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傅里叶变换及小波变换的工程应用


2000 年 6 月 第 13 卷 第 2 期

嘉兴高等专科学校学报
Jou rnal of J iax ing Co llege

Vol . 13, N o. 2 J un. 2000

傅里叶变换及小波变换的工程应用
钱苏翔
( 机电工程系)
  摘 要: 指出了傅里叶变换存在的问题, 针对其存在的精确性低和不适用于非平稳信号两大问题展开了讨论, 分析 了几种提高谱质量的校正方法, 对近几年得到迅速发展并形成研究热潮的小波变换技术的概念和其在故障诊断中的应 用作了介绍。 关键词: 傅里叶变换; 小波变换; 工程应用 中图分类号: TN 911 文献标识码: A

Appl ica tion of Four ier Tran sform and W avelet Tran sform
QI AN Sux iang
Abstract: T h is p ap er d iscu sses tw o m ain p rob lem s of Fou rier tran sfo rm fo r its low accu racy and inap titude to non stationary signals, w h ile g iving several co rrect m ethod s of im p roving sp ectrum quality 1T h is p ap er also g ives a b rief in troduction to the fast - develop ing & w idely - stud ied theo ry of w avelet tran sfo rm and its app lication to failu re d iagno sis1 Key W ords: Fou rier tran sfo rm , w avelet tran sfo rm , eng ineering app lication

   傅里叶 ( Fou rier ) 变换在信号分析、 处 理中起了十分重要的作用, 为机械设备的故 障诊断提供了一种十分有用的分析基础。 这 一有力的工具将时域中采集的时间序列数 据变换到频域中的谱, 使许多在时域中无法 看清的问题, 通过时域转换变得一清二楚。 近年来各种改进了的谱分析技术和各种现 代谱的出现使 Fou rier 分析更上一层楼。虽 然 Fou rier 变换具有突出的优点, 但仍存在 一些不足和局限性。本文针对 Fou rier 变换 存在的两大问题, 展开对 Fou rier 变换精度 的提高和适用于非平稳过程的小波分析工 程应用上的讨论。
1 Fou rier 变换及其局限性 111 Fou rier 变换

的谱。 就振动分析而言, 各频段的谱分量可 以告诉我们信号的各个组成部分, 表征着信 号的不同来源和不同特征。 对于图 1 所示周期性方波信号 x ( t ) , 其 Fou rier 级数 ( Fou rier Series ) 扩展式写 作
x ( t ) = 4 л( sin Ξt + 1 3sin3Ξt + 1 5sin5Ξt+ …)

图中 A n- Ξ 关系为幅值谱。 很明显, 频谱中 清晰地反映出对应时域信号的频率结构, 各 频率成分的幅值大小。 将 x ( t ) 看作周期函 数在 T →∞时的极限, 则将 Fou rier 级数的 定义推广到更一般的非周期函数, Fou rier 变换对如下:
X ( Ξ) = x ( t) = 1 ∞ x ( t ) e2Π - ∞

信号分析技术的基础是 Fou rier 变换,
Fou rier 变换可以将时域信号变换到频域中
收稿日期: 1999- 06- 15



iΞt



∫ X (Ξ) e
- ∞



iΞt

dt

?40? 即 x ( t ) ? X ( Ξ) IF T
FT

嘉兴高等专科学校学报                 第 13 卷

如下:
G ( Ξ, Σ) =

Σ) e ∫x ( t) g ( t 
R

i wt

dt

窗函数 g ( t 2Σ) 中的 Σ 是可变参数, 通过变动 Σ 控制窗函数在时间轴上移动, 实现信号的 逐段分析, 从而达到对一局部时间内信号变 化激烈程度的描述。但加窗 Fou rier 分析仍 然有它的局限性, 由于 “窗” 的大小和形状是 固定的, 因此难以适应信号频率高低不同的 要求。 实际应用中, 对低频信号要求用宽时 窗, 对高频信号则要求用窄时窗, 故而希望 有一个可调的时间窗。 小波分析正是为适应 这一要求发展起来的一种信号分析方法。
21 频谱校正方法

在设备工况监测和故障诊断中, 幅值、
图一 周期性方波及期频谱

频率和相位都是重要的分析参数, 不但有实 时性要求, 也有精度要求。 理论分析表明, 加 矩形窗时单谐波频率的最大误差可达
3614% , 即使加其它窗时, 也不能完全消除

Fou rier 变换的物理意义明显, 对数字

信号作离散 Fou rier 变换已经发展了快速 算法 FFT。可以在很短时间内作谱分析, 从 而实现对观测信号的实时分析。 频谱估计已 成为故障诊断领域中十分重要的特征分析 工具。
112 Fou rier 变换存在的问题 11211 精度问题

