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数学 必修2 课堂练习 3.1.1


第三章

直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握它们之间的关系. 2.掌握过两点的直线的斜率计算公式, 并会简单的应用.

1.倾斜角
定义 记法 图示 范围 ( 1) 作用 ( 2) 0° ≤α<180° 表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是: 直 线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者缺一不可 当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴作为基准, 轴正向与直线 l 取 x 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 规定 α 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定直线的倾斜角为 0° .

理解倾斜角的概念时, 要注意三个条件: 轴正向; ①x ② 直线向上的方向; ③小于 180° 的非负角.

【做一做 1】 如图所示, 直线 l 的倾斜角为(

)

A.45° C.0° 答案: B

B.135° D.不存在

2.斜率
定义 (α 为直 线的倾 斜角) 记法 范围 公式 作用 k, k=tan α 即 R 经过两点 P1( 1, 1)P2( 2, 2) x1≠x2) x y , x y ( 的直线的斜率公式为 k=
2 -1 2 -1

α≠90° 一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率 α=90° 直线斜率不存在

用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度

①当直线的倾斜角是 90° 直线的斜率不存在, 时, 并不 是直线不存在, 此时, 直线垂直于 x 轴; ②所有的直线都有倾斜角, 但不是所有的直线都有斜率.

【做一做 2-1】 已知直线 l 的倾斜角 α=30°则其斜率 k 的值为 , ( )
3 3 3 3

A.0

B.

C.1

D. 3

解析: k=tan α=tan 30° . = 答案: B

【做一做 2-2】 已知 P1( 5)P2( -3)则直线 P1P2 的斜率 3, , -1, , k=(
1 C. 2

) A.2 B.1 D.不存在
-3-5 =2. -1-3

解析: k= 答案: A

1.倾斜角 剖析: 1) ( 理解倾斜角的概念, 需注意以下三个方面: ①角的顶点 是直线与 x 轴的交点; ②角的一条边的方向是指向 x 轴的正方向; ③ 角的另一条边的方向是由顶点指向直线向上的方向. ( 直线的倾斜角直观地反映了直线对 x 轴正方向的倾斜程度. 2) 每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应, 且倾斜程度不同的直线有 不同的倾斜角.相同的倾斜角对应的直线并不唯一. ( 在平面直角坐标系中, 3) 已知直线上的一个点不能确定一条直 线的位置.同样, 已知直线的倾斜角, 也不能确定一条直线的位置.因 此, 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是: 直线上的一 个定点以及它的倾斜角, 二者缺一不可.

2.斜率公式 剖析: 1) ( 直线的斜率公式可以通过直线上任意两点的坐标表示, 这比使用几何的方法先求倾斜角, 再求斜率的方法简便. ( 直线的斜率与直线上两点的顺序无关, 2) 即两点的纵坐标和横 坐标在公式中的次序可以同时调换, 这就是说, 如果分子是 y2-y1, 分 母必须是 x2-x1; 反过来, 如果分子是 y1-y2, 分母必须是 x1-x2, 即斜率 k=
1 -2 1 -2

=

2 -1 2 -1

.

( 当 x1=x2 时, 3) 斜率不存在. ( 用斜率公式时要一看, 4) 二用, 三求值.一看, 就是看所给两点的 横坐标是否相等, 若相等, 则直线的斜率不存在, 若不相等, 则进行第 二步; 二用, 就是将点的坐标代入斜率公式; 三求值, 就是计算斜率的 值, 尤其是点的坐标中含有参数时, 应用斜率公式时要对参数进行讨 论.

3.已知直线的斜率求直线的倾斜角 剖析: 本节中仅要求求特殊的倾斜角, 因此突破方法是掌握特殊的 斜率对应的倾斜角即可, 其对应情况如下表所示.
斜率 k 倾斜角 α 0° 0

3 3
30°

1 45°

3
60°

不存在 90°
3

- 3 120°

-1 135°

-

3 3

150°

倾斜角均是特殊角.

由上表可见, 当直线的斜率 k=0, 3 , 1, 3或斜率 k 不存在时, ± ± ± 其

题型一

已知两点坐标求倾斜角和斜率

【例 1】 求经过下列两点的直线的斜率, 并根据斜率指出其倾 斜角. ( ( 0)( 1) -3, ,-2, 3) ; ( ( -2)( -2) 2) 1, ,5, ; ( ( 4)( 9) 3) 3, ,-2, ; ( ( 0)( 3) 4) 3, ,3, .

解: 1) ( 直线的斜率 k=

3-0 -2+3

= 3=tan 60° ,

此直线的斜率为 3, 倾斜角为 60° . ( 直线的斜率 k= 2) ( 直线的斜率 k= 3)
-2+2 =0, 此直线的斜率为 5-1

0, 倾斜角为 0° .

9-4 =-1=tan -2-3

135°此直线的斜率为-1, , 倾斜角为

135° . ( 因为两点横坐标都为 3, 4) 故直线斜率不存在, 倾斜角为 90° .

