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高中数学北师大版必修一:第三章 5.3 对数函数的图像和性质 _图文

第三章 §5 对数函数
5.3 对数函数的图像和性质

学习目标
1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法. 2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法. 3.会解简单的对数不等式. 4.了解反函数的概念及它们的图像特点.

内容索引

问题导学 题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一 y=logaf(x)型函数的单调区间
思考
我 们 知 道 y = 2f(x) 的 单 调 性 与 y = f(x) 的 单 调 性 相 同 , 那 么 y = log2f(x)的单调区间与y=f(x)的单调区间相同吗? 答案 y=log2f(x)与y=f(x)的单调区间不一定相同,因为y= log2f(x)的定义域与y=f(x)的定义域不一定相同.
答案

梳理
一般地,形如函数f(x)=logag(x)的单调区间的求法:①先求g(x)>0的 解集(也就是函数的定义域);②当底数a大于1时,g(x)>0限制之下g(x) 的单调增区间是f(x)的单调增区间,g(x)>0限制之下g(x)的单调减区间 是f(x)的单调减区间;③当底数a大于0且小于1时,g(x)>0限制之下g(x) 的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.

知识点二 对数不等式的解法
思考
log2x<log23等价于x<3吗? 答案 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义,即x>0, ∴log2x<log23?0<x<3.
答案

梳理

一般地,对数不等式的常见类型:

当a>1时,

f(x)>0(可省略),

logaf(x)>logag(x)? g(x)>0, f(x)>g(x);

当0<a<1时, logaf(x)>logag(x)?

f(x)>0, g(x)>0(可省略), f(x)<g(x).

知识点三 不同底的对数函数图像的相对位置
思考
y=log2x与y=log3x同为(0,+∞)上的增函数,都过点(1,0),怎 样区分它们在同一坐标系内的相对位置? 答案 可以通过描点定位,也可令y=1,对应x值即底数.
答案

梳理
一般地,对于底数a>1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠 近x轴;对于底数0<a<1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越小越靠 近x轴.

知识点四 反函数的概念
思考
如 果 把 y = 2x 视 为 A = R→B = (0 , + ∞) 的 一 个 映 射 , 那 么 y = log2x是从哪个集合到哪个集合的映射? 答案 如图,y=log2x是从B=(0, +∞)到A=R的一个映射,相当于A 中元素通过f:x→2x对应B中的元素 2x,y=log2x的作用是B中元素2x原路 返回对应A中元素x.
答案

梳理
一般地,像y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)这样的两个函数互为反函数. (1)y=ax的定义域R,就是y=logax的值域,而y=ax的值域(0,+∞)就是 y=logax的定义域. (2)互为反函数的两个函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1) 的图像关于直线y=x对称. (3)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.

题型探究

类型一 对数型复合函数的单调性 命题角度1 求单调区间 例1 求函数y=log 1 (-x2+2x+1)的值域和单调区间.
2
解答

反思与感悟
求复合函数的单调性要抓住两个要点:(1)单调区间必须是定义域的子集, 哪怕一个端点都不能超出定义域. (2)f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;f(x),g(x)单调性相异,则 f(g(x))为减函数,简称“同增异减”.

跟踪训练1 已知函数f(x)=log1 (-x2+2x).
2
(1)求函数f(x)的值域;

解 由题意得-x2+2x>0,∴x2-2x<0,

由二次函数的图像知0<x<2.

当0<x<2时,y=-x2+2x=-(x2-2x)∈(0,1],

∴log 1 (-x2+2x)≥log1 1=0.

2

2

∴函数y=log1 (-x2+2x)的值域为[0,+∞).

