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2006年文科高考数学试题中的概率问题浅析

2006年文科高考数学试题中的概率问题浅析
王凯成(陕西省艺术师范学校 710600) 概率是现代应用数学的重要分支. 本世纪以来,概率论在生活、工业、农业、军事、 医疗卫生和科学技术等方面应用十分广泛,已渗透到整个社会生活的方方面面.随着新教材 的使用和新课改的深入, 2006年的文科高考对数学中概率的考查力度明显加大, 且把概率作 为考察学生分析、 解决实际应用问题能力的主要素材, 全国16套文科数学试题及广东数学 (B 卷)试题、江苏数学卷中都有概率题,其中江西省、四川省、安徽省文科数学各有一道选择 填空题和一道解答题都是概率题, 满分是17分; 湖北省文科数学有一道选择填空题和一道填 空题都是概率题,满分是10分;其余各省中有12套是解答题,满分是12分或13分,另有3套 是填空题.概率一章授课时间为13课时,占文科数学总授课时间的 省份概率试题分数占总分的

13 ? 4.6% ,而大多数 281

17 12 ? 11.3%或 ? 8%, 概率试题明显地受到了命题者的青 150 150

睐.概率试题一般通过摸球类(摸球、摸奖、取卡片等)问题、比赛类问题、射击类(射击、 掷骰子等)问题等,考查学生利用 卷型 全国Ⅰ 全国Ⅱ 北京 湖南 福建 重庆 浙江 陕西 天津 山东 江西 四川 安徽 辽宁 广东B 卷 湖北 江苏 上海 题号 19 19 18 17 18 17 18 17 18 19 18 8 19 12 18 12 18 16 12 5 10 10 满分值 12 12 12 12 验 12 13 12 程 12 12 验 12 12 5 12 5 12 5 12 12 5 5 5 4 等可能事件 相互独立事件、互斥事件、对立事件 等可能事件 相互独立事件、互斥事件、对立事件 等可能事件 等可能事件、对立事件 等可能事件 相互独立事件、互斥事件、对立事件 独立重复试验、随机事件、数学期望 互斥事件、独立重复试验 互斥事件、对立事件与逻辑 等可能事件 等可能事件 相互独立事件、互斥事件、对立事件 相互独立事件、互斥事件、对立事件、独立重复试 等可能事件、独立重复试验 互斥事件、对立事件、独立重复试验 等可能事件、互斥事件、对立事件、一元二次方 考查的知识点 相互独立事件、互斥事件、对立事件 相互独立事件、互斥事件、对立事件 相互独立事件、互斥事件、对立事件 相互独立事件、互斥事件、对立事件、独立重复试

排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率、 利用互斥事件的概率加法公式与相互独 立事件的概率乘法公式以及在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式计算一些事 件的概率的能力。试题贴近教材,许多题目取自于课本的基本题或是基本题的变形,突出基 本知识,重视基本技能,在基础题中考查能力,既达到了选拔人才的目的,又促进了高中数

学教学,对中学数学教学发挥了积极的导向作用. 例1 甲: A1、A2 是互斥事件;乙: A1、A2 是对立事件. 那么: (

).

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件. B. 甲是乙的必要条件但不是充分条 件. C. 甲是乙的充要条件. D. 甲既不是乙的充分条件, 也不是乙 的必要条件. 2006年湖北省文科高考数学第5题. 解 由“对立事件必定是互斥事件,但是互斥事件不一定是对立事件”知:甲是乙的 必要条件但不是 充分条件.选择B. 这是一道考查概率概念及逻辑的简单问题,题目直接选自于高中数学第二册(下A)132 页习题11.2的第2题. 例2 在一个小组中有8名女同学和4名男同学, 从中任意地挑选2名同学担任交通安全 宣传志愿者. 那么选到的2名都是女同学的概率是( ). (结果用分数 表示) 2006年上海市文科高考数学第10题.
2 解:从8+4=12名同学中任意地挑选2名同学共有 C12 = 66 种挑选方法;其中选到的2 2 名都是女同学的挑选方法有 C8 = 28 种, 所以, 选到的2名都是女同学的概率是:

28 14 ? . 66 33

这道考题是高中数学第二册(下A)124页例2的变形,仅仅把“白球、黑球”换成“男 生、女生”,修改了数据. 例3 接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80,现有5人接种疫苗,至少有3人出 现发热反应的概 率为( ).(精确到0.01) 2006年湖北省文科高考数学第12题. 解: 5人中至少有3人出现发热反应包括:“恰有3人出现发热反应;恰有4人出现发热 反应;恰有5人出现发热反应”三种情况. 所以5人中至少有3人出现发热反应的概率为: P 5 (3) + P 5 (4)
3 + P 5 (5) = C5 × 0.8
3

