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2015步步高理科数学第一讲 坐标系

第一讲

坐标系

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
? ?x′= 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:? ?y′= ?

?λ>0?, ?μ>0?

的作用下,

点 P(x , y) 对应到点 P′(x′, y′) ,称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称 __________. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面内取一个______O, 叫做极点; 自极点 O 引一条______Ox, 叫做极轴;再选定一个______单位、一个______单位(通常取______)及其 正方向(通常取________方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的______叫做点 M 的极径,记为____;以极轴 Ox 为始 边,射线 OM 为终边的角______叫做点 M 的极角,记为____.有序数对______叫做点 M 的 极坐标,记为______.一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ____0,θ 可取__________. (3)点与极坐标的关系 一 般 地 , 极 坐 标 (ρ , θ) 与 ______________ 表 示 同 一 个 点 . 特 别 地 , 极 点 O 的 坐 标 为 ______________.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有______种表示. 如果规定 ρ>0,________,那么除______外,平面内的点可用______的极坐标(ρ,θ)表示; 同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是______确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为______,x 轴的正半轴作为______,并在两种坐标系 中取相同的__________. (2)互化公式:如图所示, 设 M 是平面内任意一点, 它的直角坐标是(x,y), 极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:

点M

直角坐标(x,y)

极坐标(ρ,θ)

互化公式 4.常见曲线的极坐标方程 曲线

x=__________, y=__________

ρ2=________, tan θ=_________

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

圆心为(r,0),半径为 r 的圆 π 圆心为(r, ),半径为 r 的圆 2 (1)__________或__________ (2)θ=α(ρ≥0)和________(ρ≥0)

过极点,倾斜角为 α 的直线

过点(a,0),与极轴垂直的直线

π 过点(a, ),与极轴平行的直线 2

π π 1.在极坐标系中,若点 A,B 的坐标分别是(3, ),(4,- ),则△AOB 为________三角形. 3 6 π 2.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. 4 3.(课本习题改编)极坐标方程 ρ=sin θ+2cos θ 能表示的曲线的直角坐标方程为________. 4.曲线 ρ=4sin θ 与 ρ=2 的交点坐标是________.

题型一 平面直角坐标系中的伸缩变换 例1
? ?x′=3x, 在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ:? ?2y′=y, ?

1 (1)求点 A( ,-2)经过 φ 变换所得的点 A′的坐标; 3 (2)求直线 l:y=6x 经过 φ 变换后所得的直线 l′的方程; y2 (3)求双曲线 C:x2- =1 经过 φ 变换后所得到的曲线 C′的焦点坐标. 64

? x?λ>0?, ?x′=λ· 思维升华 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. 在伸缩变换? ?y′=μ· y?μ>0? ?

下, 直线仍然变成直线, 抛物线仍然变成抛物线, 双曲线仍然变成双曲线, 圆可以变成椭圆, 椭圆也可以变成圆. 1 ? ?x′=2x, x2 2 椭圆 +y =1 经过伸缩变换? 4 ? ?y′=y 题型二 极坐标与直角坐标的互化 例2 (2012· 湖南)在极坐标系中,曲线 C1:ρ( 2cos θ+sin θ)=1 与曲线 C2:ρ=a(a>0)的一

后的曲线方程为________.

个交点在极轴上,则 a=________. 思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程, 只需把公式 x=ρcos θ 及 y=ρsin θ 直接代入并化 简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式, 进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.但 对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验. π? (2013· 北京)在极坐标系中,点? ?2,6?到直线 ρsin θ=2 的距离等于________. 题型三 求曲线的极坐标方程 例3 π 已知 P,Q 分别在∠AOB 的两边 OA,OB 上,∠AOB= ,△POQ 的面积为 8,则 3

PQ 中点 M 的极坐标方程为________. 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤: (1)建立适当的极坐标系,设 P(ρ,θ)是曲线上任意一点; (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式,解 决这类问题,关键是抓住问题的几何意义. (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. (1)(2012· 上海)如图,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与 π 极轴的夹角 α = . 若将 l 的极坐标方程写成 ρ = f(θ) 的形式,则 f(θ) = 6 ________. π ?θ-π?=- 3 2, ?, (2)(2012· 江苏改编)在极坐标系中, 已知圆 C 经过点 P? 圆心为直线 ρ sin 4 ? ? ? 3? 2 与极轴的交点,则圆 C 的极坐标方程为________.