2

解答

(2)求f(x)的单调性. 解 设u=-x2+2x(0<x<2),v=log1 u,
2
∵函数u=-x2+2x在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,v=log 1 u是 2
减函数, ∴由复合函数的单调性得到函数f(x)=log 1 (-x2+2x)在(0,1)上是减函数,
2
在(1,2)上是增函数.
解答

命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围 例2 已知函数y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2 )上是增函数,求实
2
数a的取值范围.
解答

反思与感悟
若a>1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同,若0<a<1,则y =logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包 含于原函数的定义域.

跟踪训练2 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范 围是

A.(0,1) C.(1,3]

B.(1,3) D.[3,+∞)

解析 函数由y=logau,u=6-ax复合而成, 因为a>0,所以u=6-ax是减函数,那么函数y=logau就是增函数, 所以a>1,因为[0,2]为定义域的子集, 所以当x=2时,u=6-ax取得最小值, 所以6-2a>0,解得a<3,所以1<a<3.故选B.

解析 答案

类型二 对数型复合函数的奇偶性 2-x
例 3 判断函数 f(x)=ln 2+x的奇偶性.
解答

引申探究 a-x
若已知 f(x)=lnb+x为奇函数,则正数 a,b 应满足什么条件?
解答

反思与感悟
(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他 函数复合成奇函数(或偶函数). (2)含对数式的奇偶性判断,一般用f(x)±f(-x)=0来判断,运算相对 简单.

跟踪训练 3 判断函数 f(x)=lg( 1+x2-x)的奇偶性.
解答

类型三 对数不等式
例4 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1),解关于x的不等式: loga(1-ax)>f(1). 解 ∵f(x)=loga(1-ax),∴f(1)=loga(1-a). ∴1-a>0,∴0<a<1. ∴不等式可化为loga(1-ax)>loga(1-a). ∴?????11--aaxx<>10-,a, 即?????aaxx><a1,, ∴0<x<1. ∴不等式的解集为(0,1).
解答

反思与感悟
对数不等式解法要点: (1)化为同底logaf(x)>logag(x). (2)根据a>1或0<a<1去掉对数符号,注意不等号方向. (3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0.

跟踪训练 4 已知 A={x|log2x<2},B={x|13<3x< 3},则 A∩B 等于

A.????0,12 ????

B.(0, 2)

C.????-1,12 ????

D.(-1, 2)

解析 log2x<2,即 log2x<log24,等价于?????xx><04, , ∴A=(0,4).

13<3x<

1
3,即 3-1<3x< 32 ,

∴-1<x<12,B=????-1,12????,∴A∩B=????0,12????.

解析 答案

当堂训练

1.如图所示,曲线是对数函数 f(x)=logax 的图像,已知 a 取 3,43,35,110,

则对应于 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为

√A. 3,43,35,110

B. 3,43,110,35

C.43, 3,35,110

D.43, 3,110,35

12345

答案

2.如果 log1 x ? log 1 y ? 0, 那么

2

2

A.y<x<1

B.x<y<1

C.1<x<y

√D.1<y<x

12345

答案

3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于

√A.log2x
C. log 1 x
2

1 B.2x D.2x-2

12345

答案

4.已知函数 f(x)=ln 11+ +a2xx(a≠2)为奇函数,则实数 a=__-__2____.

解析 ∵f(x)为奇函数,

∴f(x)+f(-x)=ln

1+ax 1+2x+ln

1-ax 1-2x

(1+ax)(1-ax) 1-a2x2 =ln (1+2x)(1-2x)=ln 1-4x2 =0.

∴11--a42xx22=1,即 1-a2x2=1-4x2 对定义域内任意 x 恒成立,

∴a2=4. 又a≠2,∴a=-2.
12345

解析 答案

5.函数f(x)=ln x2的减区间为__(_-__∞_,__0_)___.

12345

答案

规律与方法
1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注 意定义域的影响. 2.y=ax与x=logay的图像是相同的,只是为了适应习惯用x表示自变量,y 表示因变量,把x=logay换成y=logax,y=logax才与y=ax关于y=x对称, 因为(a,b)与(b,a)关于y=x对称.

本课结束


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