× 0.2

2

4 + C5 × 0.8

4

× 0.2 +

C × 0.8

5 5

5

= 0.94208≈0.94 . 这道考题是高中数学第二册(下A)140页第9题的变形. 例4 甲、乙、丙3人投篮,投进的概率依次是

3 2 1 、 、 ;现3人各投篮1次,求: 5 5 2

⑴ 3人都投进的概率; ⑵ 3人中恰有2人投进的概率 . 2006年陕西省文科高考数学第17题. 解: 把甲、 乙、 丙投进1次的事件依次记为A、 B、 C , 依题意知P(A) = P(C) =

2 5

, P(B) =

1 2

,

3 5

. 甲、乙、丙各人投球互不影响,所以A、B、C相互独立. 3人都投进的事件为 ABC . 3人都投进的概率为:



P( ABC ) = P(A) P(B) P(C) = ⑵ 3人中恰有2人投进的事件为 概率为: P ( A BC + AB C +

3 2 1 3 × × = . 5 5 2 25
.3人中恰有2人投进的

A BC

+ A B C + AB C

AB C ) = P( A BC ) + P( A B C ) + P( AB C )

= P( A )P(B)P(C) + P(A) P( B )P(C) + P(A)P(B)P( C ) = ( 1 =

3 2 1 ) × × 5 5 2

+

3 2 1 ×( 1 ) × 5 5 2

+

2 1 × ×( 1 5 2

3 ) 5

19 50

19 3 ;3人中恰有2人投进的概率是 . 50 25 这道考题有高中数学第二册(下A)134页例1的影子. 例5 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数1,2,3,4,5,6). ⑴ 连续抛掷2次,求向上的数不同的概率; ⑵ 连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率; ⑶ 连续抛掷5次,求向上的数为奇数恰好出现3次的概率. 2006年福建省文科高考数学第18题.
答:3人都投进的概率是
1 1 解: ⑴ 连续抛掷2次骰子,一共有 n = C6 = 36种不同的结果,其中向上的数 ? C6 1 1 不同的结果有 m = C6 = 30种.所以连续抛掷2次骰子,向上的数不同的概率是: ? C5

P =

30 5 ? . 36 6
5 36

⑵ 连续抛掷2次骰子,一共有 n = 36种不同的结果. 由于1+5=2+4=3+3=4+2=5+1,所 以向上的数之和为6的结果有 m = 5种 .故连续抛掷2次骰子,向上的数之和为6的概率是: P = .

⑶ 抛掷一次骰子,向上的数是奇数的概率为P = 件“向上的数为奇数”恰好出现了3次,所以 P 5 (3) = C5 ? ( ) ? (1 ? ) ?
3 3 2

3 1 ? .在5次独立重复试验中,事 6 2

1 2

1 2

5 . 16
5 6
;向上的数之和为6的概率是

答:连续抛掷2次骰子,向上的数不同的概率是

5 . 36

连续抛掷5次骰子,向上的数为奇数恰好出现3次的概率是

5 . 16

这道考题是高中数学第二册(下A)124页例3的变形. 例6 甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率是0.9,乙 机床产品的正品率是0.95. ⑴ 从甲机床生产的产品中任取3件,求其中恰有2件正品的概率; ⑵从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件,求其中至少有1件正品的概率 . 2006年天津市文科高考数学第18题. 解: 把甲机床生产的1件产品是正品的事件记作A; 把乙机床生产的1件产品是正品 的事件记作B .则P(A) = 0.9, P( A ) = 0.1; P(B) = 0.95, p( B ) = 0.05 .依题意知 A 与B相互独立.
2 ⑴ P 3 (2) = C3 ×0.9
2

×0.1 = 0.243 .

⑵ 从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件,其中至少有1件正品的事件是 A B + A B + AB . P( A B + A B + AB) = p( A B) + p( A B ) + P(AB) = p( A )P(B) + P(A)P( B ) + P(A)P(B) = 0.9× 0.05 + 0.1× 0.95 + 0.9× 0.95 = 0.995 . 答:从甲机床生产的产品中任取3件,其中恰有2件正品的概率是0.243;从甲、乙两台 机床生产的产品中各任取1件,其中至少有1件正品的概率是0.995 .

