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第十三章气体动理论习题解


第十三章 气体动理论
13-1 真空设备内部的压强可达到 1.013×10-10 Pa,若系统温度为 300K,在此压强下, 气体分子数密度为多少? 解: n ?

p 1.013? 10?10 ? ? 2.45? 1010 m-3 kT 1.38? 10?23 ? 300

13-2 2.0×10-2 kg 氢气装在 2.0×10-3 m3 的容器内, 当容器内的压强为 3.90×105 Pa 时, 氢气分子的平均平动动能为多大? 解: 根据公式 p=

2 n? k 3

,可得

?k ?

3p ? 2n

3 ? 3.90 ? 105 ? 1.94 ? 10?22 J 2.0 ? 10?2 ? 6.02 ? 1023 2? 2.0 ? 10?3 ? 2.0 ? 10?3

13-3 体积为 1.0×10-3 m3 的容器中含有 1.01×1023 个氢气分子,如果其中压强为 1.01 ×105Pa,求该氢气的温度和分子的方均根速率。 解: 由理想气体物态方程可得氢气温度为: T=p ? (nk)=p V ? (Nk)=72.5K 氢气分子的方均根速率为:

v 2 ? 3RT/M H2 ? 9.51?102 m s-1
13-4 一容器内贮有氧气,其压强为 1.01×105 Pa,温度为 27.0℃,求: (1)气体分子 的数密度; (2)氧气的密度; (3)分子的平均平动动能; (4)分子间的平均距离(设分子间 均匀等距排列) 。 解: (1)气体分子的数密度 n=p / (kT)=2.44?1025 m-3 (2)氧气的密度 ?=m / v=p M / RT=1.30 kg?m-3 (3)氧气分子的平均平动动能

? k =3kT / 2=6.21?10-21J
(4)氧气分子的平均距离

d = 3 1 n =3.45?10-9 m
(本题给出了通常状态下气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理 量。 ) 13-5 某些恒星的温度可达到 1.0×108 K,这也是发生核聚变反应(也称热核反应)所

需要的温度,在此温度下的恒星可视为由质子组成。问: (1)质子的平均动能是多少?(2) 质子的方均根速率是多大? 解: (1) 质子的平均动能

? ? mv2 /2 ? 3kT/2 ? 2.07 ?10?15J
k

(2)质子的方均根速率为

v2 ?

3 kT ? 1.58? 106 ms ?1 m

13-6

质点在地球引力作用下所需的逃逸速率为 v ? 2gr ,其中 r 为地球半径, (1)若

使氢气分子和氧气分子的最概然速率与逃逸速率相等,它们各自应有多高的温度; (2)说明 大气层中为什么氢气比氧气要少(取 r=6.40×106 m) 。 解: 分子的最概然速率为 vp ?
2 RT Mm

依题意有: T=

2 grM m 2R

对氢气:

2 ? 9.8? 6.40? 106 ? 2 ? 10?3 ? 1.51? 104 K T= 2 ? 8.31
T=

对氧气:

2 ? 9.8? 6.4? 106 ? 32 ?10?3 ? 2.41? 105 K 2 ? 8.31

13-7 图中 I、Ⅱ 两条曲线是两种不同气体(氢气和氧气)在同一温度下的麦克斯韦分 子速率分布曲线,试由图中数据求出: (1)氢气分子和氧气分子的最概然速率; (2)气体的 温度。 分析: 由 vp= 2RT/Mm 可知,在相同温度下摩尔质量较大的气体。其最概然速率较 小。由此可断定图中曲线所标 vp=2.0?10-3m?s-1 对应于氢气分子的最概然速率,从而可求出 该曲线所对应的温度,氧气的最概然速率即可求得。 解: (1)氢气分子和氧气分子的最概然速率 氢气分子的最概然速率为 vp= 2 RT/MH 2 ? 2.0?103 m?s-1 氧气分子最概然速率
2 vp= 2 RT/M O2 ? v P H 2 4 ? 5.0 ? 10 m ?s-1

f(v) I

II

0

2000 习题 13-7 图

V/(ms-1)