转化与化归思想在坐标系中的应用 π 典例:(5 分)(2012· 安徽)在极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 的圆心到直线 θ= (ρ∈R)的距离是 6 ________. 思维启迪 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解. 解析 极坐标系中的圆 ρ=4sin θ 转化为平面直角坐标系中的一般方程为 x2+y2=4y,即 x2 π 3 +(y-2)2=4,其圆心为(0,2),直线 θ= 转化为平面直角坐标系中的方程为 y= x,即 3x 6 3 -3y=0. |0-3×2| ∴圆心(0,2)到直线 3x-3y=0 的距离为 = 3. 3+9 答案 3

温馨提醒 本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化, 考查了转化与化归 思想,题目难度不大,做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫.在进 行坐标互化时要注意以下几点: (1)互化的三个前提条件:①极点与原点重合;②极轴与 x 轴正方向重合;③取相同的单位 长度. (2)若把直角坐标化为极坐标,求极角 θ 时,应注意判断点 P 所在的象限(即角 θ 的终边的位 置),以便正确地求出角 θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.

方法与技巧 1. 我们在使用伸缩变换时, 要分清新旧坐标: P′(x′, y′)是变换图形后的点的坐标, P(x, y)是变换前图形的点的坐标.注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式, 以加深理解和记忆. 2.曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式 ρcos θ =x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同 时乘以 ρ 等. 3.如果要判断曲线的形状,我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断,这时我们直接 应用 x=ρcos θ,y=ρsin θ 即可. 失误与防范

极径 ρ 是一个距离,所以 ρ≥0,但有时 ρ 可以小于零.极角 θ 规定逆时针方向为正,极坐 标与平面直角坐标不同, 极坐标与 P 点之间不是一一对应的, 所以我们又规定 ρ≥0,0≤θ<2π, 来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.

A 组 专项基础训练 1.在极坐标系中,圆 ρ=-2sin θ 的圆心的极坐标是________. 2.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________. y′2 3.在平面直角坐标系中,经伸缩变换后曲线 x2+y2=16 变换为椭圆 x′2+ =1,此伸缩 16 变换公式是________. π? 4.在极坐标系中,点? ?2,3?到圆 ρ=2cos θ 的圆心的距离为________. 5.已知点 M 的极坐标为(6, 11π ),则点 M 关于 y 轴对称的点的直角坐标为________. 6

π 6.直线 ρcos θ=2 关于直线 θ= 对称的直线极坐标方程为________. 4 7. 在极坐标系中, 曲线 ρ=asin θ 与 ρ=acos θ(a>0, ρ>0,0≤θ<π)的交点的极坐标为________. π? 2 8.在极坐标系中,直线 ρsin? ?θ-4?= 2 与圆 ρ=2cos θ 的位置关系是________. 9.(2012· 陕西)直线 2ρcos θ=1 与圆 ρ=2cos θ 相交的弦长为________. π 10.在极坐标系中,射线 θ= (ρ≥0)与曲线 C1:ρ=4sin θ 的异于极点的交点为 A,与曲线 3 C2:ρ=8sin θ 的异于极点的交点为 B,则|AB|=________. B 组 专项能力提升 1.在极坐标系中,已知圆 ρ=2cos θ 与直线 3ρcos θ+4ρsin θ+a=0 相切,则实数 a 的值为 ________. 2.在极坐标系中,过圆 ρ=6cos θ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________. π π 3 .在极坐标系中,曲线 ρ = 4cos(θ - ) 与直线 ρsin(θ + ) = 1 的两个交点之间的距离为 3 6 ________. π θ- ?上的动点, 4. 在极坐标系中, P 是曲线 ρ=12sin θ 上的动点, Q 是曲线 ρ=12cos? 则|PQ| ? 6? 的最大值为________. π 3, ?,半径为 3 的圆的极坐标方程为______________________. 5.圆心为 C? ? 6?

