 x2012 ? 9、关于 x 的方程 x 2 ? 2 3x ? 1 ? k 有四个相异的实数根,则 k 的取值范围是 10、 ?ABC 中, ?B ? 90 , AB ? 7, BC ? 24. ?ABC 内部有一点 P 到各边的距离相等,则 这个距离为 11、某中学派 41 名学生参加南充市中学生田径运动会,其中得金牌的 12 人,得银牌的 5 人,得铜牌的 8 人,同时得金、银牌的 2 人,同时得金、铜牌的 6 人,同时得银、铜 牌的 3 人,同时得金、银、铜牌的 1 人,那么这所中学派出的学生中没有得奖牌的有 人. 12、已知直线 AB 的方程为: y ? kx ? m 经过点 A(a, a), B(b,8b)(a ? 0, b ? 0). 当 b 是整数 a 时,满足条件的 k ? 13、如图,在梯形 ABCD 中, AD / / BC, AD ? 3, BC ? 9, AB ? 6, CD ? 4. 若 EF / / BC , 且 梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,则 EF 的长为 A . D

? 7
E B F

14、若 ? x ? 表示不超过实数 x 的最大整数,例如 ?3.1? ? 3, ??3.1? ? ?4 ,则方程: x2 ? ? x? ? 3 的 解为 二、选择题(每小题 5 分,共 20 分, 下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号 填入答题卷的相应位置) 15、当式子 x ?1 ? x ? 2 ? x ? 3 ? 值是( ) A.1 16、计算 B.999 C.1000 D.1999 +

? x ?1999 取得最小值时,实数 x 的

1 1? 3 ? 2 4 3

?

1 1? 3 ? 2 4 3

2 4?2 3

?( )

A.1 17、已知

B.-1

C.2

D.-2 )

x 1 1 ? (0 ? x ? 1). 则 x ? 的值为( x ? x ?1 8 x
2

A. ? 7

B. 7

C. ? 5

D. 5

18、如图,过 ?ABC 的顶点 A 分别作对边 BC 上的高 AD 和中线 AE , D 为垂足, E 为 BC 的 中点,规定 ? A ?

DE , 特别地,当点 D 与 E 重合时,规定 ?A ? 0 .对 ?B 、 ?C 作类似的规 BE 1 2

定.给出下列结论: ①若 ?C ? 90 , ?A ? 30 , 则 ? A ? 1, ?C ? . ②若 ?A ? 1, 则 ?ABC 为直角三角形. ③若 ?A ? 1, 则 ?ABC 为钝角三角形;若 ?A ? 1, 则 ?ABC 为锐角三角形. ④若 ?A ? ?B ? ?C ? 0, 则 ?ABC 为等边三角形. 其中,正确结论的个数是( )

A.1

B.2 A .

C.3

D.4

? 7
B . B E D 7 (18 题图) C . C

? 5
D .

5
A

第Ⅱ卷(答题卷)
一、 填空题答案: (每小题 6 分,共 84 分) 2 . ________________ 3 . ______________________ 1 . _________________ 4.__________________ 7 . __________________ 10.__________________ 13.__________________

5.__________________ 6.______________________ 8 . _________________ 9 . ______________________

11.__________________ 12.______________________ 14.___________________

二、选择题答案: (每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 三、解答题(共 46 分) 19、 (10 分)如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 15 16 17 18

1 OB ? OC ? 3OA. 直 线 y ? ? x ? 1 过 点 B 且 与 y 轴 交 于 点 D , E 为 抛 物 线 顶 点 . 若 3

y

(2)求 ? ? ? 的值. ?DBC ? ? , ?CBE ? ? , (1)求抛物线对应的方程;

20、(10 分)已知: AB 是⊙O 的直径, C 是 AB 上一点, PC ? AB, 交⊙O 于 F , PDE 是割 线,交⊙O 于 D 、 E .求证: PC ? PD ? PE ? AC ? CB
2

P D

F

A

C

· O

B

(20 题图)



21、 (12 分)若关于 x 的方程

2k x ? 1 kx ? 1 ? 2 ? 只有一个解(相等的解也算作一个) ,求 x ? 2 x ? 2x x

k 的值.

