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高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案:第二讲第1节第1课时参数方程的概念含答案


第 1 课时 参数方程的概念 [核心必知] 1.参数方程 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y 都是某个变数 t 的函数 ? ?x=f(t), ? ①,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M(x,y)都在这条曲 ?y=g(t), ? 线上,那么方程组①叫做这条曲线的参数方程. 联系变量 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 2.普通方程 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. [问题思考] 1.参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义? 提示:参数是联系变数 x,y 的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可 以是没有明显实际意义的变数. 2.曲线的参数方程一定是唯一的吗? ? ?x=4t+1, 提示:同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样.如? 和 (t∈R) ?y=2t ? ? ?x=2m+1, ? (m∈R) 都表示直线 x=2y+1. ?y=m ? ? ?x=2t, 已知曲线 C 的参数方程是? (t 为参数). 2 ?y=3t -1 ? (1)判断点 M1(0,-1)和 M2(4,10)与曲线 C 的位置关系; (2)已知点 M(2,a)在曲线 C 上,求 a 的值. [精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系.解答此题需要将已知点 代入参数方程,判断参数是否存在. ?x=2t, ? (1)把点 M1 的坐标代入参数方程? ?y=3t2-1, ? ? ?0=2t, 得? 2 ? ?-1=3t -1, ∴t=0.即点 M1 在曲线 C 上. ? ?x=2t, 把点 M2 的坐标代入参数方程? ?y=3t2-1, ? ?4=2t, ? 得? 方程组无解.即点 M2 不在曲线 C 上. 2 ? ?10=3t -1, ? ?2=2t, (2)∵点 M(2,a)在曲线 C 上,∴? 2 ? ?a=3t -1. ∴t=1,a=3×12-1=2.即 a 的值为 2. ————— ————————————— 已知曲线的参数方程,判断某点是否在曲线上,就是将点的坐标代入曲线的参数方程, 然后建立关于参数的方程组,如果方程组有解,则点在曲线上;否则,点不在曲线上. ?x=2sin θ +1, ? 1.已知曲线? (θ 为参数,0≤θ <π ),则下列各点 A(1,3),B(2,2), ? ?y=sin θ +3 C(-3,5)在曲线上的点是________. 解析:将 A(1,3)点代入方程得 θ=0;将 B、C 点坐标代入方程,方程无解,故 B、C 点不在曲线上. 答案:A(1,3) 如图,△ABP 是等腰直角三角形,∠B 是直角,腰长为 a,顶点 B、A 分别 在 x 轴、y 轴上滑动,求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程. [精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法,解答本题需要先确定参数,然后分别用同 一个参数表示 x 和 y. 法一:设 P 点的坐标为(x,y),过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q. 如图所示,则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB=t,t 为参数(0<t<a). ∵|OA|= a2-t2,∴|BQ|= a2-t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 2 2 ? ?x=t+ a -t , ? (0<t<a) ?y=t, ? 法二:设点 P 的坐标为(x,y),过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q,如图所示. π π 取∠QBP=θ,θ为参数(0<θ< ),则∠ABO= -θ

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