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基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究


基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究 建水县第二中学: 贾雪光

? 从最近几年高考试题的考查情况看, 解三角形部分的考查中主要是对用正、 余弦定理来求解三 角形、实际应用问题, 这两种常见考法中,灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理, 大边对大角,等在三角形中进行边角之间的相互转化,以及与诱导公式特别是 sin(A ? B) ? sin C 、
A? B ? sin C 的联系是关键。 2 于是多数教师在复习备考过程中, 往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形, 转 化, 变式应用上, 当然这也无可厚非, 但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目, 如: 1、 1 在锐角△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且 cos 2 A ? ? sin 2 A , a ? 7 求△ABC的面 2 1 积的最大值; 已知向量 M ? (sin A, ) 与 N ? (3, sin A ? 3 cos A) 共线, 2、 其中A是△ABC的内角, (1) 2 求角A的大小; (2)若BC=2,求△ABC的面积S的最大值。3、△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C A 7 的对边,向量 M ? (4,?1), N ? (cos 2 , cos 2 A) , M ? N ? , (1)求角A的大小; (2)若 a ? 3 是判 2 2 断当 b ? c 取得最大值时△ABC的形状。面对这样的问题,我们如何来引导学生很自然的过度,用一 种近乎水到渠成的方法来求解呢? cos

实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题,那就是余弦定理与基本不 等式的综合, 如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫, 我们就会有意外的 收获哦。 我在教学中是这样处理的:实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cosC

同时在基本不等式中我们总有这样一组公式:b 2 ? c 2 ? 2bc , a 2 ? c 2 ? 2ac ,b 2 ? a 2 ? 2ab 在三角 形中各边都是正数,所以上面三个式子在 a、 b 是三角形的三边时总是成立的,如果我们将两组公 式综合后会发现这样的一组公式即: a 2 ? 2bc ? (1 ? cos A) , b 2 ? 2ac ? (1 ? cosC)

c 2 ? 2ab ? (1 ? c o c) s

于是我们就有方程等式,得到了一组不等式,而在涉及到最值得求解时,我们常用的处理方法是, 一求函数值域;二、导函数;三、基本不等式即均值定理;但是前两种方法显然都不可能用于求解 上面两个题目类型的求解, 于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考 虑用均值定理了,自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。 于是我没有: 例1:在锐角△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且 cos 2 A ?
1 ? sin 2 A , a ? 7 求 2

△ABC的面积的最大值。 解析: 由已知条件 cos 2 A ? 得 A=
1 1 2? 1 ? sin 2 A 有 cos 2 A ? sin 2 A ? ? 即 cos 2 A ? ? 所以知道 2A= 解 2 3 2 2

2 ? ? ,同时由于 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 、 b 2 ? c 2 ? 2bc 知 7 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos 3 3

即有: 7 ? 2bc ? bc 也就是有 bc ? 7 同时又因为 S ?ABC ?
7 3 7 3 即△ABC的面积的最大值是 4 4

1 1 ? 1 3 bc sin A ? bc sin ? ? 7 ? 2 2 3 2 2

于是有: S ?ABC ?

1 例2:已知向量 M ? (sin A, ) 与 N ? (3, sin A ? 3 cos A) 共线,其中A是△ABC的内角, (1)求 2 角A的大小; (2)若BC=2,求△ABC的面积S的最大值。

解析:由两向量共线知: 2 sin 2 A ? 3 cos A sin A ? 3 即: 1 ? cos2 A ? 3 sin 2 A ? 3 也就是说

3 sin 2 A ? cos2 A ? 2 有辅助角公式可知 2 sin( 2 A ?

?
6

) ? 2 即有 sin( 2 A ?

?
6

) ? 1 解得角 A ?

?
3



又由于: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 、 b 2 ? c 2 ? 2bc 知 2 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos 即有: 4 ? 2bc ? bc 也就是有 bc ? 4 同时又因为 S ?ABC ?

?
3

1 1 ? 1 3 bc sin A ? bc sin ? ? 4 ? 2 2 3 2 2

于是有: S ?ABC ?

4 3 ? 3 即△ABC的面积的最大值是 3 4
A 7 , cos 2 A) , M ? N ? , 2 2

3、△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,向量 M ? (4,?1), N ? (cos 2

(1)求角A的大小; (2)若 a ? 3 是判断当 b ? c 取得最大值时△ABC的形状。 解析: (1)由 M ? N ?
7 1 ? 解得 cos A ? 所以 A ? 2 2 3

( 2 ) 在 △ ABC

中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 且 a ? 3 A ?

?
3

b 2 ? c 2 ? 2bc 所 以 有

3 △ABC 面积最大时,三角形式正三角形。 从以上三个例子中我们可以发现,在解三角形的过程中,如果涉及到要求三角形面积的最大 值时,可以考虑余弦定理与基本不等式综合,用基本不等式来构造不等关系,从而求解最值,以上 是我在教学实践中所发现的点滴规律, 展示出来供各位奋斗在教学一线的数学教师参考, 与各位辛 勤的同仁分享,希望能对你的教学有所帮助。

3 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos

2

?

? b 2 ? c 2 ? bc 即有 bc ? 3 当且仅当 b ? c 时取等号,此时有 a ? b ? c 所以当

姓 名:贾雪光 单位:云南省建水县第二中学 联系电话:13887336091 通讯地址: 云南省红河州建水县第二中学 邮编:654311 邮箱:1259642187@qq.com


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