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2.4.2抛物线的简单几何性质_图文

重点: 认识抛物线及其特点. 难点: 掌握抛物线的简单几何性质. 复习 1、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N l M 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。 · F · 即: MF ︳ ︳ 若 ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳ 注意:定点F在定直线l外 2、抛物线的标程 ﹒ ﹒ ﹒ y 图 形 焦 点 准 线 标准方程 o x y o x y o x ﹒ o y x 问题: 根据上表中抛物线的标准方程的不 同形式与图形,焦点坐标,准线方程对 应关系如何判断抛物线的焦点位置,开 口方向? 第一:一次项的变量如为X,则X轴为抛物线 的对称轴,焦点就在对称轴X轴上呀! 一次项的变量如为 Y,则Y轴为抛物线的对称 轴,焦点就在对称轴Y轴上呀! 第二:一次变量的系数正负决定了开口方向 练习1M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点 M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是 X0 + 这就是抛 物线的焦 半径公式 ! ———————————— — 2 p y O F . . M x 练习2 :写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0 1 (2)x2= 2 y (4)x2 +8y =0 准线方程 焦点坐标 ( 1) ( 2) ( 3) ( 5, 0) 1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8 x= -5 1 y= - — 8 5 x= — 8 ( 4) (0,-2) y=2 前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性 质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有 什么区别吗? 分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有 一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它 没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线,而椭 圆和双曲线称为有心圆锥曲线. 抛物线y2=2px(p>0)与椭圆、双曲线一样同 样有许多重要的性质,在这里我们一起研究它的 几个简单几何性质. 一.范围: 因为p>0,由y2=2px(p>0)可知,对于此抛物线 上的点M (x , y), x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧, 开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时,|y|也增 大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 二. 对称性: 以-y代y,方程y2=2px(p>0)不变,所以这条抛 物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做 抛物线的轴. 三. 顶点: 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线 y2=2px(p>0)的坐标的顶点就是坐标的原点. 四.离心率: 同样 ,抛物线上的点M到其焦点的距离 和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率, 用e表示.由定义可知,抛物线的离心率为e=1. 例1: 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点M(2,-2 2 ), 求它的标准方程. 解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在 原点,并且经过点M(2,-2 2),所以,可以设它的 标准方程为 y2=2px(p>0) 因为点M在抛物线上,所以(-2 2)2=2p· 2, 即 p=2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y2=4x 例2: y M F 如图,M是抛物线有y2=4x上 一点,F是抛物线的焦点,以Fx O 为始边、FM为终边的角 ∠xFM=60°,求|FM|. x 解:因为∠xFM=60°,所以线段FM所在直 线的斜率为k=tan 60°= 3,因此,直线FM的方 程为y= 3 (x-1). y= 3 (x-1),① 与抛物线y2=4x联立,得 y2=4x. ② { 继续解答 把①代入②得 y M点的坐标为(3,2 3). 2 2 因此,|FM|= (3 - 1) + (2 3 - 0) = 4. 1 解得 x1= 3 , x2=3. x O F 1 把x1= 3,x2=3分别代入①得 2 3 ,y2=2 3 . y1=? 3 1 2 3)不符合题意,所以 由图可知( ,? 3 3 3x2-10x+3=0, M 例3: 如图,直线y=x-2与抛物 线y2=2x相交于A,B两点,求 证:OA⊥OB. O y ● B F x A (x-2)2=2x. 证明:将y=x-2代入y2=2x中,得 则 y=3± 5 -2=1± 化简得 x2-6x+4=0, 解得x=3± 5 , 5 1+ 5 1因为k OB= ,k OA= 3+ 5 31 + 5 1所以k OB ·k OA= × 3+ 5 3所以OA⊥OB. 5 , 5 5 1-5 = =-1 5 9-5 补例:过抛物线y2=2px的焦点F 任作一条直线m,交这抛物线于A,B 两点,求证:以AB为直径的圆和这抛 y 物线的准线相切C . B 分析:运用 E H 抛物线的定 O F x 义和平面几 何知识来证 D A 比较简捷. 证明:如图.设AB的中点为E,过A、E、 B分别向准线l引垂线AD,EH,BC,垂足为D、 H、C, 则|AF|=|AD|,|BF|=|BC ∴|AB|=|AF|+|BF| C =|AD|+|BC|=2|EH| 所以EH是以AB为直径 的圆E的半径,且EH⊥l, 因而圆E和准线l相切. H D O y B E F A x 课堂小结 一.与椭圆、双曲线的几何性质比较, 抛物线的几何性质如下: 1.抛物线只位于半个坐标平面内,它可以无限 延伸,但没有渐近线. 2.抛物线只有1条对称轴,无对称中心. 3.抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条准线. 4.抛物线的离心率是确定的,其值为1. 二. 简单的定义: 1.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的对称轴. 2.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 3.抛物线上的动点M 到焦点的

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