22、 (14 分) 已知抛物线 y ? x2 ? 3x ? c 过两点 (m,0) 、( n,0) 且 m3 ? 3m2 ? (c ? 2)m ? 2n ? c ? 8, 抛 物线与双曲线 y ?

k 的交点为 (1, d ) . x

(1)求抛物线与双曲线的解析式;

k , P2012 都在双曲线 y ? ( x ? 0) 上,它们的横坐标分别为 a, 2a, , 2012a, O x k 为坐标原点,记 S1 ? S?PP 点 Q 在双曲线 y ? ( x ? 0) 上,过 Q 作 , S2 ? S?PP , S3 ? S?PP , 1 2O 1 3O 1 4O x
(2) 已知点 P 1, P 2,

QM ? y 轴于 M ,记 S ? S?QMO .
求 S1 ? S2 ?

S S ? S2011 ? ? ? 2 3

?

S 的值. 2012

南充高中 2013 年面向省内外自主招生考试

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号 填入答题卷的相应位置) 1.方程 x ? A. 1

4 3x 的实根个数为 ? x x B. 2

C. 3

D. 4

2.已知 3m2 ? 2m ? 5 ? 0,5n2 ? 2n ? 3 ? 0 ,其中为 m, n 实数,则 m ? A. 0 B. 8 3 C. 5

1 = n
3

3

D. 0 或 8

3.设 x ? 0, y ? 0, 2 x ? y ? 6 ,则 u ? 4 x2 ? 3xy ? y 2 ? 6x ? 3 y 的最大值为 A. 13.5 B. 18 C. 20 D.不存在

4. 已知 ?ABC 的三边长分别为 a, b, c 且 a ? b ? 4, ab ? 1, c ? 14 ,则 ?ABC 的形状为 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定

5.直角三角形 ABC 的三个顶点 A, B, C 均在抛物线 y ? x2 上,且斜边平行于 x 轴,若斜边 上的高为 h ,则 A. h ? 1 B. h ? 1 C. 1 ? h ? 2 D. h ? 2

6.等腰梯形底角为 ? ,以腰长为直径作圆与另一腰切于 M ,交较长底边 AB 于 E ,则 的值为 A. 2sin ? cos ? 7.若关于 x 的方程 A. c
2

BE AE

B. sin ?

C. cos ?

D. cos 2?

x ? bx m ? 1 有绝对值相同,符号相反的两个根,则 m 的值应为 ? ax ? c m ? 1 1 a?b a?b B. C. D. c a?b a?b

8.若干人共同买一箱香烟,后来考虑到吸烟污染环境,有害健康,有 15 人戒烟,余下每人 要多分担 15 元,到决定付款时,又有 5 人不买,最后余下的每人又多增加 10 元,则开始准 备共同购买香烟的人数是多少 A. 40 B. 35 C. 37 D. 45 9.设 P 是高为 h 的正三角形内的一点, P 到三边的距离分别为 x, y , z , ( x ? y ? z ) 若以

x, y, z 为边可以组成三角形,则 z 应满足的条件为
A.

1 1 h?z? h 4 3

B.

1 1 h?z? h 3 2

C.

1 3 h?z? h 2 4

D.

