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高中物理10大难点强行突破之九带电粒子在磁场中的运动(经典)


LGWL 难点突破九--带电粒子在磁场中的运动 a、带电粒子在无界磁场中的运动 b、带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析 一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 例1、一个负离子,质量为m,电量大小为q,以速率V垂直于屏S 经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中(如图1).磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里. (1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线OP与 离子入射方向之间的夹角θ 跟t的关系是 ? ?

O

V θ P B

S 图1 V A B d 30 V0

qB t。 2m

二、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动 例 2、如图 5 所示,一束电子(电量为 e)以速度 V 垂直射入磁感强度 为 B,宽度为 d 的匀强磁场中,穿透磁场时速度方向与电子原来入 射方向的夹角是 30°,则电子的质量是 ,穿透磁场的时 间是 。 三、带电粒子在圆形边界磁场中的运动 1.带电粒子对准磁场圆心射入磁场(此处先明确出磁场时速度的 方向) 例 3-1:电视机的显像管中,电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。 电子束经过电压为 U 的加速电场后,进入一 圆形匀强磁场区,如图所示。磁场方向垂直 于圆面。磁场区的中心为 O,半径为 r。当不 加磁场时,电子束将通过 O 点而打到屏幕的 中心 M 点。为了让电子束射到屏幕边缘 P, 需要加磁场,使电子束偏转一已知角度 θ, 此时磁场的磁感应强度 B 应为多少? 2.带电粒子不对准磁场圆心射入磁场 【例 3-2】在真空中半径 r=3×10-2m 的圆形区域内有一匀强磁 场,磁感应强度 B=0.2T,方向如图所示。一带正电的粒子以 v0=1.2×106m/s 的初速度从磁场边界上直径 ab 端的 a 点射入磁 场,已知粒子比荷 q/m=108C/Kg,不计粒子重力,则粒子在磁 场中运动的最长时间为多少?
1

O

B

图5

【练习】如图所示,在 xoy 平面内有一个半径 r=3cm 的圆形匀强磁场区,磁感应强度 B=0.2T,方向垂直于 纸面向外, 比荷 q/m= 1? 10 c/kg 的正离子从坐标原点
8

y

v 0 以速度 v ? 1? 10 m / s 沿+y 方向进入磁场中。
6

0

x

(1) 当磁场圆心位于不同位置时正离子射出磁场时偏 转 角度大小也不同,求该偏转角可达到的最大值。 0) (74 (2)如果改变磁场区半径,正离子射出磁场时偏转角大 小也将不同,要使正离子以最大偏角飞离磁场后可穿过 x 轴,求 r 的取值范围。 ( r? 5 2

2

cm )

〔例 2-3〕人们到医院检查身体时,其中有一项就是做胸透,做胸透用的是 X 光,我 们可以把做胸透的原理等效如下:如图 8-3-5 所示,P 是一个放射源,从开口处在 纸面内向各个方向放出某种粒子(不计重力),而这些粒子最终必须全部垂直射到底片 MN 这一有效区域, 并要求底片 MN 上每一地方都有粒子到达. 假若放射源所放出的是 质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子,且所有的粒子速率都是 v,M 与放射源的出口 在同一水平面上,底片 MN 竖直放置,底片 MN 长为 L.为了实现上述目的,我们必须 在 P 的出口处放置一有界匀强磁场.求:(1)匀强磁场的方向; (2)画出所需最小有界匀强磁场的区域,并用阴影表示; (3) 匀 强 磁 场 的 磁 感 应 强 度 B 的 大 小 以 及 最 小 有 界 匀 强 磁 场 的 面 积 S.

〔练〕在 速率

平面内有许多电子(质量为

、电量为 ),从坐标原点 不断以相同

沿不同方向射入第一象限,如图所示。现加一个垂直于 xoy 平面向内、磁感应

2

强度为 B 的匀强磁场,要求这些电子穿过磁场后都能平行于 x 轴向 x 轴正方向运动,

求符合该条件磁场的最小面积。 四、带电粒子在正方形磁场中的运动 例 4、长为 L 的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图 6 所示,磁感强 度为 B,板间距离也为 L,板不带电,现有质量为 m,电量为 q O 的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以 r 速度 V 水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法 V 1 是: l A.使粒子的速度 V<BqL/4m; B.使粒子的速度 V>5BqL/4m; l +q V C.使粒子的速度 V>BqL/m; D.使粒子速度 BqL/4m<V<5BqL/4m。 图6 五、带电粒子在环状磁场中的运动 例 5、核聚变反应需要几百万度以上的高温, 为把高温条件下高速运动的离子约束 在小范围内 (否则不可能发生核反应) 通常采用磁约束的方法 , (托 卡马克装置) 。如图 7 所示,环状匀强磁场围成中空区域,中空区 域中的带电粒子只要速度不是很大, 都不会穿出磁场的外边缘而被 约 束 在 该 区 域 内 。 设 环 状 磁 场 的 内 半 径 为 R1=0.5m , 外 半 径 R2=1.0m,磁场的磁感强度 B=1.0T,若被束缚带电粒子的荷质比为 q/m=4× 10 C/㎏,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试 计算 (1)粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度。 图7
7