π 6.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),曲线 C1, 6 C2 相交于点 M,N.则线段 MN 的长为________. π? π 7.已知极坐标系中,极点为 O,将点 A? ?4,6?绕极点逆时针旋转4得到点 B,且 OA=OB, 则点 B 的直角坐标为________.

答案
基础知识自主学习 要点梳理 1.λ· x μ· y 伸缩变换 2.(1)定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 (2)距离|OM| ρ xOM θ (ρ,θ) M(ρ, θ) ≥ 任意实数 (3)(ρ,θ+2kπ)(k∈Z) (0,θ)(θ∈R) 无数 0≤θ<2π 极点 惟一 惟一 3.(1)极点 极轴 长度单位 (2)ρcos θ ρsin θ x2+y2 y (x≠0) x π π 4. ρ=r(0≤θ<2π) ρ=2rcos θ(- ≤θ< ) ρ=2rsin θ(0≤θ<π) θ=α(ρ∈R) θ=π+α(ρ∈R) 2 2 (2)θ=π+α π π ρcos θ=a(- <θ< ) ρsin θ=a(0<θ<π) 2 2 夯基释疑 1.直角 2.4 3 3.x2+y2-2x-y=0 π 5π 4.(2, ),(2, ) 6 6

题型分类深度剖析 例1 解 (1)设 A′(x′,y′),由伸缩变换 φ: x′=3x, 2 1 由于 A(x,y)为( ,-2), 3

? ?x′=3x, ? ? ? 得到? 1 ?2y′=y ? ?y′= y, ?

1 1 ∴x′=3× =1,y′= ×(-2)=-1, 3 2 ∴A′的坐标为(1,-1). (2)设直线 l′上任意一点 P′(x′,y′),则 1 1 ? ? ?x=3x′, ?x=3x′ ? 将? ? ? ?y=2y′, ?y=2y′ 1 代入 y=6x 得 2y′=6×( x′),即 y′=x′, 3 ∴直线 l′的方程为 y=x.

1 ? ?x=3x′, (3)设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),则? ? ?y=2y′, 1 ? ?x=3x′, y2 将? 代入 x2- =1, 64 ? ?y=2y′ x′2 4y′2 x′2 y′2 得 - =1,化简得 - =1, 9 64 9 16 x2 y2 ∴曲线 C′的方程为 - =1.可见曲线 C′仍为双曲线,且焦点坐标为 F1(-5,0)、F2(5,0). 9 16 跟踪训练 1 x2+y2=1 1 ? ?x=2x′, ?x′=2x, ? 解析 由? 得到? ① ? ?y=y′. ? ?y′=y 4x′2 x2 将①代入 +y2=1 得 +y′2=1,即 x′2+y′2=1. 4 4 x2 因此椭圆 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2+y2=1. 4 例2 2 2

解析 将极坐标方程化为普通方程求解. ρ( 2cos θ+sin θ)=1,即 2ρcos θ+ρsin θ=1 对应的普通方程为 2x+y-1=0, ρ=a(a>0)对应的普通方程为 x2+y2=a2. 在 2x+y-1=0 中,令 y=0,得 x= 将? 2 2 ? 2 2 2 ,0 代入 x +y =a 得 a= 2 . ?2 ? 2 . 2

