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2007-2008学年北京市人大附中七年级(下)期末数学试卷


2007-2008 学年北京市人大附中七年级(下)期末 数学试卷

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2007-2008 学年北京市人大附中七年级(下)期末 数学试卷
一、选择题: (每小题 3 分) 1.根据不等式的性质,下列变形正确的是( ) A. 由﹣a<1 得 a<﹣1 B. 由﹣2a>﹣3 得 C. 由 得 a<2 D. 由 得

2.下列图形中,是轴对称图形的是( ) ①角 ②等腰三角形 ③直角三角形 ④正方形 ⑤平行四边形. A. ①②③ B. ③④⑤ C. ②③⑤

D. ①②④

3.点 P 在第四象限内,P 到 x 轴的距离是 3,到 y 轴的距离是 2,那么点 P 的坐标为( ) A. (﹣3,2) B. (2,﹣3) C. (﹣2,3) D. (﹣2,﹣3) 4.下列四种说法中:①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②相等的两个角一定是对顶角;③过一点有且 只有一条直线与已知直线平行;④平行于同一直线的两条直线平行,其中正确的说法有( ) A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 5.如果单项式 x A.
m+2n

y与x y

4 4m﹣2n

是同类项,则 m,n 的值为( ) B. C. m=2,n=1

D. m=﹣2,n=﹣1

6.用两种边长相等的正多边形不能铺满地面的是( A. 正三角形和正方形 C. 正三角形和正六边形

) B. 正三角形和正五边形 D. 正方形和正八边形

7.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A=120°,第二次拐的角∠B 是 150°,第三 次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C 是( )

A. 120°

B. 130°

C. 140° )

D. 150°

8.已知△ ABC 中,AB=5,AC=7,则 BC 边上的中线 a 的取值范围是( A. 1<a<6 B. 5<a<7 C. 2<a<12

D. 10<a<14 )

9.若点 P 关于 x 轴的对称点为 P1(4﹣b,b+2) ,关于 y 轴的对称点为 P2(2a+b,﹣a+1) ,则 P 的坐标为( A. (9,3) B. (﹣3,﹣3) C. (9,﹣3) D. (﹣9,﹣3)

10.已知方程组

的解为

,则 4a﹣3b 的值为(
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11. (2006?十堰) 如图, 已知∠1=∠2, AC=AD, 增加下列条件: ①AB=AE; ②BC=ED; ③∠C=∠D; ④∠B=∠E. 其 中能使△ ABC≌△AED 的条件有( )

A. 4 个

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个 )

12.如图,在△ ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交 BC 于 D,交 AB 于 E,DB=12cm,则 AC=(

A. 4cm

B. 5m

C. 6cm

D. 7cm

13.已知关于 x,y 的方程组

的解满足 3x﹣1<y,则 m 的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

14.如图,已知 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使得△ PAB 是等腰三角形,则符 合条件的 P 点有( )

A. 2 个

B. 4 个

C. 6 个

D. 8 个

二、填空题: (每小题 3 分) 15.若 2(x﹣2)的值不大于 x+5 的值,则 x 的取值范围是 _________ . 16.等腰三角形的周长为 20cm,且一边长为 6cm,则它的腰长为 _________ . 17.若 n 边形的内角和是它外角和的 2 倍,则 n= _________ . 18.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,若 BD:DC=4:3,点 D 到 AB 的距离是 12, 则 BC 的长为 _________ .

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19. (2007?泰安)如图,△ ABE 和△ ACD 是△ ABC 分别沿着 AB,AC 边翻折 180°形成的,若∠BAC=150°,则∠θ 的度数是 _________ 度.

20.若 AD 是等腰△ ABC 一腰上的高,且∠DAB=60°,则△ ABC 的顶角是 _________ 度. 三、解答题: 21.解方程组: .

22.解不等式组:

,并把不等式组的解集在数轴上表示出来.

23. (2006?内江)如图,在△ ABD 和△ ACE 中,有下列四个等式: (1)AB=AC; (2)AD=AE; (3)∠1=∠2; (4)BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设,余下的作为结论, 写出一个真命题. (要求写出已知,求证及证明过程)

24.如图,AD 为△ ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,连接 EF,EF 交 AD 于点 G、试判 断线段 AD 与 EF 的位置关系,并证明你的结论.

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www.jyeoo.com 25.如图,在∠ABC 内有一点 P,问:能否在 BA、BC 边上各找一点 M,N,使△ PMN 的周长最短?若能,请作 图确定点 M,N 的位置(不需证明,不写作法,保留作图痕迹) ;若不能,请说明理由.

