tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文章
当前位置:首页 >> 数学 >>

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究 建水县第二中学: 贾雪光

? 从最近几年高考试题的考查情况看, 解三角形部分的考查中主要是对用正、 余弦定理来求解三 角形、实际应用问题, 这两种常见考法中,灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理, 大边对大角,等在三角形中进行边角之间的相互转化,以及与诱导公式特别是 sin(A ? B) ? sin C 、
A? B ? sin C 的联系是关键。 2 于是多数教师在复习备考过程中, 往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形, 转 化, 变式应用上, 当然这也无可厚非, 但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目, 如: 1、 1 在锐角△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且 cos 2 A ? ? sin 2 A , a ? 7 求△ABC的面 2 1 积的最大值; 已知向量 M ? (sin A, ) 与 N ? (3, sin A ? 3 cos A) 共线, 2、 其中A是△ABC的内角, (1) 2 求角A的大小; (2)若BC=2,求△ABC的面积S的最大值。3、△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C A 7 的对边,向量 M ? (4,?1), N ? (cos 2 , cos 2 A) , M ? N ? , (1)求角A的大小; (2)若 a ? 3 是判 2 2 断当 b ? c 取得最大值时△ABC的形状。面对这样的问题,我们如何来引导学生很自然的过度,用一 种近乎水到渠成的方法来求解呢? cos

实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题,那就是余弦定理与基本不 等式的综合, 如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫, 我们就会有意外的 收获哦。 我在教学中是这样处理的:实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cosC

同时在基本不等式中我们总有这样一组公式:b 2 ? c 2 ? 2bc , a 2 ? c 2 ? 2ac ,b 2 ? a 2 ? 2ab 在三角 形中各边都是正数,所以上面三个式子在 a、 b 是三角形的三边时总是成立的,如果我们将两组公 式综合后会发现这样的一组公式即: a 2 ? 2bc ? (1 ? cos A) , b 2 ? 2ac ? (1 ? cosC)

c 2 ? 2ab ? (1 ? c o c) s

于是我们就有方程等式,得到了一组不等式,而在涉及到最值得求解时,我们常用的处理方法是, 一求函数值域;二、导函数;三、基本不等式即均值定理;但是前两种方法显然都不可能用于求解 上面两个题目类型的求解, 于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考 虑用均值定理了,自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。 于是我没有: 例1:在锐角△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且 cos 2 A ?
1 ? sin 2 A , a ? 7 求 2

△ABC的面积的最大值。 解析: 由已知条件 cos 2 A ? 得 A=
1 1 2? 1 ? sin 2 A 有 cos 2 A ? sin 2 A ? ? 即 cos 2 A ? ? 所以知道 2A= 解 2 3 2 2

2 ? ? ,同时由于 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 、 b 2 ? c 2 ? 2bc 知 7 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos 3 3

即有: 7 ? 2bc ? bc 也就是有 bc ? 7 同时又因为 S ?ABC ?
7 3 7 3 即△ABC的面积的最大值是 4 4

1 1 ? 1 3 bc sin A ? bc sin ? ? 7 ? 2 2 3 2 2

于是有: S ?ABC ?

1 例2:已知向量 M ? (sin A, ) 与 N ? (3, sin A ? 3 cos A) 共线,其中A是△ABC的内角, (1)求 2 角A的大小; (2)若BC=2,求△ABC的面积S的最大值。

解析:由两向量共线知: 2 sin 2 A ? 3 cos A sin A ? 3 即: 1 ? cos2 A ? 3 sin 2 A ? 3 也就是说

3 sin 2 A ? cos2 A ? 2 有辅助角公式可知 2 sin( 2 A ?

?
6

) ? 2 即有 sin( 2 A ?

?
6

) ? 1 解得角 A ?

?
3



又由于: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 、 b 2 ? c 2 ? 2bc 知 2 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos 即有: 4 ? 2bc ? bc 也就是有 bc ? 4 同时又因为 S ?ABC ?

?
3

1 1 ? 1 3 bc sin A ? bc sin ? ? 4 ? 2 2 3 2 2

于是有: S ?ABC ?

4 3 ? 3 即△ABC的面积的最大值是 3 4
A 7 , cos 2 A) , M ? N ? , 2 2

3、△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,向量 M ? (4,?1), N ? (cos 2

(1)求角A的大小; (2)若 a ? 3 是判断当 b ? c 取得最大值时△ABC的形状。 解析: (1)由 M ? N ?
7 1 ? 解得 cos A ? 所以 A ? 2 2 3

( 2 ) 在 △ ABC

中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 且 a ? 3 A ?

?
3

b 2 ? c 2 ? 2bc 所 以 有

3 △ABC 面积最大时,三角形式正三角形。 从以上三个例子中我们可以发现,在解三角形的过程中,如果涉及到要求三角形面积的最大 值时,可以考虑余弦定理与基本不等式综合,用基本不等式来构造不等关系,从而求解最值,以上 是我在教学实践中所发现的点滴规律, 展示出来供各位奋斗在教学一线的数学教师参考, 与各位辛 勤的同仁分享,希望能对你的教学有所帮助。

3 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos

2

?

