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最新审定苏教版高中数学必修五2.3.1等比数列的概念及通项公式(名校课件)_图文

最新审定苏教版高中数学必修五优秀课件 2.3.1 等比数列的概念 及通项公式 栏 目 链 接 1. 理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公 式并能运用通项公式解决简单问题. 2. 类比等差数列,探究等比数列的性质,并能运 用这些性质熟练解决相关问题. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 1.从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常 数,那么这个数列叫等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 ________. a· qn-1(q≠0) 1 2.等比数列{an}的通项公式an=________. 3.如果a、G、b三个数满足G2=ab.则G称为a与b的 等比中项 栏 目 链 接 ________. 4.等比数列的性质. = n- m. (1)若{an}为等比数列,则an________ama qm · a aq n=ap· (2)若{an}为等比数列,且m+n=p+q等比数列 ,则________. (3)若{an}为等比数列,则a2,a5,a8也成________. qn2}为等比数列,且公比为q,则a1a2,a2a3,a3a4也 (4)若{a 成公比等于________的等比数列. 栏 目 链 接 知识点1 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这 个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表 示. 这一定义常被简述为若=q(n∈N*),则数列{an}是等比 数列.关于定义理解应注意:(1)由于等比数列每一项 都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能是 0.(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.(3) 均为同一常数,即比值相等,由此体现了公比的意义, 同时还要注意公比是每一项与其前一项之比,防止前 后次序颠倒. 栏 目 链 接 (4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n >3,n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常 数,则此数列不是等比数列.这时可以说此数列从第2 项起或从第n-1项起是一个等比数列.(5)如果一个数 列从第2项起,每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数,但却是不同的常数,这时此数列不是等 比数列.(6)常数列都是等差数列,但却不一定是等比 数列.若常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数 列;当常数列各项不为0时,它就是等比数列. 栏 目 链 接 知识点2 等比数列的判定方法 (1)an=an-1·q(n≥2,q是不为零的常数,an-1≠0)?{an}是等 比数列. (2)an2=an-1·an+1(n≥2;an-1,an,an+1≠0)?{an}是等比数列. (3)an=c·qn(c、q均是不为零的常数)?{an}是等比数列. 知识点3 主要性质(设an=a1qn-1,a1、q≠0) (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q >1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;当q=1时,{an} 是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列. (2)an=am·qn-m(m、n∈N*). (3)当m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有am·an=ap·aq. (4)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数 列;若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an·bn} 栏 目 链 接 ?1? 1 ? ? 是公比为qq′的等比数列;数列 是公比为 的等比数列; a q ? n? {|an|}是公比为|q|的等比数列. (5)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lg an}是公 差为lg q的等差数列. (6){an}中,公比q≠1,则连续取相邻两项的和(或差)构成公比 为q的等比数列. (7)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap成等比数 列. 栏 目 链 接 学习本节内容应注意的问题 (1)熟练运用直接依据等比数列的定义思考并解决等比数列的问 题. (2)注意灵活选设未知数.例如:三数成等比数列,可设这三数 a a a 分别为 、a、aq;当四数成等比数列时,可设这四个数为 3 , , 栏 q q q 目 链 aq,aq3. 接 (3)在要求的几个数中,若有若干个数成等差数列,若干个数成 等比数列,应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数. (4)学习时注意与等差数列进行对比,学会用类比、方程的思想 解决问题. 栏 目 链 接 题型1 等比数列的判断 例 1 已知 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和, S n = p n ( p ∈R, n∈N*),那么数列{an}( ) A.是等比数列 B.当p≠0时是等比数列 C.当p≠0,p≠1时是等比数列 栏 目 链 接 D.不是等比数列 分析:利用等比数列的概念进行判断. 解析:由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p,并且当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1. 故 a2=(p-1)p,因此数列{an}成等比数列 ? ?p-1≠0, ?? ?p-1?p ? ??p-1?p p≠0, n-1 n-2 =p. a2 ?p-1?p 而 = =p-1. a1 p 故满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D. 答案:D 名师点评:此题易得出错误的判断,排除错误的办法是熟悉数列 {an}成等比数列的必要条件是 an≠0(n∈N*),还要注意对任意 n∈N*, an n≥2, 都为同一常数是其定义规定的准确含义. an-1 栏 目 链 接 变式 迁移 1. (2013 · 全国卷 ) 若数列 { an } 的前 n 项和 S n = an +, 求证{an}是等比数列,并求出通项公式. 2 1 解析:当n=1时,由a1=S1= a1+ ,解得a1=1,当n≥2时,an=

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