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导数复习知识点总结


高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ,比值
?y ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ?x 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化率,即 ?x = 。如果当 ?x ? 0 时,

?y ?x 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’

(x 0 )或 y’| x? x0 。
lim

即 f(x 0 )= ?x ? 0 说明:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ?x ?x = ?x ? 0 。

?y ?y (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, ?x 有极限。如果 ?x 不存在极限,就说函数在点 x 0 处

不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤(可由学生来归纳) : (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ;
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x (2)求平均变化率 ?x = ;

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= 2.导数的几何意义

?x ? 0

lim

?y ?x 。

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率。也就 是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。相应地,切线方程为 y-y 0 =f/ (x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.几种常见函数的导数: ? xn ?? ? nxn?1; ① C? ? 0; ② ⑤ (e )? ? e ; ⑥ (a )? ? a ln a ;
x x x x

③ (sin x)? ? cos x ; ⑦

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑧

? ln x ?? ?

1 x;

? l o g a x ?? ?

1 log a e x .

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),

' ' ' 即: ( u ? v) ? u ? v .

法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
' ' ' 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ? u v ? uv . ' ' ' ' ' 若 C 为常数,则 (Cu) ? C u ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:

(Cu) ' ? Cu ' .

法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
? u ? u ' v ? uv' ? ? 2 的平方: ? v ? ‘= v (v ? 0) 。

形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y'| X = y' |U · X u'| 2010 高考数学复习详细资料——导数应用 知识清单 单调区间:一般地,设函数 y ? f (x) 在某个区间可导,
' 如果 f (x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; ' 如果 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数; ' 如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数;

2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为 负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f (x) 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数 ? (x) 在(a,b)内的极值; ②求函数 ? (x) 在区间端点的值 ?(a)、?(b); ③将函数 ? (x) 的各极值与 ?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间[a,b]等分 成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点 ξi(i=1,2,…n)作和式 In= i=1
n

?f

n

(ξi)△ x(其中

△ x 为小区间长度) ,把 n→∞即△ x→0 时,和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx

,即 ?a

b

f ( x)dx



lim ? f
n ?? i ?1

(ξi)△ x。

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做 积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式:

? 0dx =C;
m ? x dx

1 x m?1 m ?1 = +C(m∈Q, m≠-1) ;

? x dx=ln x +C;
?e
x

1

dx

= e +C;

x

ax ? a dx = ln a +C;
x

? cos xdx =sinx+C;
? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) 。
(2)定积分的性质 ① ?a ②?
b

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx
a b a

b

(k 为常数) ;
b a

b

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
c b



f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx a c ③ ?a (其中 a<c<b ) 。 (3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围 ,x
S ? ? f ( x)dx a 梯的面积 。 如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) ,及直 =b(a<b)围成,那么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲
DMNC= ?
b a b

成的曲边

线 x=a,x 边 梯 形

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a

b



课前预习 1.求下列函数导数 (1)
y ? x( x 2 ? 1 1 ? ) x x3
y ? ( x ? 1)( 1 x ? 1)

(2)

x x y ? x ? sin cos 2 2 (3)

x2 (4)y= sin x
4

3x 2 ? x x ? 5 x ? 9

(5)y=

x

2.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0



D. x ? 4 y ? 3 ? 0

2 3.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为(



(A) 2 x ? y ? 2 ? 0

(B) 3x ? y ? 3 ? 0

(C) x ? y ? 1 ? 0

(D) x ? y ? 1 ? 0 1 ○,

4.半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r2,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则( ? r2)`=2 ? r

1 ○式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0, +∞)上的变量,请你写出类似于 1 ○的式子: 2 ○式可以用语言叙述为:
y?

; 。

5. 曲线

1 2 x 和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是

。 )

6.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( A.f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1)

7.函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间
(a, b) 内有极小值点(

) C.3 个 D. 4 个

A.1 个 8. 已知函数

B.2 个
f ? x? ?

1 ? x ? ax e y ? f ? x? x ? ? 0,1? f ? x? ? 1 1? x 。 Ⅰ) a ? 0 , ( 设 讨论 的单调性; Ⅱ) ( 若对任意 恒有 ,

求 a 的取值范围。
3 2 ? ?1,1? 上的最大值是( 9. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间

) (D)4

(A)-2

(B)0

(C)2

3 2 10.设函数 f(x)= 2 x ? 3(a ? 1) x ? 1, 其中a ? 1.

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论 f(x)的极值。
3 11.设函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值 . xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为

??? ??? ? ? (x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) 、 ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求

(I)求点 A、B 的坐标; (II)求动点 Q 的轨迹方程. 12.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 (如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 13.计算下列定积分的值

(1) ?

3

?1 2

(4 x ? x 2 )dx
5

( x ? 1) (2) ?
1

dx

; ;

(3) ?0

?
2

( x ? sin x)dx

(4)

? ? cos
2 ? 2

?

