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高中数学必修4第一章复习总结及典型例题


第一、任意角的三角函数
一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角, 与角 终边相同的角的集合 ? | ? ? 2k? ? ? , k ? z

?

?



弧度制,弧度与角度的换算,

弧长 l

? ? r 、扇形面积 s ? lr ? ? r 2 ,

1 2

1 2

二:任意角的三角函数定义:任意角 ? 的终边上任意取一点 p 的坐标是(x,y),它与原点的距 y x y 离是 r ? x 2 ? y 2 (r>0),那么角 ? 的正弦 sin a ? 、余弦 cos a ? 、正切 tan a ? ,它们都是以角 r r x 为自变量,以比值为函数值的函数。 三角函数值在各象限的符号: 三:同角三角函数的关系式与诱导公式:
2

1. 平方关系: sin

? ? cos2 ? ? 1

2. 商数关系:

sin ? ? tan ? cos ?

3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。

正弦 余弦 正切

第二、三角函数图象和性质
基础知识:1、三角函数图像和性质
y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

解析式 定义域

y=sinx

y=cosx

y ? tan x

y?
当 x? ,

y?
当 x? ,

值域 和最 值

y取最小值-1
当 x? ,

y取最小值-1
当 x? ,

y?
无最值

y取最大值1
周期性 奇偶性

y取最大值1

T ? 2?
奇函数

T ? 2?
偶函数

T ??
奇函数 在 ? k? ?

, 2k? ? ? 在 2k? ? ? k ?Z 2 2
单调性 上是增函数

?

?

2k? ? k ? Z 上 是 增 在 ?2k? ? ?,
函数

? ?

?
2

, k? ?

??

? k ?Z 2?

, 2k? ? 在 2k? ? ? 2
上是减函数 对称中心 (k? ,0) 对称性 对称轴方程

?

3? 2

? k ?Z



?2k?, 2k? ? ? ? k ? Z 上是减
?? 2 , 0) k ? Z

上为增函数

函数

k ?Z


对称中心 (k?

对称中心 (k? ,0) 或者 对称中心 (k?

k ?Z

x ? k? ? ? 2

对称轴方程 x ? k? , k ? Z

k ?Z

?? 2 , 0) k ? Z

2、熟练求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五

点法作 y ? A sin(? x ? ? ) 简图:五点分别为: 、 、 、 、 。

3、图象的基本变换:相位变换: y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) 周期变换: y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin(? x ? ? ) 振幅变换: y ? sin(? x ? ? ) ? y ? A sin(? x ? ? ) 4、求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式:即求 A 由最值确定,ω 有周期确定,φ 有特殊点确定。

基础练习: 1、 tan(?600? ) ?
2、 ? .

sin 225? ?



的终边与 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =_____。 cm2.

? 6

3、已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该圆心角是 1 弧度,则扇形的面积=
4、设

a<0,角 α 的终边经过点 P(-3a,4a),那么 sinα+2cosα 的值等于 __

5、函数 y ? 2 cos x ? 1 的定义域是_____
6、 .化简 1 ? sin 150 ? 的结果是
2



7、集合{ ? | kπ ?
y

π π ? ? ? kπ ? , k ?Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( 4 2
y y y



o

x

o

x

o

x

o

x

(C) (D) ? 8、函数 y ? 3 sin 2 x 的图象可以看成是将函数 y ? 3 sin(2x ? ) 的图象-------------( ) 3 ? ? ? ? (A)向左平移个 单位 (B)向右平移个 单位(C)向左平移个 单位 (D)向右平移个 单位 6 6 3 3
9、已知 sin ? ? 0, tan? ? 0 ,那么 ? 是 。

(A)

(B)

10.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在 11.已知 ? 是第二象限角,那么 A.第一象限角

? 是 ( 2

) C. 第二或第四象限角 D.第一或第三象限角

B. 第二象限角

12.右图是函数 y ? 2 sin(?x ? ?)(| ? |?

10 ? ,? ? 11 6 ? (C) ? ? 2, ? ? 6
(A) ? ?

? ) 的图象,那么-------------------( 2 10 ? y (B) ? ? ,? ? ? 11 6 1 ? (D) ? ? 2, ? ? ? 6 o



11? 12

x

13、下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin(2 x ? )

? 3

B. y ? sin(2 x ? )

? 6

? 对称的是( ) 3 ? x ? C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin( ? ) 6 2 3

14、下列函数中,周期为 ? 的偶函数是( A. y ? cos x B. y ? sin 2x

) C. y ? tan x D. y ? sin(2 x ?

?
2

)

解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 第一类型:1、已知角 ? 终边上一点 P(-4,3) ,求 的值 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

2.已知 ? 是第二象限角, f (? ) ?

sin(? ? ? ) tan(?? ? ? ) . sin(? ? ? )cos(2? ? ? ) tan(?? )

(1)化简 f (? ) ; (2)若 sin(? ?

3? 1 ) ? ? ,求 f (? ) 的值. 2 3

3.已知 tan ? ? 3 ,求下列各式的值: (1)

4sin ? ? cos ? 1 ; (2) . 3sin ? ? 5cos ? 2sin ? cos ? ? cos2 ?

第二类型: 1.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象 如右图所示,如果 A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求此函数的周期及最大值和最小值 (2)求这个函数函数解析式

?
2



第三类型:1.已知函数 y ?

1 ? 5 sin(2 x ? ) ? 2 6 4

(1)求函数的单调递增区间; (2)求出函数的对称中心和对称轴方程. (3) 写出 y=sinx 图象如何变换到 y ?

1 ? 5 sin(2 x ? ) ? 的图象 2 6 4


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