26. (2007?长沙)某班到毕业时共结余经费 1800 元,班委会决定拿出不少于 270 元但不超过 300 元的资金为老师 购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给 50 位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念.已知每件文化衫 比每本相册费 9 元,用 200 元恰好可以买到 2 件文件衫和 5 本相册. (1)求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元? (2)有几种购买文化衫和相册的方案?哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足? 27.如图,B 是线段 AC 上一点,△ ABD 与△ BCE 均为等边三角形. (1)求证:AE=CD; (2)若△ BCE'与△ BCE 关于直线 AC 轴对称,AE'与 CD 还相等吗?画出图形.若相等,请给出证明;若不相等, 说明理由; (3)AE'与 BD 相交于点 F,CD 与 BE'相交于点 G,连接 FG,试判断△ FBG 的形状,并加以证明.

28.已知△ ABC 中,∠C 是其最小的内角,过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求 ∠ABC 与∠C 之间的关系为 _________ .

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2007-2008 学年北京市人大附中七年级(下)期末 数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题: (每小题 3 分) 1.根据不等式的性质,下列变形正确的是( ) A. 由﹣a<1 得 a<﹣1 B. 由﹣2a>﹣3 得

C.



得 a<2

D.





考点: 不等式的性质。 专题: 计算题。 分析: 根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案. 解答: 解:A、由不等式﹣a<1 两边同时乘以﹣1,不等号的方向发生改变,即 a>﹣1;故本选项错误; B、由不等式﹣2a>﹣3 的两边同时除以﹣2,不等号的方向改变,即 C、由不等式 D、由不等式 ;故本选项正确;

的两边同时乘以﹣2,不等号的方向改变,即 a<﹣4;故本选项错误; 的两边同时乘以﹣ ,不等号的方向改变,即 x> ;故本选项错误.

故选 B. 点评: 此题主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数,因此,解答不等式的问题时,应密切关注“0”存 在与否,以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质: (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,不等号的方向不变. (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 2.下列图形中,是轴对称图形的是( ) ①角 ②等腰三角形 ③直角三角形 ④正方形 ⑤平行四边形. A. ①②③ B. ③④⑤ C. ②③⑤

D. ①②④

考点: 轴对称图形。 专题: 常规题型。 分析: 根据轴对称图形的概念求解,如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图 形,这条直线叫做对称轴. 解答: 解:根据轴对称图形的定义可知: 角、等腰三角形、正方形是轴对称图形; 等腰直角三角形是轴对称图形,平行四边形不是轴对称图形. 故是轴对称图形的有①②④. 故选 D. 点评: 掌握轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合. 3.点 P 在第四象限内,P 到 x 轴的距离是 3,到 y 轴的距离是 2,那么点 P 的坐标为( ) A. (﹣3,2) B. (2,﹣3) C. (﹣2,3) D. (﹣2,﹣3)

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www.jyeoo.com 考点: 点的坐标。 专题: 常规题型。 分析: 根据点 P 所在的象限确定其横、纵坐标的符号. 解答: 解:因为点 P 在第四象限,所以其横、纵坐标分别为正数、负数, 又因为点 P 到 x 轴的距离为 3,到 y 轴的距离为 2, 所以点 P 的横坐标为 2 或﹣2,纵坐标为 3 或﹣3. 所以点 P 的坐标为(2,﹣3) . 故选 B. 点评: 考查了点的坐标,解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号,第一、二、三、四象限内 各点的符号分别为(+,+)(﹣,+)(﹣,﹣)(+,﹣) 、 、 、 . 4.下列四种说法中:①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②相等的两个角一定是对顶角;③过一点有且 只有一条直线与已知直线平行;④平行于同一直线的两条直线平行,其中正确的说法有( ) A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 考点: 平行公理及推论;对顶角、邻补角;垂线。 专题: 常规题型。 分析: 根据平行公理,对顶角的概念对各选项分析判断后利用排除法. 解答: 解:①在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故本小题错误; ②相等的两个角两边不一定是互为反向延长线,所以不一定是对顶角,故本小题错误; ③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本小题错误; ④平行于同一直线的两条直线平行,是平行公理,故本小题正确. 综上所述,正确的说法是④共 1 个. 故选 A. 点评: 本题考查了平行公理以及对顶角的概念,是基础知识,需要熟练掌握. 5.如果单项式 x A.
m+2n