3 h?z?h 4

A

D

10.如图, AB ? AC ? AD ,如果 ?DAC 是 ?CAB 的 k (k ? 0) 倍, 那么 ?DBC 是 ?BDC 的( )倍 B C

A. k

B. 2 k

C. 3k

D. 以上答案都不对

二、填空题(每小题 5 分,共计 30 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) 1 1 1 11.2013 减去它的 ,再减去剩余的 ,再减去剩余数的 ,以此类推…….一直到减去 3 2 4 剩余数的

1 ,那么最后剩余数为 2013
F D B O A C

N

1 13 12.已知函数 y ? ? x 2 ? 在 0 ? a ? x ? b 时有 2a ? y ? 2b ,则 (a, b) ? 2 2
13.如图 ?MON 两边上分别有 A, C , E 及 B, D, F 六个点,且

S?OAB ? S?ABC ? S?BCD ? S?CDE ? S?DEF ? 1 ,则 S?CDF ?

E

M

14.若有奖储蓄每 1000 张奖券中,有一等奖 1 张,奖金 500 元,二等奖 10 张,奖金 100 元,三等奖 50 张,奖金 20 元,纪念奖 100 张,奖金 5 元,某人买一张奖券,则他得奖不少 A 于 20 元的概率为 15.化简 10 ? 14 ? 15 ? 21 ? 10 ? 14 ? 15 ? 21 16. 如图,已知菱形 ABCD 的边 AB=10,对角线 BD=12,BD 边 上有 2013 个不同的点 P 1, P 2, P 3 ......P 2013 ,过 P i (i ? 1, 2,3.....2013) 作 PE 于 Fi , i i ? AB 于 Ei , PF i i ? AD

E1 B

F1 P1 P2013 D

?P PE 2012 F 2012 ? P 2013 E2013 ? P 2013 F 2013 的值为 1 1 ? PF 1 1?P 2 E2 ? P 2F 2 ??? P 2012 E2012
三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 2 2 17. (本小题 10 分) 设 m 是不小于-1 的实数,使得关于 x 的方程 x + 2(m-2)x + m -3m +3 =0 有两个不相等的实数根 x1 , x2
2 2 (1)若 x12 ? x22 ? 6 ,求 m 的值;(2)求 mx1 ? mx2 的最大值. 1 ? x1 1 ? x2

C

?( x 2 ? 3x)( x ? y ) ? 40 ? 18.(本小题 10 分)解方程组 ? 2 ? ? x ? 4 x ? y ? 14
19. (本小题 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2,BC=4, tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC; (2)E 是梯形内一点,连接 DE、CE,将△DC E 绕 点 C 顺时针旋转 90°,得△BCF,连接 EF.判断 E A B

EF 与 CE 的数量关系,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,当 CE=2BE, D C F

∠BEC=135°时,求 cos∠BFE 的值. 20. (本小题 12 分)为加速南充森林建设,市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴,规定 每年培植一亩树苗一次性补贴若干元, 随着补贴数字的不断增大, 某地苗圃每年育苗规模 也不断增加,但每年每亩苗圃的收益会相应下降,经调查每年培植亩数 y(亩)与政府每 亩补贴数额 x (元) 之间有如下关系(政府补贴为 100 元的整数倍, 且每亩补贴不超过 1000 元): x(元) y(亩) 0 600 100 1000 200 1400 300 1800 400 2200

而每年每亩的收益 p (元) 与政府每亩补贴数额 x (元) 之间满足一次函数关系 p=-5x+9000 (1)请观察题中的表格, 用学过的一次函数、 反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩 数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间的函数关系式; (2)当 2012 年政府每亩补贴数额 x(元)是多少元时,该地区苗圃收益 w(元)最大,最大 收益是多少元? (3)在 2012 年苗圃取得最大收益的育苗情况下,该地区培植面积刚好达到最大化,要想增 收, 只能提高每亩收益.经市场调查, 培育银杏树苗畅销, 每亩的经济效益相应会更好.2013 年该地区用去年育苗面积的(30-a) % 的土地培育银杏树苗,其余面积继续培植一般类 树苗, 预计今年培育银杏类树苗每亩收益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了 (100+3a) % ,由于培育银杏类树苗每亩多支出 1000 元,2013 年该地区因培育银杏类 树苗预计比去年增收 399 万元.请参考以下数据,通过计算,估算出 a 的整数值.(参考数 据: 35 ? 5.916 , 37 ? 6.082, 39 ? 6.244) 21.(本小题 l3 分) 如图①,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点, 点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折,使点 O 落在 BC 边上的点 E 处,求 D、E 两点的坐标; (2)如图②,若 AE 上有一动点 P(不与 A、E 重合)自 A 点沿 AE 方向向 E 点匀速运动, 运动的速度为每秒 1 个单位长度,设运动的时间为 t 秒 (0 ? t ? 5) ,过 P 点作 ED 的平行线 交 AD 于点 M, 过点 M 作 AE 的平行线交 DE 于点 N.求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 t 之间 的函数关系式;当 t 取何值时,S 有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,以 A、M、E 为顶点的三角形为等腰三角形,并 求出相应时刻点 M 的坐标.