V1 ? 1.5 ?107 m / s
(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。 V2 ? 1.0 ?10 m / s
7

六、带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动 例 6、如图 10 所示,两个共轴的圆筒形金属电极, 外电极接地,其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a、b、c 和 d,外筒的外半径为 r,在圆筒之外的足够 大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场,磁感强度的
3

a S d o c b

图 10

大小为 B。在两极间加上电压,使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量 为m、带电量为+q 的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发,初速为零。如果该 粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点 S, 则两电极之间的电压 U 应是多少? (不计重力,整个装置在真空中) U ?

B 2 qr 2 2m

练习:如图所示,在半径为 R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,a、b、c 三 点等距离地分布在圆周上。 三对相同的平行金属板分别处于这三点 M 的圆的切线方向。它们的两板间电压为 U。在 a、b、c 处有小孔。 a 有一个质量为 m、带电量为 q 的粒子从 a 孔正对的金属板 M 处由 静止释放。不计重力,经过一段时间后,粒子又返回到 M 处。求: (1)磁场的磁感应强度; B ? (

mv0 3qR

=

1 3R

6Um q



c

b

(2)如果每对金属板间的距离都为 d,粒子运动的周期是多大。 (

?R 2

6m 2m ? 6d Uq Uq

七、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 例 7、如图 12 所示,空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电 场的场强大小为 E、方向水平向右,电场宽度为 L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大 小为 B,方向垂直纸面向里。一个质量为 m、电量为 q、不计重力的带正电的粒子从电 场的左边缘的 O 点由静止开始运动,穿过中间磁场区域进入 d L 右侧磁场区域后,又回到 O 点,然后重复上述运动过程。 求: B B (1) 中间磁场区域的宽度 d; E (2) 带电粒子从 O 点开始运动到第一次回到 O 点所 O 用时间 t.

图 12

4

同源带电粒子在有界磁场中的运动求解思路 解决这类问题一般都要画出解题示意图,但往往由于有界磁场限制了思路而不能 准确画出带电粒子的运动轨迹。如果把有界磁场扩大为无界磁场来考虑,问题将变得 很简单。 1. 同源等速异向带电粒子在磁场中的运动(动态圆法) 例 1. (2004 广东) 如图 8,真空室内存在匀强磁场,磁场 方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小 B=0.60T,磁场内有一 块平面感光板 ab, 板面与磁场方向平行, 在距 ab 的距离 l ? 16cm 处, 有一个点状的 ? 放射源 S,它向各个方向发射 ? 粒子,? 粒 子的速度都是 v ? 3.0 ?10 m / s ,已知 ? 粒子的电荷与质量之比
6

a
l
S
图8

b

现只考虑在图纸平面中运动的 ? 粒子,求 ab 上被 ? 粒子打中的区域的长度。 答案: PP ? 20cm 1 2 2. 同源异速同向带电粒子在匀强磁场中的运动(放缩法)

q ? 5.0 ? 107 C / kg , m

例 2-1. 如图 5 所示,匀强磁场中磁感应强度为 B,宽度为 d,一电子从左边界垂直 匀强磁场射入,入射方向与边界的夹角为 ?,已知电子的质量为 m,电量为 e,要使电 子能从轨道的另一侧射出,求电子速度大小的范围。

图4

例 2-2. 如图 4 所示,A、B 为水平放置的足够长的平行板,板间距离为

d ? 1.0 ? 10?2 m ,A 板上有一电子源 P,Q 点为 P 点正上方 B 板上的一点,在纸面内
从 P 点向 Q 点发射速度在 0~ 3.2 ? 10 m / s 范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁
7