跟踪训练 2 1 π? 解析 极坐标系中点? ?2,6?对应直角坐标系中坐标为( 3,1),极坐标系直线 ρsin θ=2 对应 直角坐标系中直线方程为 y=2,∴点到直线 y=2 的距离为 d=1. 例3 2 3 π ρ2= (0<θ< ) π 3 sin θsin? -θ? 3

π 解析 建立如图所示极坐标系,设动点 M 坐标为(ρ,θ)(0<θ< ). 3 π P、Q 两点坐标分别为(ρ1,0),(ρ2, ). 3 1 π 则有 ρ1ρ2sin =8,① 2 3

1 ρρ sin θ=4,② 2 1 1 π ρρ sin( -θ)=4,③ 2 2 3 1 π ②×③得: ρ2ρ1ρ2sin θsin( -θ)=16,④ 4 3 由①得 ρ1ρ2= 32 代入④得 3

2 3 π ρ2= (0<θ< ),即为所求极坐标方程. π 3 sin θsin? -θ? 3 1 跟踪训练 3 (1) π ? sin? ?6-θ? 解析 如图,设 P(ρ,θ)为直线上任一点, |OM| ρ 在△OPM 中, = , π 5 -θ? sin π sin? 6 ?6 ? ∴ 2 ρ 1 1 = .∴ρ= ,即 f(θ)= . π ? 1 π ? π ? ? ? ? - θ - θ - θ sin?6 ? 2 sin?6 ? sin?6 ?

(2)ρ=2cos θ π 3 θ- ?=- 中令 θ=0,得 ρ=1, 解析 在 ρsin? 3 ? ? 2 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π? 因为圆 C 经过点 P? ? 2,4?, 所以圆 C 的半径 PC= π ? 2?2+12-2×1× 2cos =1, 4 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. 练出高分 A组 π 1,- ? 1.? 2? ? 解析 由 ρ=-2sin θ 得 ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为 x2+y2=-2y,化成标准方程 π? 为 x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为? ?1,-2?. 2.ρcos θ=1 解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线, 在直角坐标系中的方程为 x=1, 其极坐标方程为 ρcos θ=1.

1 ? ?x′=4x 3.? ? ?y′=y 解析
2 2 ? ?x′=λx?λ>0?, 2 y′ 2 ?μy? ? 设此伸缩变换为 代入 x′ + =1,得(λx) + =1,即 16λ2x2 16 16 ? ?y′=μy?λ>0?

+μ2x2=16.
2 ? ?16λ =1?λ>0?, 与 x +y =16 比较得? 2 ?μ =1?μ>0?, ? 2 2

1 1 ? ? ?λ=4, ?x′=4x, 故? 即所求变换为? ?μ=1, ?y′=y. ? ? 4. 3 解析 π? 极坐标系中的点? ?2,3?化为平面直角坐标系中的点为(1, 3);极坐标系中的圆 ρ=

2cos θ 化为平面直角坐标系中的一般方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,其圆心为(1,0). ∴所求两点间的距离为 ?1-1?2+? 3-0?2= 3. 5.(-3 3,-3) 解析 点 M 的直角坐标为 x=ρcos θ=6cos 11 11 π=3 3, y=ρsin θ=6sin π=-3.即 M(3 3, 6 6

-3),所以它关于 y 轴对称的点为(-3 3,-3). 6.ρsin θ=2 解析 直线 ρcos θ=2 的直角坐标方程为 x=2, π 直线 θ= 的直角坐标方程为 y=x, 4 所以所求的直线方程为 y=2. 其极坐标方程为 ρsin θ=2. 7.( 2a π , ) 2 4

π π 2a 解析 两式相除得 tan θ=1?θ= ?ρ=asin = . 4 4 2 8.相离 解析 直线的直角坐标方程为 x-y+1=0,圆的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1,圆心为 2 = 2>1.故直线与圆相离. 2