y
C

y
E
E B C N D ·P M E B

D

O 图①

A

x

O 图②

A

x

22. (本小题 13 分)已知抛物线 y ? x2 ? 2x ? a ( a ? 0 )与 y 轴相交于点 A ,顶点为 M .

1 x ? a 分别与 x 轴, y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N . 2 (1)试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标;
直线 y ? (2)如图,将 △NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上, AN ′与 x 轴 交于点 D ,连结 CD ,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积; (3)在抛物线 y ? x2 ? 2x ? a ( a ? 0 )上是否存在一点 P ,使得以 P,A,C,N 为顶点的 四边形是平行四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由. y C N B A M 第(22)题 (第 22 题) O N′ D x B A M 备用图 N C O x y

数学试题参考答案
(考试时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分.) 1~5A DBCB ACABA 二、填空题(每小题 5 分,共计 30 分) 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)

11.1
14.0.061(或写成 61 )
1000

12.(1,3)
15.. 2 6 ? 5

13. 3
4 5

16.19324.8 (或写成 96624 )

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 2 2 17. (本小题 10 分) 设 m 是不小于-1 的实数,使得关于 x 的方程 x + 2(m-2)x + m -3m +3 =0 有两个不相等的实数根 x1 , x2
2 2 2 2 (1)若 x1 ? x2 ? 6 ,求 m 的值: (2)求 mx1 ? mx2 的最大值 1 ? x1 1 ? x2

解: ? ? ?4m ? 4 ? 0 ,得 m ? 1 故 ?1 ? m ? 1 ,

(1) x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? 2m2 ?10m ? 10 ? 6 ,解得 m ?

5 ? 17 2

由于 ?1 ? m ? 1 ,故 m ?

5 ? 17 ………………………………5 分 2

x12 ? x2 2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? mx12 mx2 2 m ? ? ?= ? ? (2) 1 ? x1 1 ? x2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
3 5 2m(m ? 1)(m2 ? 3m ? 1) ? 2(m2 ? 3m ? 1) = 2(m ? ) 2 ? 2 2 m(m ? 1)
当 m ? ?1 时,

mx12 mx2 2 的最大值为 10。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 ? 1 ? x1 1 ? x2

2 ? ?( x ? 3x)( x ? y ) ? 40 18.(本小题 10 分)解方程组 ? 2 ? ? x ? 4 x ? y ? 14 2 ? ?( x ? 3x)( x ? y ) ? 40 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 2 ( x ? 3 x ) ? ( x ? y ) ? 14 ? ?

解:原方程组可化为 ?