2

xdx



14. (1)一物体按规律 x=bt3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平 方.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功。 (2) 抛物线 y=ax2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切. 此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S. 求 使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax. 典型例题 一 导数的概念与运算 EG:如果质点 A 按规律 s=2t3 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为( ) A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 变式:定义在 D 上的函数 f (x) ,如果满足: ? x ? D , ? 常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) | ≤M 成立,则称 f (x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界.
S (t ) ? 1 ? at t ?1 ,要使在 t ?[0 , ? ?) 上的每一时刻的瞬时速度是以

【文】 (1)若已知质点的运动方程为

M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 【理】 (2)若已知质点的运动方程为 S (t ) ? 2t ? 1 ? at ,要使在 t ?[0 , ? ?) 上的每一时刻的瞬时速度是 以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.
f ( x) ? 1 f (2 ? ?x) ? f (2) , 则 lim ?x ?0 x ?x 的值是(
1 C. 4

EG:已知
? 1 4



A.

B. 2
h ?0

D. -2 )

变式 1: A.-1 变式 2: A.

设f ??3? ? 4, 则 lim

f ?3 ? h ? ? f ?3? 为 2h (

B.-2

C.-3 D.1
f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 3?x ? ?x
?x ?0

设f ? x ? 在x0可导, 则 lim

等于





2 f ?? x0 ?

B.

f ??x0 ?

C.

3 f ?? x 0 ?

D.

4 f ?? x0 ?

曲线h(t )在t0 , t1 , t2附近得变化情况。 根据所给的函数图像比较
变式:函数 f (x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )

/ / A. 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2) / / B. 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2) / / C. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2) / / D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)

y

O 1 2 3 4

x

EG:求所给函数的导数:

(文科)y ? x3 ? log 2 x; y ? x n e x ; y ? (理科)y ? ( x ? 1)99 ; y ? 2e ? x ;

x3 ? 1 sin x y ? 2 x sin ? 2 x ? 5 ?



变式:设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g(3)=0.则 不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

EG:已知函数 y ? x ln x .(1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线的方程. 变式 1:已知函数 y ? e . (1)求这个函数在点 x ? e 处的切线的方程;
x

(2)过原点作曲线 y=ex 的切线,求切线的方程. 变式 2:函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=(
1 A. 8 1 B. 4 1 2

)

C.

D. 1

EG:判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
(1) f ( x) ? x 3 ? 3 x; (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1.
?x 变式 1:函数 f ( x) ? x ? e 的一个单调递增区间是

A. ?? 1,0?

B. ?2,8?
y?

C. ?1,2 ?

D. ?0,2?

变式 2:已知函数

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3

(1)若函数的单调递减区间是(-3,1) ,则 a 的是 (2)若函数在 [1,??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是

. .

3 2 变式 3: 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x ? ax与g ( x) ? bx ? c 的图象的一个公共点,两函数的图

象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围.

1 f ( x) ? x 3 ? 4 x ? 4 3 EG:求函数 的极值. 1 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 ? 0,3? 3 求函数 在 上的最大值与最小值..

变式 1: 函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开 区间 (a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3 2 x 变式 2:已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 0 处取得极


y

y ? f ?(x)

b

a

O

x

大值 5 , 示.求:

其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) ,(2, 0) ,如图所 (Ⅰ)
x0

的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.
3

4 变式 3:若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f (x) 极值 3 , ?

(1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.

变式 4:已知函数 值范围。

f ( x) ? x 3 ?

1 2 x ? 2x ? c 2 ,对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取

x EG:利用函数的单调性,证明: ln x ? x ? e , x ? 0

变式 1:证明:

1?

1 ? ln ?x ? 1? ? x x ?1 , x ? ?1

变式 2: (理科)设函数 f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.若关于 x 的方程 f(x)=x2+x+a 在[0,2]上恰好有两个相异的 实根,求实数 a 的取值范围.
3 2 EG: 函数 f ( x) ? x ? 3x?x ? R ?, 若 f ?mx ? ? f ?1 ? mx ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围

?? ? f ?m sin ? ? ? f ?1 ? m ? ? 0? 0 ? ? ? ? 2 ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 变式 1:设函数 f ( x) ? x ? 3x?x ? R ?, 若
3
2 2 变式 2:如图,曲线段 OMB 是函数 f ( x) ? x (0 ? x ? 6) 的图象, BA ? x 轴于点 A,曲线段 OMB 上一点 M (t , t )

处的切线 PQ 交 x 轴于点 P,交线段 AB 于点 Q, (1)若 t 已知,求切线 PQ 的方程 (2)求 ?QAP 的面积的最大值

变式 3:用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然

后把四边翻折 900 角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大的容积是多少? 变式 4:某厂生产某种产品 x 件的总成本
c( x) ? 1200 ? 2 3 x 75 (万元) ,已知产品单价的平方与产品件数 x 成

反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少时总利润最大? EG:计算下列定积分: (理科定积分、微积分) 21 3 ? 1 (1) ? dx; (2) ? (2x ? 2 )dx; (3) ? sin xdx; 1 x 1 0 x

(4) ? sin xdx; (5) ? sin xdx
?
0

2?

2?

变式 1:计算: ;

? (1)

?

