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高中必修1第四单元函数零点的存在性定理习题和答案

§ 3.4

函数的应用

3.4.1 函数与方程 第 1 课时 函数的零点

课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理 解二次函数的图象与 x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概 念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.

1.函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的交点和相应的 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的 关系

函数图象 Δ>0 Δ<0 判别式 Δ=0 与 x 轴交 点个数 方程的根 无解 2.函数的零点 一般地,我们把使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y=f(x)的______. 3. 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的________, 也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的 交点的______. 4.方程 f(x)=0 有实数根 ?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有______ ?函数 y=f(x)有______. 函数零点的存在性的判断方法 若函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x) 在区间(a,b)上有零点.

一、填空题 1.二次函数 y=ax2+bx+c 中,a· c<0,则函数的零点个数是________. 2.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法不正确的 是________.(填序号) ①若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0; ②若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0; ③若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0; ④若 f(a)f(b)<0,有可能不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0. 3. 若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为 2, 那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是________. 4. 已知函数 y=f(x)是偶函数, 其部分图象如图所示, 则这个函数的零点至少有________ 个.

?x2+2x-3, x≤0, ? 5.函数 f(x)=? 零点的个数为________. ?-2+ln x, x>0 ? 6.已知函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则实数 b 的取值范围是________.

7.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,-2 是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增 函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______. 8.函数 f(x)=ln x-x+2 的零点个数为________. 9.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k ∈N),则 k 的值为________. x 0 1 2 3 -1 x e 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 x+2 二、解答题 10.证明:方程 x4-4x-2=0 在区间[-1,2]内至少有两个实数解.

11.关于 x 的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,且一个大于 4,一个小于 4, 求 m 的取值范围.

能力提升
2 ? ?x +bx+c,x≤0, 12.设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程 f(x)=x 的 ?2, x>0, ?

解的个数是_______________________. 13.若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之 间,求 k 的取值范围.

1.方程的根与方程所对应函数的零点的关系 (1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零. (2)根据函数零点定义可知,函数 f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,因此判断一个函数 是否有零点,有几个零点,就是判断方程 f(x)=0 是否有实根,有几个实根. (3)函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的实数根,也就是函数 y=f(x)的图象 与 y=g(x)的图象交点的横坐标. 1 2.并不是所有的函数都有零点,如函数 y= . x 3.对于任意的一个函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不 一定变号.如函数 y=x2 有零点 x0=0,但显然当它通过零点时函数值没有变号.

§ 2.5 函数与方程 2.5.1 函数的零点
知识梳理 1.2 个 1 个 0 个 2 个 1 个 2.零点 3.实数根 横坐标 4.交点 零点 作业设计 1.2 个 解析 方程 ax2+bx+c=0 中,∵ac<0,∴a≠0, ∴Δ=b2-4ac>0, 即方程 ax2+bx+c=0 有 2 个不同实数根, 则对应函数的零点个数为 2 个. 2.①②④ 解析 对于①,可能存在根; 对于②,必存在但不一定唯一; ④显然不成立. 1 3.0,- 2 解析 ∵a≠0,2a+b=0, a 1 ∴b≠0, =- . b 2 a 1 令 bx2-ax=0,得 x=0 或 x= =- . b 2 4.4 解析 由图象可知, 当 x>0 时, 函数至少有 2 个零点, 因为偶函数的图象关于 y 轴对称, 故此函数的零点至少有 4 个. 5.2 解析 x≤0 时,令 x2+2x-3=0,解得 x=-3. x>0 时,f(x)=ln x-2 在(0,+∞)上递增, f(1)=-2<0,f(e3)=1>0,∴f(1)f(e3)<0, ∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. 综上,f(x)在 R 上有 2 个零点. 6.(-∞,0)

解析 设 f(x)=ax3+bx2+cx+d,则由 f(0)=0 可得 d=0,f(x)=x(ax2+bx+c)=ax(x- 1)(x-2)?b=-3a,又由 x∈(0,1)时 f(x)>0,可得 a>0,∴b<0. 7.3 0 解析 ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,由奇函数 的对称性可知,f(x)在(-∞,0)上也单调递增,由 f(2)=-f(-2)=0.因此在(0,+∞)上 只有一个零点,综上 f(x)在 R 上共有 3 个零点,其和为-2+0+2=0. 8.2 解析 该函数零点的个数就是函数 y=ln x 与 y=x-2 图象的交点个数.在同一坐标系 中作出 y=ln x 与 y=x-2 的图象如下图:

由图象可知,两个函数图象有 2 个交点,即函数 f(x)=ln x-x+2 有 2 个零点. 9.1 解析 设 f(x)=e2-(x+2),由题意知 f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,所以方程的一 个实根在区间(1,2)内,即 k=1. 10.证明 设 f(x)=x4-4x-2,其图象是连续曲线. 因为 f(-1)=3>0,f(0)=-2<0,f(2)=6>0. 所以在(-1,0),(0,2)内都有实数解. 从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解. 11.解 令 f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14. ?m>0 ?m<0 依题意得? 或? , ?f?4?<0 ?f?4?>0 ?m>0 ?m<0 ? ? 19 即? 或? ,解得- <m<0. 13 ?26m+38<0 ?26m+38>0 ? ? 12.3
? ? ?16-4b+c=c, ?b=4, 解析 由已知? 得? ?4-2b+c=-2, ? ? ?c=2. 2 ?x +4x+2,x≤0, ? ∴f(x)=? ? ?2, x>0. 当 x≤0 时,方程为 x2+4x+2=x, 即 x2+3x+2=0, ∴x=-1 或 x=-2; 当 x>0 时,方程为 x=2, ∴方程 f(x)=x 有 3 个解. 13.解 设 f(x)=x2+(k-2)x+2k-1. ∵方程 f(x)=0 的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,

2k-1>0 f?0?>0 ? ? ? ? ∴?f?1?<0 ,即?1+k-2+2k-1<0 ? ? ?f?2?>0 ?4+2k-4+2k-1>0 1 2 ∴ <k< . 2 3


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