令 x2 ? 3x ? a, x ? y ? b ,则 ab ? 40, a ? b ? 14 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

?a ? 10 ?a ? 4 ? a, b 是方程 t 2 ? 14t ? 40 ? 0 的两个根,解得 ? , 。 。 。 。6 分 或? ?b ? 4 ?b ? 10

? x 2 ? 3x ? 10 ? x 2 ? 3 x ? 4 于是 ? 或? ,分别求解,得原方程组的解为 ?x ? y ? 4 ? x ? y ? 10 ? x1 ? 2 ? x2 ? ?5 ? x3 ? 1 ? x4 ? ?4 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 ,? ,? ,? ? ? y1 ? 2 ? y2 ? 9 ? y3 ? 9 ? y4 ? 14
19. (本小题 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2,BC=4, A B tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC; (2)E 是梯形内一点,连接 DE、CE,将△DC E 绕 点 C 顺时针旋转 90°,得△BCF,连接 EF.判断 E

EF 与 CE 的数量关系,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,当 CE=2BE, ∠BEC=135°时,求 cos∠BFE 的值. (1)证明:作 AP⊥DC 于点 P. D C

F

∵AB∥CD,∠ABC=90°, ∴四边形 APCB 是矩形,………………………………2 分 ∴PC=AB=2,AP=BC=4.

AP 在 Rt△ADP 中,tan∠ADC= DP
∴DP=2,

AP 即 DP =3,

∴DC=DP+PC=4=BC.…………………………4 分 (2)EF= 2 CE.………………………5 分 证明如下: 由△DCE 绕点 C 顺时针旋转 90°得△BCF, ∴CF=CE,∠ECF=90°, ∴EF= CF ? CE ?
2 2

2CE .

…………………………8 分

(3)由(2)得∠CEF=45°. ∵∠BEC=135°, ∴∠BEF=90°. ………………………………10 分

设 BE=a,则 CE=2a,由 EF= 2 CE,则 EF= 2 2a 在 Rt△BEF 中,由勾股定理得:BF=3a,

EF 2 2 ? 3 . ∴COS∠BFE= BF

……………………12 分

20. (本小题 12 分)为加速南充森林建设,市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴,规定 每年培植一亩树苗一次性补贴若干元, 随着补贴数字的不断增大, 某地苗圃每年育苗规模 也不断增加,但每年每亩苗圃的收益会相应下降,经调查每年培植亩数 y(亩)与政府每 亩补贴数额 x (元) 之间有如下关系(政府补贴为 100 元的整数倍, 且每亩补贴不超过 1000 元): x(元) y(亩) 0 600 100 1000 200 1400 300 1800 400 2200

而每年每亩的收益 p (元) 与政府每亩补贴数额 x (元) 之间满足一次函数关系 p=-5x+9000 (1)请观察题中的表格, 用学过的一次函数、 反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩 数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间的函数关系式; (2)当 2012 年政府每亩补贴数额 x(元)是多少元时,该地区苗圃收益 w(元)最大,最大 收益是多少元? (3)在 2012 年苗圃取得最大收益的育苗情况下,该地区培植面积刚好达到最大化,要想增 收, 只能提高每亩收益.经市场调查, 培育银杏树苗畅销, 每亩的经济效益相应会更好.2013

年该地区用去年育苗面积的(30-a) % 的土地培育银杏树苗,其余面积继续培植一般类 树苗, 预计今年培育银杏类树苗每亩收益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了 (100+3a) % ,由于培育银杏类树苗每亩多支出 1000 元,2013 年该地区因培育银杏类 树苗预计比去年增收 399 万元.请参考以下数据,通过计算,估算出 a 的整数值.(参考数 据: 35 ? 5.916 , 37 ? 6.082, 39 ? 6.244) 解:(1)猜想:y 与 x 是一次函数关系.设 y=kx+b(k≠0) 则 1000 ?100 k ?b

?

600 ?0?b

解得: b ?600

?

k ?4

∴y=4x+600 ………… 2 分 验证:当 x=200 时,y=4×200+600=1400 结论:猜想成立,即 y=4x+600 ………… 4 分 (2) w=y﹒p=(4x+600)﹒(-5x+9000) 由(4x+600)(-5x+9000)=0 得 x1= -150, x2 =1800 ∴对称轴: x ?