这道考题是高中数学第二册(下A)134页例1的变形. 例7 甲、 乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛, 参赛同学成绩及格的概率都为0.6, 且参赛同学的成绩相互之间没有影响.求: ⑴ 甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率; ⑵ 甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率. 2006年辽宁省文科高考数学第18题. 解: 把甲班参加数学竞赛1名同学及格的事件记作A,把乙班参加数学竞赛1名同学及 格的事件记作B.则P(A) = P(B) = 0.6 , P( A ) = P( B ) = 0.4 . 由于参赛同学的成绩 相互之间没有影响,所以A与B相互独立.
1 ⑴ 甲班2名参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率是 C2 × 0.6 × 0.4 =

0.48;乙班2名参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率也是 0.48 .根据乘法原理知, 甲、 乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率是:0.48×0.48 = 0.2304 . ⑵ 甲、乙两班参赛4名同学成绩都不及格的概率是 0.4 = 0.0256,故甲、乙两班参赛 同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 1 - 0.0256 = 0.9744 . 答:甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率是0.2304;甲、乙两班参赛同 学中至少有1名同学成绩及格的概率为 0.9744 . 注意:⑴容易错解为0.6×0.6 = 0.36 . 例8 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每 次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二等奖;摸出两个红球获得一等 奖 . 现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求: ⑴ 甲、乙两人都没有中奖的概率; ⑵ 甲、乙两人至少一人获二等奖的概率. 2006年江西省文科高考数学第18题. 解: 把摸一次摸到红球的事件记作A,则P(A) =
4

1 10

, P( A ) =

9 10

.

⑴ 甲摸一次、乙摸两次,两人都没有中奖的事件是 AAA . P( AAA ) = [ p( A )]
3

= (

9 3 ) 10

=

729 . 1000

⑵ 甲、乙两人至少一人获二等奖包括两类:甲获得二等奖和甲不获得二等奖. 当甲获得二等奖时,①乙可以不获奖即事件 A A A 发生;②乙也可以获得二等奖即事 件 A A A + AA A 发生;③乙也可以获得一等奖即事件 AAA 发生. 当甲不获得二等奖时,乙必须获得二等奖即事件 A A A + A A A 发生. 故 P = 3 P(A)P( A )P( A ) + 2 P(A)P(A)P( A ) + P(A)P(A)P(A) = 3 × =

1 9 9 × × 10 10 10
.

+ 2 ×

1 1 9 × × 10 10 10

+

1 1 1 × × 10 10 10

262 1000

答:甲、乙两人都没有中奖的概率是

729 ;甲、乙两人至少一人获二等奖的概率是 1000

262 1000
注意:当甲不获得二等奖时,乙必须获得二等奖但不能获得一等奖,即事件 A AA不能 发生. 例9 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球、2个白球;乙袋装 有2个红球、n个白球. 现从甲、乙两袋中各任取2个球 . ⑴ 若n = 3,求取到的4个球全是红球的概率;

⑵ 若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 2006年浙江省文科高考数学第18题.

3 ,求 n . 4

2 2 解: ⑴ 从甲、乙两袋中各任取2个球共有n = C4 = 60种不同的结果 ,其中取 ? C5 2 2 到的4个球全是红球包括了 m = C2 = 1种结果 .所以,若n = 3,取到的4个球全是红 ? C2

球的概率是:P =

1 . 60
2 2 C2 Cn ; 从甲、乙 2 2 C4 Cn?2

⑵ 从甲、乙两袋中各任取2个球,取到的4个球全是白球的概率是 两袋中各任取2个球,取到的4个球中只有1个红球的概率是
2 1 1 C2 C2 Cn ? 2 2 C4 Cn?2

?

1 1 C2 C C2 2 ? 2 n. 2 C4 Cn?2

由题意知: 1 ?
2

2 2 2 1 1 1 1 C2 Cn C2 C2 Cn 3 C2 Cn C2 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 C4 Cn?2 C4 Cn?2 C4 Cn?2 4

化简得:7n - 11n - 6 = 0 由n 是正整数得: n = 2 . 答:若n = 3,取到的4个球全是红球的概率是:P = 个红球的概率为

1 ;若取到的4个球中至少有2 60

3 ,则 n = 2 . 4

这一道考题是等可能事件的概率与一元二次方程的综合,计算量较大. 例10 A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由 4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察治疗. 若在一个试验组中,服用A 有效的小白鼠的只数比服用B有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的 概率为