已知两点 P1( 1, 1) P2( 2, 2) 求过这两点的直线的倾斜角 α x y , x y , 和斜率 k 的步骤: 1) x1=x2 时, ( 当 倾斜角 α=90°斜率不存在; 2) x1≠x2 , ( 当 时, 先求斜率 k=
1 -2 1 -2

=

2 -1 2 -1

, 再根据 k 的值确定倾斜角 α 的大小.

题型二

三点共线问题

【例 2】 若三点 A( -3)B( 3)C( k) 2, , 4, , 5, 在同一条直线上, 则实数 k= . 解析: 可利用斜率公式列方程来求 k 的值. ∵ 直线 AB 的斜率 kAB= ∴ 3=k-3, 解得 k=6. 答案: 6
3+3 =3, 直线 BC 4-2

的斜率 kBC=k-3,

用斜率解决三点共线问题的依据是: B, 三点共线?直 A, C 线 AB 的斜率与直线 BC 的斜率相等.

题型三

已知一个点和斜率画直线

【例 3】 在平面直角坐标系中, 画出经过点 P( 1) 2, 且斜率分别 为 0, 的直线 l1 ,2 . 1 l 解: Q1 ( 1 , 1 ) 设 x y 是直线 l1 上的一点, 则有
1 -1 1 -2

=0, y1 =1, 即 于是 Q1 ( 1 , . x 1)

令 x1 =0, Q1 ( 1) 过点 P 及( 1) 则 0, , 0, 的直线即 为 l1 , 如图所示. 同理, 1= 由
2-1 2-2

, y2 =x2 -1, y2 =0, x2 =1, 得 令 则

于是得直线 l2 上的一点 Q2 的坐标( 0) 过点 P 及 Q2 ( 0) 1, , 1, 的直线即为 l2 , 如图所示.

已知过点 P( n) m, 且斜率为 k 的直线 l, 在平面直角坐标系 中画 l 的步骤: 1) Q( 0, 0) l 上的一点; 2) ( 设 x y 是 ( 利用斜率公式得 k=
0 -n 0 -m

; 3) ( 整理得 y0=k( 0-m) 取 x0=0( y0=0) x +n, 或 解得
- + m

y0=-km+n 或0 =

的值, 得点 Q 的坐标( -km+n) 或 0,

- +

m,0 ; 4) ( 在平面直角坐标系中, 描出点 P 和 Q, 过点 P, 的直线就是 Q 所要画的直线 l.

题型四
易错点 错记斜率公式

易错辨析

【例 4】 过点 P1( -1) P2( 2) 3, 和 4, 的直线的斜率 k= 错解: k=
2-(-1) =-3. 3-4 2 -1 1 -2

.

错因分析: 错解中, 错把斜率公式记为 k= 正解: k= 答案: 3
2-(-1) =3. 4-3

.

斜率公式 k=

1 -2 1 -2

=

2 -1 2 -1

, 其特点是: ①分子是纵坐标的

差; ②分母是横坐标的差; ③两个差的“顺序”相同.

1.过点( 0) -3, 和点( 3) -4, 的直线的倾斜角是( A.30° 解析: 斜率 B.150°
3-0 k= =-4+3

)

C.60°

D.120°

3, 则倾斜角为 120° .

答案: D 2. 若三点 A( 2)B( -2)C( m) 1, , 3, , 0, 共线, 则实数 m= 解析: 直线 AB 的斜率 ∵ kBC=
+2 2+2 , ∴ 0-3 1-3 2+2 kAB= , 直线 BC 1-3

.

的斜率

=

+2 , 解得 m=4. 0-3

答案: 4

3.已知 P( 2)Q( m)且直线 PQ 的倾斜角为锐角, 0, , 1, , 试写出这样的 实数 m 的一个值: .

答案: 答案不唯一, 3( 只要实数 m>2 即可) 4.已知三点 A( 3)B( 11)C( -5)求证: 1, , 5, , -3, , 这三点在同一条直线上. 证明: 由斜率公式, 得直线 AB 的斜率 kAB=
11-3 =2, 直线 AC 的斜率 5-1

-5-3 kAC= =2, kAB=kAC, ∴ 且直线 AB 与 AC 都过点 A, A, C 这三点在同 ∴ B, -3-1

一条直线上.

5.在平面直角坐标系中, 画出经过点 P( 3) -1, 且斜率分别为-1, 的 2 直线 l1,2. l 解: Q1( 1, 1) 设 x y 是直线
1 -3 l1 上的一个点, 则有 =-1, y1=-x1+2. 即 1 +1

令 y1=0, x1=2, Q1 的坐标为( 0) 过点 P 及 Q1( 0) 有 则 2, , 2, 的直线即 为直线 l1, 如图所示.

同理, Q2( 2, 2) 设 x y 是直线 l2 上的一个点,
2 -3 由 +1=2, y2=2x2+5, x2=0, y2=5, 得 令 得 2

则 Q2 的坐标为( 5) 过点 P 及 Q2( 5) 0, , 0, 的直线即为直线 l2, 如图所 示.


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