(2)气体的温度 由 vp= 2RT/Mm 可得气体温度 T=v p ? Mm / 2R = 4.81?102 K
2

13-8 声波在理想气体中的传播的速率正比于气体分子的方均根速率, 问声波通过氢气 的速率与通过氧气的速率之比为多少?设这两种气体都为理想气体并具有相同的温度。 解: 声波速率 u 与气体分子的方均根速率成正比,而在温度一定的条件下,气体分子 的方均根速率与 1/M m 成正比。设声速 u=A 1/M m ,式中 A 为比例常量,则声波通过氧 气与氢气的速率之比为
uH 2 uO 2 ? M O2 M H2 ? 4 1

13-9 在容积为 2.0×10-3 m3 的容器中,有内能为 6.75×102 J 的刚性双原子分子理想气 体, (1)求气体的压强; (2)若容器中分子总数为 5.4×1022 个,求分子的平均平动动能及 气体的温度。 解: (1)气体压强 由E=

m i m ? RT 和 pV = RT 可得气体压强 Mm 2 Mm
p = 2E /(iV)= 1.35?105pa (2)气体分子的平均平动动能为

?k ?

E 3 ? ? 7.50?10-21J N 5

气体的温度 T = p/nk = pV(Nk) = 3.62?102 K 13-10 某气体系统速率分布规律为:

dN ? Av2 dv ?? N ?0

(0 ? v ? v F ) (v ? v F )

式中 A 为常量。 (1)画出速率分布曲线; (2)用 vF 表出常量 A; (3)求气体的最概然 速率、平均速率和方均根速率。 N/dN 解: (1)速率分布曲线如图所示。 (2)根据归一化条件应有
?

dN ? Ndv ? 0
A=

vF

2 ? Av dv ? A 0

3 vF ?1 3



3 3 vF

O

vF

v

(3)

dN ? A v 2 的最大值所对应的速率为 vF。则 Ndv

vp = vF 而

v ? ? vAv 2 dv ?
0

vF

A 4 3 vF ? vF 4 4

v 2 ? ? v 2 Av 2 dv ?
0

vF

A 2 vF 5



vrms=

3 vF 5

13-11 目前实验室获得的极限真空约为 1.33×10-11 Pa, 这与距地球表面 1.0×104 km 处 的压强大致相等,试求在 27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设气体分子的 有效直径 d=3.0×10-8 cm) 。 解: 由理想气体物态方程 p=nkT 得分子数密度为 n=p/kT=3.21?109m-3 分子的平均自由程为

? ? kT / 2πd2 p ? 7.8?108 m
可见,在该压强分子间几乎不发生碰撞。 13-12 若氖气分子的有效直径为 2.59×10-8 cm, 问在温度为 300K, 压强为 1.33×102 Pa

时氖分子碰撞频率为多少? 解: 由分析可得氖分子的平均碰撞频率

? p ? 8 RT =3.18?106 s-1 Z ? 2 πd 2 n v ? 2 πd 2 ? ? ? kT ? πM
如果理想气体的温度保持不变,当压强降为原值的 1 时,分子的平均碰撞频

13-13

4

率和平均自由程如何变化? 解: 由公式知 Z ? p ,当压强由 p0 降至 p0/2 时,平均碰撞频率变为

Z ? Z0

P0 / 2 ? Z0 / 2 P0

又因 λ ? 1/ p ,故当压强减半时,平均自由程变为

λ ? λ0

p0 ? 2 λ0 p0 /2

13-14 CO2 气体的范德瓦尔斯常量 a = 0.37Pa m6 mol-2,b = 4.3×10-5 m3 mol-1,当 0℃ 时其摩尔体积为 6.0×10-4 m3 mol-1,试求其压强。如果将其当作理想气体处理,结果怎样? 解: 用范德瓦尔斯方程求解,其压强为 p=

RT a ? 2 ? 3.05? 106 Pa Vm ? b Vm

作为理想气体求解,则有

p' ? RT/V ? 3.78?106 Pa
讨论:由计算可知, p' >p,这正是因为在建立理想气体模型时,忽略了分子本身占有的 体积及分子间的引力所致。 13-15 设一定质量的某种理想气体盛在半径为 R 的球形容器中,试根据分子动理论的 观点推导出压强公式:p= 1 nm v 2 = 2 n εk 。 3 3 推导: 为简单计,假设所有分子均沿径向运动,分子间无碰撞,分子与器壁的碰撞为 完全弹性碰撞。设第 i 个分子速率为 vi,该分子与器壁碰撞一次施予器壁的冲量,根据质点 的动量定理可知应为 2mvi,方向垂直于器壁向外。平均说来,该分子每通过距离 2R 即与器 壁碰撞一次,单位时间内该分子与器壁碰撞的次数为 vi/2R,施予器壁的冲量大小为

ΔI ?

vi m vi2 2 m vi ? 2R R

单位时间内所有分子施予器壁的冲量大小为

m vi2 ?I ? ? i ?1 R
N

分子施予器壁的冲量均匀分布在器壁上,器壁面积为 4?R2,气体施予器壁的压强等于 单位时间内气体分子施予单位面积器壁的冲量,则有

p?