? b 2 ? c 2 ? bc 即有 bc ? 3 当且仅当 b ? c 时取等号,此时有 a ? b ? c 所以当

姓 名:贾雪光 单位:云南省建水县第二中学 联系电话:13887336091 通讯地址: 云南省红河州建水县第二中学 邮编:654311 邮箱:1259642187@qq.com


推荐相关:

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究.doc

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究_数学_高中教育_教育专区。基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究 建水县第二中学: 贾雪光 ? 从...

解三角形(与三角形面积、形状有关的问题).doc

c =4 3 ,则△ABC 的面积的最大值为 . 【考点】 余弦定理;解三角形. 【...2 ,求△ABC 的面积的最大值. 【考点】向量共线定理;余弦定理;基本不等式;...

多角度解一道三角形面积最值题.pdf

多角度解一道三角形面积最值题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。通过一题多...1.解法探究 解法 1.利用余弦定理、结合重要不等式: ? , a ? 1 ,求 ?ABC...

高考数学常考题型的总结(必修五).doc

知识点:正弦定理、余弦定理和三角形面积的公式。...综合、与平面向量的综 合、以及与基本不等式综合...2 , B ? 60 ,求 b 的值 ? 答案: b ? 2 ...

诏安县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题.pdf

(2)直线 l1,l2 是椭圆的任意两条切线,且 l1∥l2,试探究在 x 轴上是否...意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式余弦定理求三角形面积的最大值...

正弦定理和余弦定理.ppt

板块二 典例探究 考向突破 考向 例1 利用正、余弦定理解三角形 1 π (...启智培优 破译高考 题型技法系列10利用基本不等式破解三角形面积的最值...

基础解答题的强化训练解三角形中最值问题.doc

基础解答题的强化训练解三角形中最值问题_高三...? ? 的最值问题. 类型一:化边用基本不等式求最...ABC 的面积的最大值. 1.解: (1)由余弦定理 a...

秒解三角形面积最值三法.doc

解三角形面积最值三法 - 秒解三角形面积最值三法 从图中我们能看到,第(1)问已经解决,用到了正弦 定理和余弦定理. 如何求面积的最大值呢? 从面积公式...

赏析解三角形中的最值问题.pdf

三角形中的范围与最值问题是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题, 它不仅...余弦定理? 面积公式? 三角 函数 ? 基本不等式 ? 二次函数等知识综合考查. ...

利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题.doc

函数一些表达式的最值问题,三角形中的范围问题是一类重要的问题, 在高考中经常出现,通常解决有两种思路,一是正弦定理与辅助角相结合,二是余弦定理基本不等式相 ...

黄冈市二轮复习专题:三角形中的不等和最值问题(讲).doc

三角形中的不等和最值问题新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体,不仅仅需要用到三 角变换、正余弦定理,往往还需要涉及基本不等式以及求函数...

解三角形中的一类最值(范围)问题的解法探究.doc

求三角形面积(或周长)的最值(或范围) ,但在解题方法的 选择上有值得考究的...在解法上虽然一个用了余弦定理和不等式、另一个用了 正弦定理和三角函数的图像...

三角形中的最值问题.doc

已知直角三角形的周长为 1,面积的最大值. 点评 例 2 已知△ABC 中, ...本题解法一运用了余弦定理和基 本不等式,解法二运用了正弦定理和基本不等式建立...

高中-《解三角形中面积(周长)最值的求法(教师版)》.doc

解题方法荟萃 求三角形面积(或周长)的最值(或范围),一般可有两种思路去解决: (1)用余弦定理+基本不等式 (2)用正弦定理+三角函数的取值范围 二、典型题剖析 ...

...热点06 三角形中的不等和最值问题(讲)(解析版)].doc

新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体, 不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理,往往还需要涉及基本不等 式以及求函数值域;因而三角形中的不等...

...,已知(1)求角;(2)若,求面积的最大值._答案_百度高考.doc

试题分析:本题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用,以及基本不等式的应用和利用三角形面积公式求面积的最大值.第一问,利用商数关系把转化为,消元,得...

高考数学专题:解三角形中面积(周长)最值的求法.doc

解题方法荟萃 求三角形面积(或周长)的最值(或范围),一般可有两种思路去解决: (1)用余弦定理+基本不等式 (2)用正弦定理+三角函数的取值范围 二、典型题剖析 ...

(整理)正余弦定理综合应用.doc

(1)角 ;(2)当 的值最小时, 正余弦定理综合...三角形 或, ,所以 时, 的面积 ,即 的最小值为...定理可得结果; ( 3) 由余弦定理, 利用基本不等式...

第七讲 解三角形_图文.ppt

(分析)欲cosC的最小值,建立cosC关于边a,b,c的...(结论)使用基本不等式a2+b2≥2ab即得. 第7讲│...正弦定理和余弦定理得出 方程进行的.当已知三角形...

专题03 三角形中的最值、范围(解析版).doc

即可证明; (Ⅱ)根据余弦定理公式表示出 cosC,由基本不等式求 cosC 的最小值....三角与几 何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com