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《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业18


课时作业(十八)
1.独立重复试验应满足的条件: ①每次试验之间是相互独立的; ②每次试验只有发生与不发生两种结果之一; ③每次试验发生的机会是均等的; ④各次试验发生的事件是互斥的. 其中正确的是( A.①② C.①②③ 答案 C ) ) B.②③ D.①②④

1 2.已知随机变量 ξ~B(6,3),则 P(ξ≥2)=( 16 A.143 473 C.729 答案 C 471 B.729 1 D.243

3.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取 三次,球的颜色全相同的概率是( 2 A.27 2 C.9 答案 B ) 1 B.9 1 D.27

1 解析 每种颜色的球被抽取的概率为3, 从而抽取三次, 球的颜色 13 1 1 全相同的概率为 C1 3( ) =3× 3 27=9.

4.某一试验中事件 A 发生的概率为 p,则在 n 次试验中, A 发 生 k 次的概率为( A.1-pk C.(1-p)k 答案 D ) ) B.(1-p)k· pn-k
k n-k D.Ck p n(1-p) ·

5.若 X~B(5,0.1),则 P(X≤2)等于( A.0.665 C.0.918 54 答案 D

B.0.008 56 D.0.991 44

6.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动 一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都 1 是2.质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( 1 A.(2)5 13 C.C3 5( ) 2 答案 B
2 1 5 B.C5 (2) 3 1 5 D.C2 5C5( ) 2

)

解析 由题意可知质点 P 在 5 次运动中向右移动 2 次,向上移动 1 3 次,且每次移动是相互独立的,即向右移动的次数 ξ~B(5,2),∴
2 1 2 1 3 P(ξ=2)=C5 (2) (2) .

3 1 7.某电子管正品率为4,次品率为4,现对该批电子管进行测试, 设第 ξ 次首次测到正品,则 P(ξ=3)的值为( 3 2 1 2 A.C3 (4) ×4 )

1 2 3 2 B.C3 (4) ×4

1 3 C.(4)2×4 答案 C

3 1 D.(4)2×4

解析 当 ξ=3 表示前 2 次测出的都是次品,第 3 次为正品,则 1 3 P(ξ=3)=(4)2×4. 8.某种植物的种子发芽率是 0.7,4 颗种子中恰有 3 颗发芽的概率 是________. 答案 0.411 6 解析
3 C4 ×0.73×(1-0.7)=4×0.73×0.3=1.2×0.73=0.411 6.

9.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9,则服用这种新 药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为________(用数字作答). 答案 0.947 7
3 解析 至少 3 人被治愈的概率为 C3 0.1+(0.9)4=0.947 7. 4(0.9) ·

10.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层停 靠.若该电梯在底层载有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下 1 电梯的概率均为3,用 ξ 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数,则 P(ξ=4)=________. 10 答案 243 解析 任何一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 1 次独立重复试验,故 ξ~B(5,3), 1 k 2 5-k 即有 P(ξ=k)=Ck 5( ) ×( ) 3 3 ,k=0,1,2,3,4,5. 2 10 4 1 4 ∴P(ξ=4)=C5 (3) ×(3)1=243. 11.某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每天每个员工上网的

概率是 0.5(相互独立), 则一天内至少 3 人同时上网的概率为________. 21 答案 32 解析 记 Ar(r=0,1,2,?,6)为“r 个人同时上网”这个事件,则 1 r r 6-r 6 其概率为 P(Ar)=Cr =Cr 60.5 (1-0.5) 60.5 = 64C6, “一天内至少有 3 人同时上网”即为事件 A3∪A4∪A5∪A6,因为 A3,A4,A5,A6 为彼此互斥事件,所以可应用概率加法公式,得“一 天内至少有 3 人同时上网”的概率为 1 4 P=P(A3∪A4∪A5∪A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=64(C3 6 +C 6 1 21 5 6 +C6 +C6 )=64×(20+15+6+1)=32. 12.2013 年初,一考生参加北京大学的自主招生考试,需进行书 面测试,测试题中有 4 道题,每一道题能否正确做出是相互独立的, 3 并且每一道题被考生正确做出的概率都是4. (1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率; (2)若该考生至少做出 3 道题,才能通过书面测试这一关,求这名 考生通过书面测试的概率. 解析 (1)记“该考生正确做出第 i 道题”为事件 Ai(i=1,2,3,4),

3 则 P(Ai)=4,由于每一道题能否被正确做出是相互独立的,所以这名 考生首次做错一道题时,已正确做出两道题的概率为 3 3 1 9 P(A1A2 A3 )=P(A1)· P(A2)· P( A3 )=4×4×4=64. (2)记“这名考生通过书面测试”为事件 B,则这名考生至少正确 做出 3 道题,即正确做出 3 道或 4 道题,故

3 1 3 189 3 4 P(B)=C4 ×(4)3×4+C4 ×(4)4=256. 13.9 粒种子分种在 3 个坑中,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率 为 0.5.若一个坑内至少有 1 粒子发芽,则这个坑不需要补种;若一个 坑内的种子都没发芽, 则这个坑需要补种. 假定每个坑至多补种一次, 每补种 1 个坑需 10 元,用 ξ 表示补种的费用,写出 ξ 的分布列. 解析 补种费用 ξ 的分布列为 ξ P 0 10 20 30

0.670 0.287 0.041 0.002

1 点评 每个坑内 3 粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=8, 所以每 1 7 个坑不需要补种的概率为 p=1-8=8.利用 3 次独立重复试验的公式 求解即可. ?重点班选做题 14.一批玉米种子,其发芽率是 0.8.问每穴至少种几粒,才能保 证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98%?(lg2=0.301 0) 解析 记事件 A=“种一粒种子,发芽”, 则 P(A)=0.8,P(- A )=1-0.8=0.2. 设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98%. 因为每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B=“每穴至
0 少有一粒发芽”,则 P(- B )=Cn · 0.80· 0.2n=0.2n.