场,磁感应强度 B ? 9.1? 10 T ,已知电子的质量

?3

,电子的电量

e ? 1.6 ? 10?19 C ,不计电子的重力和电子间的相互作 rm 用力,且电子打到板上均被
吸收,并转移到大地,求电子击在 A、B 两板上的范围。
5

3.小结 通过上面两个例题分析可知,求解带电粒子在有界磁场中的运动范围问题,可以 假设磁场无限大,把有界磁场变成无界磁场,画出带电粒子的可能运动轨迹,确定带 电粒子的运动范围后,根据题设要求再补画边界线,就可以得到所求的范围。 4.巩固练习 练习 1. 如图 1 所示,磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直于纸面向里,PQ 为该磁场的右侧边界线,磁场中有一点 O,O 点到 PQ 的距离为 r。现从点 O 以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出, 它们均 做半径为 r 的匀速圆周运动,求带电粒子打在边界 PQ 上的范围。(粒子 的重力不计) 练习 2. 如图 9(甲)所示,两水平放置的平行金属板 C、D 相距很近, 上面分别开有 小孔 O 和 O ? ,水平放置的平行金属导轨 P、Q 与金属板 C、D 接触良好,且导轨在磁感 强度为 B1=10T 的匀强磁场中,导轨间距 L=0.50m,金属棒 AB 紧贴着导轨沿平行导轨方 向在磁场中做往复运动,其速度图像如图(乙) ,若规定向右运动速度方向为正方向, 从 t=0 时刻开始,由 C 板小孔 O 外连续不断以垂直于 C 板方向飘入质量为 m=3.2× -21 -19 10 kg,电量 q=1.6×10 C 的带正电的粒子(设飘入速度很小,可视为零) ,在 D 板外 侧有以 MN 为边界的匀强磁场 B2=10T,MN 与 D 相距 d=10cm,B1 与 B2 方向如图所示(粒 子重力及其相互作用不计) ,求 (1)0 到 4.0s 时间内哪些时刻发射的粒子能穿过电场并飞出磁场边界 MN? (2)粒子从边界 MN 射出来的位置之间最大的距离为多少?

图9

答案: (1)0.25s<t<1.75s 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 1. 对称法 2. 动态圆法

(2)7.3cm。

3. 放缩法

4. 临界法
6

注意:高考经常考查极值和多解问题 1、 “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的极值型问题 寻找产生极值的条件: ①直径是圆的最大弦; ②同一圆中大弦对应 大的圆心角;③由轨迹确定半径的极值。 【1】当速度一定时,弧长(或弦长)越长,圆周角越大,则带电 粒子在有界磁场中运动的时间越长。 例 1:一质量 m、带电 q 的粒子以速度 V0 从 A 点沿等边三角形 ABC 的 AB 方向射入强度为 B 的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域 中,要使该粒子飞出磁场后沿 BC 射出,求圆形磁场区域的最小面 图 9-14 积。 【2】根据轨迹确定磁场区域,把握住“直径是圆中最大的弦” 。 2. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的多解型问题 抓住多解的产生原因: (1)带电粒子电性不确定形成多解。 (2)磁场方向不确定形成多解。 (3)临界状态不唯一形成多解。 (4)运动的重复性形成多解。 例 2:如图 9-15 所示,第一象限范围内有垂直于 xoy 平面的匀强磁场,磁感应强度为 B。质量为 m,电量大小为 q 的带电粒子在 xoy 平面里经原点 O 射入磁场中,初速度 v0 与 x 轴夹角θ =60o,试分析计算: (1)带电粒子从何处离开磁场?穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大?

图 9-15

图 9-16

(2)带电粒子在磁场中运动时间多长? 例 3:一质量为 m,电量为 q 的负电荷在磁感应强度为 B 的匀强磁场中绕固定的正电 荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负 电荷的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )

A.

B.

C.

D.

【总结】本题中只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方 向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成双解。
7

例 4:如图 9-17 甲所示,A、B 为一对平行板, 板长为 L,两板距离为 d,板间区域内充满着匀 强磁场,磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向 里,一个质量为 m,带电量为+q 的带电粒子以 初速 ,从 A、B 两板的中间,沿垂直于磁感 图 9-17 线的方向射入磁场。求 能从磁场内射出? 在什么范围内,粒子

例 5:如图 9-18 所示,在 x 轴上方有一匀强电场,场强为 E,方向竖直向下。在 x 轴 下方有一匀强磁场,磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里。在 x 轴上有一点 P,离原点 的距离为 a。现有一带电量+q 的粒子,质量为 m,从 y 轴上某点由静止开始释放,要 使粒子能经过 P 点,其初始坐标应满足什么条件?(重力作用忽略不计)

图 9-18 由于粒子在磁场中偏转到达 P 点时可能经过的半圆个数不确定,导致多解。 带电粒子在部分是磁场,部分是电场的空间运动时,运动往往具有重复性,因而形成 多解。

8


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