? 150 ? 1800 ? 825 2

∵开口向下,对称轴是 x=825,而 x 是 100 的倍数 ∴当 x=800 时, w最大值 =(4×800+600) (-5×800+9000)=19000000 ∴当政府每亩补贴 800 元时,该地苗圃收益最大,最大值为 19000000 元. ……8 分 (3)当 x=800 时,y=4x+600=4×800+600=3800(亩) P=-5x+9000=-5×800+9000=5000(元) 由题意得:3800(30-a)%×[5000(1+3a%)-1000]=3990000 ………… 10 分 2 整理得:3a -10a-300=0 2 △ =(-10) -4×3×(-300)=3700 ∴a ?

10 ? 3700 2?3 a2 ? 10 ? 10 37 (舍去) 6

∴a≈11.8=12

答:a 的值约为 1 2. ………… 12 分 21.(本小题 l3 分) 如图①,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点, 点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折,使点 O 落在 BC 边上的点 E 处,求 D、E 两点的坐标; (2)如图②,若 AE 上有一动点 P(不与 A、E 重合)自 A 点沿 AE 方向向 E 点匀速运动, 运动的速度为每秒 1 个单位长度,设运动的时间为秒 (0 ? t ? 5) ,过 P 点作 ED 的平行线交 AD 于点 M, 过点 M 作 AE 的平行线交 DE 于点 N.求四边形 PMNE 的面积 S 与时间之间的函 数关系式;当取何值时,S 有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当为何值时,以 A、M、E 为顶点的三角形为等腰三角形,并求 出相应时刻点 M 的坐标.

y
C

y
E
E B C N D ·P M E B

D

O 图①

A

x

O 图②

A

x

解: (1)依题意可知,折痕 AD 是四边形 OAED 的对称轴, ∴在 Rt ?ABE 中, AE ? AO ? 5,AB ? 4 ∴ BE ?

AE2 ? AB2 ? 52-42=3

∴ CE ? 2

∴ E 点坐标为 (2,4) ………………………………………………………(2 分)
2 2 2 在 Rt ?DCE 中, DC ? CE ? DE

又∵ DE ? OD

∴ (4 ? OD) 2 ? 22 ? OD2

解得: OD ?

5 2

5 2 PM ED (2)如图①∵ ∥ ∴ ?APM ∽ ?AED 5 PM AP ? ∴ 又知 AP ? t,ED= ,AE ? 5 ED AE 2 t 5 t ∴ PM ? ? ? 又∵ PE ? 5 ? t 5 2 2 而显然四边形 PMNE 为矩形 t 1 2 5 ∴ S 矩形PMNE ? PM ? PE ? ? (5 ? t ) ? ? t ? t …………………(5 分) 2 2 2 1 5 2 25 5 ∴ S 矩形PMNE ? ? (t ? ) ? 又∵ 0 ? ? 5 2 2 8 2 5 25 ∴当 t ? 时, S矩形PMNE 有最大值 (面积单位)…………………(7 分) 2 8 (3) (i)若 ME ? MA (如图①) 在 Rt ?AED 中, ME ? MA ,? PM ? AE, ∴ P 为 AE 的中点 又∵ PM ∥ ED , ∴ M 为 AD 的中点 1 5 5 1 5 ∴ AP ? AE ? ∴ AP ? t ? ∴ PM ? t ? 2 2 2 2 4 又∵ P 与 F 是关于 AD 对称的两点 5 5 ∴ xM ? , yM ? 2 4
∴ D 点坐标为 (0, ) ………………………………………………………(3 分)

5 5 M E 为等腰三角形 时( 0 ? ? 5 ) , ?A 2 2 5 5 此时 M 点坐标为 ( , ) ………………………………………………(9 分) 2 4 (ii)若 AM ? AE ? 5 (如图②)
∴当 t ? 在 Rt ?AOD 中, AD ? OD ? AO ? ( ) ? 5 ?
2 2 2 2

5 5 2 AP AM ? ∵ PM ∥ ED ,∴ ?APM ∽ ?AED ,∴ AE AD 1 AM ? AE 5 ? 5 ∴ t ? AP ? ? ? 2 5 ∴ PM ? t ? 5 5 2 AD 5 2 同理可知: xM ? 5 ? 2 5 , yM ? 5
5 或 t ? 2 5 时,以 A、M、E 为顶点的三角形为等腰三角形, 2

5 2

∴当 t ? 2 5 时( 0 ? 2 5 ? 5 ) ,此时 M 点坐标为 (5 ? 2 5,5) ………………(12 分) 综合(i) 、 (ii)可知:t ?