2 1 ,服用B有效的概率为 . 3 2

⑴ 求一个试验组为甲类组的概率; ⑵ 观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. 2006年全国卷Ⅰ、Ⅲ文科高考数学第19题. 解:⑴ 用A i 表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有 i 只”,i = 0、1、2; 用B i 表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有 i 只”,i = 0、1、2. A i 与B i 相 互独立 . 依题意有:

2 2 4 ? (1 ? ) ? 3 3 9 1 1 1 ? ? p( B 0 ) = 2 2 4
p(A 1 ) = 2 ? 一个试验组为甲类组的事件是 B 0 A 1 故知:一个试验组为甲类组的概率为 p = p ( B 0 A1 + B 0 A 2

2 2 4 ? ? 3 3 9 1 1 1 p( B 1 ) = 2 ? ? (1 ? ) ? 2 2 2
p( A 2 ) = + B0 A2 + B1 A 2 .

+ B1 A 2 )

1 4 1 4 1 4 ? ? ? ? ? 4 9 4 9 2 9 4 = 9
=

⑵ 这3个试验组中没有一个是甲类组的概率为 ( 1 至少有一个甲类组”的概率是: p = 1 - ( 1 = 1 - ( =

4 3 ) 9

. 故“这3个试验组中

4 3 ) 9
3

5 ) 9

604 729 4 ; 3个试验组中至少有一个甲类组的概率为 9

答:一个试验组为甲类组的概率为

604 . 729
例11 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数, 这个数不能 被3整除的概率为( ). A.

41 60

B.

38 54

C.

35 54

D.

19 54

2006年四川省文科高考数学第12题. 这是一道等可能事件的概率问题, 需要从由0到9这10个数字中任取3个数字组成的没有 重复数字的三位数中把不能被3整除的数都列举出来, 不能遗漏.利用对立事件的概率公式转 化为: 从由0到9这10个数字中任取3个数字组成的没有重复数字的三位数中把能被3整除的数 都列举出来,不能遗漏. 解 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数共有 9 ? 9 ? 8 ? 648 个,故n=648 . 一个三位数能被3整除的充要条件是:这个三位数的3个数字之和是3的倍数 . (1)3个数字中含有0的有12个:0,1,2;0,1,5;0,1,8;0,2,4;0,2,7;0, 3,6;0,3,9;0,4,5;0,4,8;0,5,7;0,6,9;0,7,8. 3个数字中含有0的能被3整除的三位数共有 12 ? 2 ? 2 ?1 ? 48 个 . (2)3个数字中不含有0的有30个: 1,2,3;1,2,6;1,2,9;1,3,5;1,3,8;1,4,7;1,5,6;1,5,9;1, 6,8;1,8,9; 2,3,4;2,3,7;2,4,6;2,4,9;2,5,8;2,6,7;2, 7,9; 3,4,5;3,4,8;3,5,7;3,6,9;3,7,8; 4,5,6;4,5,9;4,6,8;4,8,9; 5,6,7;5,7,9; 6,7,8; 7,8,9. 3个数字中不含有0的能被3整除的三位数共有 30 ? 3! ? 180 个 . 故知m=48+180=228 . 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数能被3整除 的概率为 P? ?

228 19 ? . 648 54 19 35 ? . 选择C. 54 54

所以,从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能 被3整除的概率为 P ? 1 ?

解答这道题需要有序思考,需要耐心与细致.第一步计算n与高中数学第二册(下A)89 页例5完全一样; 第二步计算m需要列出所有符合条件的具体组合, 然后计算出符合条件的排 列数.

2006年文科高考数学试题中的概率问题主要考查概率的基础知识,所以在2007年的学 习中,文科考生对概率这一部分知识应该紧扣教材、重抓基础、活用公式、缜密思考、准确 计算.要正确理解和判断必然事件、不可能事件、随机事件、等可能事件、互斥事件、对立 事件、相互独立事件;要能灵活运用概率公式计算相关事件的概率;等可能事件的概率是基 础, 要能灵活地运用排列组合的知识计算等可能事件的概率; 要特别注意 “至少有一个发生” 、 “至多有一个发生”、 “恰好有一个发生”、 “都发生”、 “都不发生”的区别,善于将“至 少有k个发生”、“至多有k个发生”的问题转化为“恰好有m个发生”等问题加以解决. 本文发表于《陕西教育》2007年第3期第27---30页.


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