C(1,0),半径为 r=1,圆心到直线的距离 d= 9. 3

1 解析 直线 2ρcos θ=1 可化为 2x=1,即 x= ; 2

圆 ρ=2cos θ 两边同乘 ρ 得 ρ2=2ρcos θ, 化为直角坐标方程是 x2+y2=2x. 1 3 3 将 x= 代入 x2+y2=2x 得 y2= ,∴y=± . 2 4 2 ∴弦长为 2× 10.2 3 解析 将射线与曲线 C1 的方程联立,得 π π ? ? ?θ=3, ?θ=3, ? 解得? ? ? ?ρ=4sin θ, ?ρ=2 3, π 故点 A 的极坐标为(2 3, ), 3 π π ? ? ?θ=3, ?θ=3, 同理由? 得? ? ? ?ρ=8sin θ, ?ρ=4 3, π? 可得点 B 的极坐标为? ?4 3,3?, 所以|AB|=4 3-2 3=2 3. B组 1.-8 或 2 解析 将极坐标方程化为直角坐标方程, 得圆的方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1, 直线的方程为 3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1, |3×1+4×0+a| 即有 =1, 32+42 解得 a=-8 或 a=2. 故 a 的值为-8 或 2. 2.ρcos θ=3 解析 由 ρ=6cos θ 得,ρ2=6ρcos θ, 又 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,∴x2+y2=6x, 即(x-3)2+y2=9,圆心为(3,0), 故所求直线的极坐标方程为 ρcos θ=3. 3.2 3 π 解析 由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线 ρ=4cos(θ- )对应的直角坐标方程为 3 3 = 3. 2

π x2+y2-2x-2 3y=0,即(x-1)2+(y- 3)2=4,直线 ρsin(θ+ )=1 对应的直角坐标方程为 6 x+ 3y-2=0,所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小,由垂径定理可求得 弦长为 2 3,即两交点之间的距离为 2 3. 4.18 解析 ∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ, ∴x2+y2-12y=0,即 x2+(y-6)2=36. π? 又∵ρ=12cos? ?θ-6?, π π? ∴ρ2=12ρ? ?cos θcos 6+sin θsin 6?, ∴x2+y2-6 3x-6y=0, ∴(x-3 3)2+(y-3)2=36, ∴|PQ|max=6+6+ ?3 3?2+32=18. π? 5.ρ=6cos? ?θ-6? 解析 如图,设圆上任一点为 P(ρ,θ), π 则|OP|=ρ,∠POA=θ- , 6 |OA|=2×3=6, 在 Rt△OAP 中, |OP|=|OA|×cos∠POA, π? ∴ρ=6cos? ?θ-6?. π? ∴圆的极坐标方程为 ρ=6cos? ?θ-6?. 6.2 解析 由 ρ=4sin θ,得 ρ2=4ρsin θ, 即曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2-4y=0, π 3 由 θ= (ρ∈R)得,曲线 C2 的直角坐标方程为 y= x. 6 3 把 y= 3 x 代入 x2+y2-4y=0, 3

1 4 3 4 4 3 得 x2+ x2- x=0,即 x2- x=0, 3 3 3 3 解得 x1=0,x2= 3,∴y1=0,y2=1. ∴|MN|= ? 3?2+1=2.即线段 MN 的长为 2.

7.( 6- 2, 6+ 2) 5π? 解析 依题意,点 B 的极坐标为? ?4,12?, ∵cos π π? 5π =cos? ?4+6? 12

π π π π =cos cos -sin sin 4 6 4 6 = sin 6- 2 2 3 2 1 × - × = , 2 2 2 2 4 π π? 5π =sin? ?4+6? 12

π π π π =sin cos +cos sin 4 6 4 6 = 6+ 2 2 3 2 1 × + × = , 2 2 2 2 4 6- 2 = 6- 2, 4

∴x=ρcos θ=4× y=ρsin θ=4×

6+ 2 = 6+ 2. 4


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