ΔI 1 ? S 4 πR 2

m vi2 m ? R = 4 πR3 i ?1
N

?v
i ?1

N

2 i

?

mN 2 1 2 v ? nm v 2 ? n ? k 3 3 3 4 πR

13-16 设系统有 N 个分子,试证明:无论分子速率分布规律如何,其方均根速率总不 小于其平均速率。 证明: 设系统平均速率为 v ,第 i 个分子速率为 vi,则总有

(vi ? v ) 2 ?0

2 2 2 1 N 1 N (vi -v)2 ? ? (vi2 -2vi v ? v ) ?v 2 ? 2v v ? v ? v 2 ? v ? 0 ? N i ?1 N i ?1

即有

v2 ? v

表明方均根速率总不小于其平均速率,等号在所有分子速率均相等时成立。 得证。
1 根据麦克斯韦速率分布律,求系统速率倒数的统计平均值 。 v
1 1 ? m ? ? ? f(v)dv ? ? 4π ? ? v 0v ? 2π k T ? 0
? ? 3 2

13-17

解:

e

?

mv 2 2 kT

? m ? vdv ? ? ? ? 2π k T ?

3 ? 2

1 ? 4 2 ? 2 e 2 kT d (v ) ? ? v 0

mv 2

13-18

从麦克斯韦速率分布律出发,推导出分子按平动能 ? ?

1 m v 2 的分布规律: 2

f (ε ) ?

dN 2 ?ε/ ( kT ) ? (kT ) -3 2 e ε Ndε π
3 mv 2

并由此求出分子平动动能的最概然值。

dN ? m ? 2 ? 2 kT 2 推导: ? f (v)d v ? 4 π ? v dv ? e N ? 2 πkT ?


1 mv 2 2 dε ? mvdv

??

代入麦克斯韦速率分布律,整理可得 dN 2 ?ε/ ( kT ) f (ε ) ? ? (kT ) -3 2 e ε Ndε π 此即分子按平动能的分布规律。 根据极值条件,应有

df (ε ) ? 0 ,可得: dε

2 1 1 ? ?ε/ ( kT ) ? (kT ) -3 2 e ε? ???0 kT π 2 ε? ?
使上式成立的动能即为最概然动能 ε p ,易得:

kT 2 1 2 显然, ε p ? mv p 2 εp ?

,这是由于此处所得 ε p 来源于分子动能分布律, ε p 对应于单位动

能间隔内 f( ε )的极值点,vp 对应于单位速率间隔内 f(v)的极值点, 动能分布函数的极 值点所对应的速率与速率分布函数的极值点所对应的速率并不一致。 13-19 有 N 个质量均为 m 的同种气体分子,它们的速率分布如图所示。 (1)说明速率 分布曲线与横坐标所包围面积的意义; (2)由 N 和 vo 求 a 值; (3) N/ f (v) 求分子的最概然速率; (4)求分子的平均平动动能。 解: a (1) 速率分布曲线与横坐标所包围面积表示系统的总分子数。 (2)根据速率分布曲线下面积的物理意义,知: 1 N ? ? 3v0 ? a 0 2 v0 2N 则 习题 13-19 图 a? 3v0 (3)分布曲线峰值点对应的速率即为最概然速率,故 vp=v0 (4)速率在 0 到 v0 间隔内的分子速率分布的直线方程为

3v0

V

N f (v) ?

av v0

而速率在 v0 到 3v0 间隔内的分子速率分布的直线方程为 3a av N f (v) ? ? 2 2v0
εk ? 1 2 1 m 0 2 av m mv ? ? mv 2 f (v) dv ? v dv ? 2 2 2N ? v0 2N 0 0
? v 3 v0

?v

2

v0

? 3a a v ? 13 2 ? ? ? 2 2 v ? dv ? 12 mv 0 ? 0 ? ?


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