tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> >>

2019版高中数学北师大版必修五达标练习:第1章 §3-3.2 第1课时 等比数列的前n项和 Word版含解析

2019 版数学精品资料(北师大版)
[A 基础达标] 1.等比数列 1,a,a2,a3,…的前 n 项和为( a(1-an 1) A.1+ 1-11a


)

1-an B. 1-a D.以上皆错

an 1-1 C. a-1


解析:选 D.当 a=1 时,Sn=n,故选 D. 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4 等于( A.7 C.15 解析:选 C.设{an}的公比为 q, 因为 4a1,2a2,a3 成等差数列, 所以 4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2, 即 q2-4q+4=0,所以 q=2, 1-24 又 a1=1,所以 S4= =15,故选 C. 1-2 3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=( A.-2 C.3 解析:选 A.因为 S3+3S2=0, a1(1-q3) 3a1(1-q2) 所以 + =0, 1-q 1-q 即(1-q)(q2+4q+4)=0.解得 q=-2 或 q=1(舍去). 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9=( 1 A. 8 57 C. 8 1 B.- 8 55 D. 8 ) B.2 D.-3 ) B.8 D.16 )

解析:选 A.法一:由等比数列前 n 项和的性质知 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列,又 a7+a8 (S6-S3)2 1 +a9=S9-S6,则 S3,S6-S3,a7+a8+a9 成等比数列,从而 a7+a8+a9= = .故 S3 8

选 A. 法二: 因为 S6 = S3 + S3q3 , 所以 q3 = S6-S3 1 =- , 所以 a7 + a8 + a9 = S9 - S6 = S3q6 = 8× S3 8

?-1? =1.故选 A. ? 8? 8
5.在等比数列{an}中,已知 S30=13S10,S10+S30=140,则 S20 等于( A.90 C.40 B.70 D.30 )

2

解析:选 C.因为 S30≠3S10,所以 q≠1.

? ?S30=13S10, ? ?S10=10, 由? 得? ?S10+S30=140 ? ?S30=130, ?

? ? 所以? a (1-q ) ? ? 1-q =130,
a1(1-q10) =10, 1-q
1 30

所以 q20+q10-12=0.所以 q10=3, a1(1-q20) 所以 S20= =S10(1+q10) 1-q =10×(1+3)=40. 6.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an= ________. 解析:因为在等比数列{an}中,前 3 项之和等于 21, a1(1-43) 所以 =21,所以 a1=1. 1-4 所以 an=4n-1. 答案:4n
-1

7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=1,an+1-an=2n, 则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析:因为 an+1-an=2n,应用累加法可得 an=2n-1.

2(1-2n) 所以 Sn=a1+a2+…+an=2+22+…+2n-n= -n=2n+1-n-2. 1-2 答案:2n 1-n-2


8.在等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前 15 项和 S15= ________. 解析:设数列{an}的公比为 q,则由已知,得 q3=-2. a1 又 a1+a2+a3= (1-q3)=1, 1-q a1 1 a1 a1 1 所以 = ,所以 S15= (1-q15)= [1-(q3)5]= ×[1-(-2)5]=11. 3 3 1-q 1-q 1-q 答案:11 9.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列. 解:(1)设{an}的公比为 q.由题设可得

? ?a1(1+q)=2, ? ?a1(1+q+q2)=-6. ?
解得 q=-2,a1=-2. 故{an}的通项公式为 an=(-2)n. a1(1-qn) 2n+1 2 n (2)由(1)可得 Sn= =- +(-1) . 3 3 1 -q 2n+3-2n+2 2n+1 4 2 由于 Sn+2+Sn+1=- +(-1)n· =2[- +(-1)n ]=2Sn,故 Sn+1,Sn,Sn+2 成 3 3 3 3 等差数列. 10.数列{an}是首项为 1 的等差数列,且公差不为零,而等比数列{bn}的前三项分别是 a1, a2,a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 b1+b2+…+bk=85,求正整数 k 的值. 解:(1)设数列{an}的公差为 d, 因为 a1,a2,a6 成等比数列,

所以 a2 2=a1·a6, 所以(1+d)2=1×(1+5d), 所以 d2=3d, 因为 d≠0, 所以 d=3, 所以 an=1+(n-1)×3=3n-2. a2 (2)数列{bn}的首项为 1,公比为 q= =4, a1 1-4k 4k-1 故 b1+b2+…+bk= = . 3 1-4 4k-1 令 =85,即 4k=256, 3 解得 k=4. 故正整数 k 的值为 4. [B 能力提升] )

11. 一个等比数列前三项的积为 2, 最后三项的积为 4, 且所有项的积为 64, 则该数列有( A.13 项 C.11 项 B.12 项 D.10 项

解析:选 B.设该数列的前三项分别为 a1,a1q,a1q2,后三项分别为 a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.
3 3 3n-6 3(n-1) n-1 所以前三项之积 a3 =4.所以两式相乘,得 a6 =8,即 a2 1q =2,后三项之积 a1q 1q 1q
n(n-1) 2

=2,又 a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,所以 an 1·q 以 n=12.

n-1 n =64,即(a2 ) =642,即 2n=642,所 1q

1 1 12. 已知等比数列{an}的前 10 项中, 所有奇数项之和 S 奇为 85 , 所有偶数项之和 S 偶为 170 , 4 2 则 S=a3+a6+a9+a12 的值为________. 解析:设公比为 q,

? 1 ? ?S =q=2, ?a =4, 由? 得? a [1-(q ) ] ? 1 ?q=2. S = = 85 , ? 4 1-q ?
S偶
奇 1 1 2 5 奇 2

所以 S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9) 1-q12 =a1q · =585. 1-q3
2

答案:585 13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且数列{Sn}是以 c(c>0)为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a2+a4+…+a2n. 解:由条件知 S1=a1=1.

?1,n=1, ?1,n=1, ? (1)①当 c=1 时,an=? ?an=? ?0,n≥2. ? ?Sn-Sn-1,n≥2 ? ?1,n=1, ②当 c≠1 时,an=? ?(c-1)cn-2,n≥2. ?
(2)①当 c=1 时,a2+a4+…+a2n=0; ②当 c≠1 时 , 数列是以 a2 为首项 , c2 为公比的等比数列 , 所以 a2 + a4 + … + a2n = (c-1)(1-c2n) c2n-1 = . 1-c2 1+c 14.(选做题)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中 逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每 年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+…+an (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更 n 新,证明:须在第 9 年初对 M 更新. 解:(1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列. an=120-10(n-1)=130-10n; 3?n-6 3 当 n≥7 时,数列{an}是以 a6 为首项, 公比为 的等比数列, 又 a6=70, 所以 an=70×? ?4? ; 4

因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为

?130-10n,n≤6, a =? 3? ?70×? ?4? ,n≥7.
n
n-6

(2)证明:设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1), An=120-5(n-1)=125-5n; 当 n≥7 时,Sn=S6+(a7+a8+…+an) 3 3 n-6? ? =570+70× ×4×?1-? ? ? 4 ? ?4? ? 3?n-6 =780-210×? ?4? , 3?n-6 780-210×? ?4? An= , n 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列,又 3 780-210×( )8-6 4 47 A8= =82 >80, 8 64 3 780-210×( )9-6 4 79 A9= =76 <80, 9 96 所以须在第 9 年初对 M 更新.


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com