所以 P(B)=1-P(- B )=1-0.2n. 由 题 意 有 1 - 0.2n>98% , 所 以 0.2n<0.02 , 两 边 取 对 数 得 nlg0.2<lg0.02.即 n(lg2-1)<lg2-2.

lg2-2 所以 n> ≈2.43,且 n∈N,所以 n≥3. lg2-1 故每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98%. 15. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5, 购买 乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立, 各 顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、 乙两种商品中的一种概率; (3)用 ξ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的 一种的人数,求 ξ 的分布列. 解析 记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品,B 表 示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品,C 表示事件:进入商场 的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种. (1)C=A· B+A· B. P(C) = P(A·B + A · B) = P(A·B ) + P( A · B) = P(A)· P( B ) + P( A )· P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. (2) D = A · B, P( D )=P( A · B )=P( A )· P( B )=0.5×0.4=0.2, P(D)=1-P( D )=0.8. (3)ξ~B(3,0.8),故 ξ 的分布列为 P(ξ=0)=0.23=0.008,
2 P(ξ=1)=C1 3×0.8×0.2 =0.096, 2 P(ξ=2)=C2 3×0.8 ×0.2=0.384,

P(ξ=3)=0.83=0.512. ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

0.008 0.096 0.384 0.512

1.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣 币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各 任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、 二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2.则( A.p1=p2 C.p1>p2 答案 B B.p1<p2 D.以上三种情况都有可能 )

2 99 10 C99 98 解析 ∵p1=1-(100) ,p2=1-(C2 )5=1-(100)5, 100

∴p1<p2. 2. 口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球, 有放回地每次摸
? ?-1,第n次摸取红球, 取一个球,定义数列{an}:an=? 如果 Sn 为数 ?1,第n次摸取白球, ?

列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为( 1 2 5 A.C7 ×(3)2×(3)5 22 15 C.C2 7×( ) ×( ) 3 3 答案 C

)

2 1 4 B.C7 ×(3)2×(3)5 12 25 D.C3 7×( ) ×( ) 3 3

3.某厂大量生产某种小零件,经抽样检验知道其次品率是 1%, 现把这种零件每 6 件装成一盒,那么每盒中恰好含一件次品的概率是

(

) 99 A.(100)6
1 C6 1 C.100(1-100)5

B.0.01 1 2 1 4 D.C2 ) (1 - 6( 100 100)

答案

C

4.在 4 次独立重复试验中,事件 A 出现的概率相同,若事件 A 65 至少发生一次的概率为81, 则事件 A 在 1 次试验中出现的概率为( 1 A.3 5 C.6 答案 A 2 B.5 D.都不对 )

5.抛掷三个骰子,当至少有一个 5 点或一个 6 点出现时,就说这 次试验成功,则在 54 次试验中成功次数 X~( 4 A.B(54,27) 19 C.B(54,27) 答案 C ) )

19 B.B(52,27) 17 D.B(54,24)

1 6.已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(6,3),则 P(ξ=2)=( 3 A.16 16 C.243 答案 D 4 B.243 80 D.243

7. 有 n 位同学参加某项选拔测试, 每位同学能通过测试的概率都 是 p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一

位同学能通过测试的概率为( A.(1-p)n C.pn 答案 D

) B.1-pn D.1-(1-p)n

1 8. 一个学生通过某种英语听力测试的概率是2, 他连续测试 n 次, 要保证他至少有一次通过的概率大于 0.9,那么 n 的最小值为( A.3 C.5 答案 B B.4 D.6 )

9.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1-p,且 各引擎是否有故障是独立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常 运行,飞机就可以成功飞行;2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行, 飞机才可以成功飞行,要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,则 p 的 取值范围是( 2 A.(3,1) 2 C.(0,3) 答案 B ) 1 B.(3,1) 1 D.(0,3)

10.某处有水龙头 5 个,调查表明每个水龙头被打开的可能性是 1 10 ,随机变量 X 表示同时被打开的水龙头的个数,则 P(X = 3) = ________. 81 答案 10 000 11.一个袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中每次取出 1 个球, 取出后记下球的颜色然后放回, 直到红球出现 10 次时停止, 停止时取

球的次数 ξ 是一个随机变量, 则 P(ξ=12)=________.(写出表达式不必 算出最后结果) 答案
9 3 9 5 23 C11 (8) (8) · 8

1 12.某篮球运动员在三分线投球的命中率是2,他投球 10 次,恰 好投进了 3 球的概率为________.(用数字作答) 15 答案 128 13.某射手射击 1 次,击中目标的概率为 0.9,他连续射击 4 次, 且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论:①他第三 次击中目标的概率为 0.9;②他恰好击中目标 3 次的概率为 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率为 1-0.14. 其中正确结论的序号为________.(写出所有正确结论的序号) 答案 ①③

14.A,B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行 游戏, 当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片, 否则 B 赢得 A 一张卡片, 若某人已赢得所有卡片,则游戏终止.求掷硬币的次数不大于 7 次时 游戏终止的概率. 解析 1 4 1 5 1 2 P=(2)5×2+2×C5 (2) (2)

1 1 9 =16+2×5×(2)7=64.


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