此影响, 如加 H ann ing 窗时, 只进行幅值恢 复时的最大误差仍高达 1315% , 相应误差 更大, 高达 90 度。 从 70 年代中期, 有关学者开始致力于 频谱校正理论的研究以期解决离散频谱误 差较大的问题, 国内主要研究单位是重庆大 学, 目前国内外提出的几种频谱分析的校正 方法有:
( 1) 离散谱三点卷积幅值校正法。 在已

系统采集到的信号长度是有限的, FFT 和谱分析只能在有限区间内进行, 就不可避 免地存在由时域截断 ( 加矩形窗) 产生的能 量泄露, 即经 FFT 得到的频谱其幅值、 相位 和频率都可能产生较大的误差。 现在已有了 多种频谱校正的方法。
11212 不适用于非稳态信号的分析

求出的加能量恢复系数的多段平均功率的 基础上, 采用系数为 1 的三点序列与功率谱 进行卷积得到校正幅值的功率谱。
( 2) 对幅值谱进行校正的比值法。 利用

由于指数函数 e 在整个时间域上是非 零的, 因而 Fou rier 系数是时域信号在整个 时域上的加权平均, 对时域信号某一特定时 刻的性质是无法反映的, 即分析不能作局部 分析。 一种改进的方法是, 在分析时对时域 信号 x ( t ) 加 “时间窗” , 其加窗 Fou rier 变换

iΞt

归一化后差值为 1 的两点函数比值, 建立一 个以校正频率为变量的方程, 解出频率, 再 进行幅值和相位的校正, 校正的频率、 幅值 和相位可达到很高的精度。
( 3) FFT 谱连续细化分析的 Fou rier 变

 第 2 期             钱苏翔: 傅里叶变换及小波变换的工程应用

?41?

换法。 用 FFT 作全景谱, 针对细化的局部再 用 D FT 进行运算, 以得到局部细化精度很 高的频谱。 这种方法精度很高, 但计算速度 下降太多。
( 4) 先得到准确相位, 再进行频率和幅

膜振荡等故障, 其过程是发现故障、 诊断故 障时急需分析的信号; 再如, 旋转机械的升 降速过程、 变换速机械的工况监视与故障分 析等, 也 是 非 平 稳 过 程。 对 于 这 类 问 题
Fou rier 分析的应用受到限制, 而小波分析

值校正的方法。 通过对同一信号进行不同长 度或连续两段 FFT 或 D FT , 首先校正得到 准确的相位, 然后再校正频率和幅值的方 法。
31 小波变换

方法具有突出优点。 由于小波分解尤其是小 波包分解技术能够将任何信号分解到一个 由于小波伸缩而成的基因数族上, 信息量完 整无缺, 在通频范围内得到分布在不同频道 内的分解序列, 在时域和频域均具有局部化 的分析功能。 因此, 可根据故障诊断的需要 选取包含所有零部件故障信息的频道序列, 进行深层信息处理以查找机械故障源。 小波 分析在故障诊断等领域具有广泛的应用前 景。
51 结束语

小波分析的基本思想是采用时窗宽度 可调的基函数即小波函数替代前式中的窗 函数。 小波函数为:
W s, Σ( t ) = 1 s 相应的小波变换和反变换分别为: a ( s, Σ) = x ( t) = 1 cw 1


W

t- Σ s

s

∫ x ( t)W
- ∞



3 s, Σ

( t) d t ( t) d sd Σ

提高 Fou rier 变换精度的方法仍限于 平稳过程, 而小波变换适用于工程中许多
Fou rier 变换无法分析的非平稳过程, 被认

∫∫
- ∞ -



a ( s, Σ)W ∞ S2

s, Σ

变动 S 和 Σ 可以得到一族小波函数, 变 动 Σ 使信号波形沿时间轴移动, 变动 S 使信 号波形沿时间轴伸展或压缩, 改变信号分析 的频段。因此, 小波变换对低频信号 (S 相对 较小) 在频域中有很好的分辨率, 而对高频 信号 ( S 相对较大) 在时域中又有很好的分 辨率。
41 基于小波变换的故障诊断

为是对 Fou rier 分析方法的突破性进展, 其 在图象处理、 奇异性检测、 故障诊断等方面 已有应用, 小波变换技术和专家系统、 模糊 理论和神经网络应用研究一样将具有极广 阔的应用前景。
参考文献:
[ 1 ]  布赖姆 1 快速 Fou rier 变换 [M ] 1 上海: 上海科

技出版社, 19841
[ 2 ]  刘进民等 1FFT 谱连续细化分析的富里叶变换

在传统的信号分析处理过程中, 常常假 设所分析的信号是线性和平稳的, 而在实际 中有许多过程为非平稳过程, 这在故障诊断 中更为如此, 如故障的发生、 发展过程即是 一非平稳过程, 尤其象旋转机械的摩擦、 油

法 [J ] 1 振动工程学报, 1995, (2) : 162—1661
[ 3 ]  秦前清等 1 实用小波分析 [M ] 1 西安: 西安电

子科技大学出版社, 19941


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