相应 M 点的坐标为 ( , ) 或 (5 ? 2 5,5) …………………………(13 分) 22. (本小题 13 分)已知抛物线 y ? x2 ? 2x ? a ( a ? 0 )与 y 轴相交于点 A ,顶点为 M .

5 5 2 4

1 x ? a 分别与 x 轴, y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N . 2 (1)试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标;
直线 y ? (2)如图,将 △NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上, AN ′与 x 轴 交于点 D ,连结 CD ,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积; (3)在抛物线 y ? x ? 2x ? a ( a ? 0 )上是否存在一点 P ,使得以 P,A,C,N 为顶点的
2

四边形是平行四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由. y C N B A M O N′ D x B A M N C O x y

1 ? ?4 M ?1,a ? 1?第( ,N 22 a, ? a? ? )题 备用图 3 ? .……………3 分 ?3 解: (1) (第 22 题)

1 ? ? 4 ? a, ? a? ? y 3 ?, (2)由题意得点 N 与点 N ′关于 轴对称,? N ? ? 3

1 16 8 ? a ? a2 ? a ? a 9 3 将 N ′的坐标代入 y ? x ? 2x ? a 得 3 ,
2

? a1 ? 0 (不合题意,舍去) ,

a2 ? ?

9 4 .……………5 分

3? ? ? N ? ?3, ? 4 ? ,? 点 N 到 y 轴的距离为 3. ? 9? ? 3? ? 9 A ? 0, ? ? y ? x? ? 3, ? 4 ? , N ? ? 4 ? ,? 直线 AN ? 的解析式为 ? 4, ?9 ? 9 D? , 0 ?, ? y 它与 x 轴的交点为 ? 4 ? 点 D 到 轴的距离为 4 .
1 9 1 9 9 189 ? S四边形ADCN ? S△ ACN ? S△ ACD ? ? ? 3 ? ? ? ? 2 2 2 2 4 16 .……………7 分
(3)当点 P 在

y 轴的左侧时,若 ACPN 是平行四边形,则 PN 平行且等于 AC ,

7 ? ?4 ? a? ? a, 3 ? ,代入抛物线的解析式, ? 把 N 向上平移 ?2a 个单位得到 P ,坐标为 ? 3
7 16 8 ? a ? a2 ? a ? a 9 3 得: 3

? a1 ? 0 (不合题意,舍去) ,
当点 P 在

a2 ? ?

7? 3 ?P? ? 1, ? ? ? 2 8 ? .……………9 分 8,

y 轴的右侧时,若 APCN 是平行四边形,则 AC 与 PN 互相平分,

? OA ? OC,OP ? ON .

?P

? 4 1 ? ? P ? ? a, a ? ? 3 3 ?, 与 N 关于原点对称,

1 16 8 a ? a2 ? a ? a 9 3 将 P 点坐标代入抛物线解析式得: 3 ,

? a1 ? 0 (不合题意,舍去) ,

a2 ? ?

5? 15 ? P ? 5 , ? ? ? ? 2 8 ? .……………12 分 8 ,

? 1 7? ? 5 5? P P2 ? , ? ? 1?? , ? ? 存在这样的点 ? 2 8 ? 或 ? 2 8 ? ,能使得以 P,A,C,N 为顶点的四边形是平

行四边形..。 。 。 。 。 。 。 。13 分


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