2 0

cos 2 x 2 2 dx ?0 4 ? x dx cos x ? sin x ; (2)

2 变式 2: 求将抛物线 y ? x 和直线 x ? 1 围成的图形绕 x 轴旋转一周得到的几何体的体积.

1 变式 3:在曲线 y ? x ?x ? 0? 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 12 ,试求: (1)
2

切点 A 的坐标; (2)在切点 A 的切线方程. 实战训练 1. 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图所示,则导函数 y=f ?(x)的图象可能为( )

2. 已知曲线 S:y=3x-x3 及点 P(2, ?2) ,则过点 P 可向 S 引切线的条数为( (A)0 3. C 设 S 上的切点 (B)1
( x0 , y0 )

)

(C)2 求导数得斜率,过点 P 可求得:

(D)3
( x0 ? 1)( x0 ? 2)2 ? 0

.

4. 函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数(

).

? 3? 3? 5? ( A)( , ) (C )( , ) ( B ) ? ,?2 ) ( ( D ) (? ? 3 ) 2 , 2 2 2 2 5. y=2x3-3x2+a 的极大值为 6,那么 a 等于( ) (A)6 (B)0 (C)5 (D)1 6. 函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( ) (A)1,-1 (B)3,-17 (C)1,-17 (D)9,-19
? 7.设 l1 为曲线 y1=sinx 在点(0,0)处的切线,l2 为曲线 y2=cosx 在点( 2 ,0)处的切线,则 l1 与 l2 的夹角
为___________. 8. 设函数 f (x)=x3+ax2+bx-1,若当 x=1 时,有极值为 1,则函数 g(x)=x3+ax2+bx 的单调递减区间 为 .

9. (07 湖北)已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是
3 3] 10. (07 湖南)函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3, 上的最小值是

y?

1 x?2 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ?

3 2 , 处 11 . 07 浙 江 ) 曲 线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在 点 ( 1 ? 3 ) 的 切 线 方 程 是 (

9.. 已知函数

f ( x) ? ? x3 ? ax 2 ? b(a, b ? R)

(Ⅰ)若函数 f (x) 图像上任意一点处的切线的斜率小于 1,求证: ? 3 ? a ? 3 ; (Ⅱ)若
x ? ? 0,1?
k ≤1 ,函数 y ? f ( x) 图像上任意一点处的切线的斜率为 k ,试讨论 的充要条件。

x x 2 cos 2 +4t2+t2-3t+4,x∈R,其中 t ≤1,将 f(x)的最小值记为 g(t). 12.(07 安徽)设函数 f(x)=-cos2x-4tsin

(Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)诗论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 实战训练 B
g 1. (07 福建)已知对任意实数 x ,有 f (?x) ? ? f (x) , ( ?x) ? g (x) ,且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ,则

x ? 0 时(

) B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
1 x

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

2 2 2. (07 海南)曲线 y ? e 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



9 2 e A. 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

x 2 3. (07 海南)曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



9 2 e A. 4

B. 2e

2

C. e

2

e2 D. 2

2 4. (07 江苏)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,

f (1) 则 f '(0) 的最小值为(


5 B. 2 3 D. 2

A. 3

C. 2

5. (07 江西)5.若
sin x ?

0? x?

π 2 ,则下列命题中正确的是( sin x ?



A.

3 3 x sin x ? x π π B.

C.

4 2 4 x sin x ? 2 x 2 2 π π D.

6. (07 江西)若
sin x ? 2 x π

0? x?

π 2 ,则下列命题正确的是(


sin x ? 3 x π

sin x ?

A.

B.

2 x π

sin x ?

C.

3 x π

D.

7. (07 辽宁)已知 f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x) 与 g ( x) 仅当 x ? 0 时的函数值为 0, 且 f ( x) ≥ g ( x) ,那么下列情形不可能出现的是( A.0 是 f ( x) 的极大值,也是 g ( x) 的极大值 B.0 是 f ( x) 的极小值,也是 g ( x) 的极小值 C.0 是 f ( x) 的极大值,但不是 g ( x) 的极值 D.0 是 f ( x) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值
? 4? 1 y ? x3 ? x ? 1, ? 3 8. (07 全国一)曲线 在点 ? 3 ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(





1 A. 9

2 B. 9

1 C. 3
y?

2 D. 3
x2 1 4 的一条切线的斜率为 2 ,则切点的横坐标为(

9. (07 全国二)已知曲线 A.1 B.2



C.3

D.4

10. (07 浙江)设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是( )

11. (07 北京) f ?( x) 是

1 f ( x) ? x 3 ? 2 x ? 1 3 的导函数,则 f ?(?1) 的值是

12. (07 广东)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是
3 13. (07 江苏)已知函数 f ( x) ? x ? 12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ? m ? 2 2 14. (07 福建)设函数 f ( x) ? tx ? 2t x ? t ? 1( x ? R,t ? 0) .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值 h (t ) ;
2) (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 15.(07 广东)已知 a 是实数, 函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a .如果函数 y ? f ( x) 在区间 [?1,1] 上有零点,求 a

的取值范围.


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