y与x y

4 4m﹣2n

是同类项,则 m,n 的值为( ) B. C. m=2,n=1

D. m=﹣2,n=﹣1

考点: 同类项。 分析: 根据同类项定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,这样的项叫做同类项,可得:m+2n=4,4m ﹣2n=1,再解方程即可. ﹣ 解答: 解:∵单项式 xm+2ny 与 x4y4m 2n 是同类项, ∴m+2n=4,4m﹣2n=1, 解得:m=1,n= , 故选:B. 点评: 此题主要考查了同类项定义,关键把握住:①一是所含字母相同,二是相同字母的指数也相同,两者缺一不 可;②所有常数项都是同类项. 6.用两种边长相等的正多边形不能铺满地面的是( A. 正三角形和正方形 C. 正三角形和正六边形 ) B. 正三角形和正五边形 D. 正方形和正八边形

考点: 平面镶嵌(密铺) 。 分析: 分别求出各个正多边形的每个内角的度数,结合镶嵌的条件即可作出判断. 解答: 解:正三角形的每个内角是 60°,正方形的每个内角是 90°,∵3×60°+2×90°=360°,能铺满;
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www.jyeoo.com 正三角形的每个内角是 60°,正五边形每个内角是 180°﹣360°÷5=108°,60m+108n=360°,m=6﹣ n,显然 n 取任何正整数时,m 不能得正整数,故不能铺满; 正三角形每个内角 60 度,正六边形每个内角 120 度,2×120+2×120=360 度,所以能铺满; 正方形每个内角 90 度,正八边形每个内角 135 度,135×2+90=360 度,能铺满. 故选 B. 点评: 几何图形镶嵌成平面的关键是:围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角. 7.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A=120°,第二次拐的角∠B 是 150°,第三 次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C 是( )

A. 120°

B. 130°

C. 140°

D. 150°

考点: 平行线的性质。 分析: 首先根据题意作辅助线:过点 B 作 BD∥AE,即可得 AE∥BD∥CF,则可求得:∠A=∠1,∠2+∠C=180°, 则可求得∠C 的值. 解答: 解:过点 B 作 BD∥AE, ∵AE∥CF, ∴AE∥BD∥CF, ∴∠A=∠1,∠2+∠C=180°, ∵∠A=120°,∠1+∠2=∠ABC=150°, ∴∠2=30°, ∴∠C=180°﹣∠C=180°﹣30°=150°. 故选 D.

点评: 此题考查了平行线的性质.注意过一点作已知直线的平行线,再利用平行线的性质解题是常见辅助线. 8.已知△ ABC 中,AB=5,AC=7,则 BC 边上的中线 a 的取值范围是( A. 1<a<6 B. 5<a<7 C. 2<a<12 ) D. 10<a<14

考点: 全等三角形的判定与性质;三角形三边关系。 分析: 延长 AE 到 D,使 AE=DE,通过证明△ AEC≌△DEB△ ,可得 BD=AC,根据三角形的三边关系,得出即可. 解答: 解:延长 AE 到 D,使 AE=DE,连接 BD. ∵AE 是中线, ∴BE=CE,∠AEC=∠DEB, ∴△AEC≌△DEB△ (SAS) , ∴BD=AC=7,又 AE=a, ∴2<2a<12,
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点评: 本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系,三角形中任意两边之和大于第三边,任意两 边之差小于第三边. 9.若点 P 关于 x 轴的对称点为 P1(4﹣b,b+2) ,关于 y 轴的对称点为 P2(2a+b,﹣a+1) ,则 P 的坐标为( A. (9,3) B. (﹣3,﹣3) C. (9,﹣3) D. (﹣9,﹣3) )

考点: 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标。 专题: 常规题型。 分析: 根据平面直角坐标系中对称点的规律先求出 a 和 b 的值,继而得出点 P 的坐标. 解答: 解:设点 P 的坐标为(m,n) 根据平面直角坐标系中对称点的规律可知,点 P 关于 x 轴的对称点为 P1(m,﹣n) ;关于 y 轴对称点 P2 的 坐标为(﹣m,n) . 则有:4﹣b+(2a+b)=0,b+2+(﹣a+1)=0, 解得:a=﹣2,b=﹣5, ∴m=9,n=3. 故点 P 的坐标为(9,3) . 故选 A. 点评: 主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律.解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律: (1)关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数; (2)关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数; (3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.

10.已知方程组 A. ﹣3

的解为 B. 3

,则 4a﹣3b 的值为( C. ﹣9

) D. 9

考点: 二元一次方程组的解。 专题: 计算题。 分析: 将方程组 的解代入该方程组,列出关于 a、b 的方程组,通过解方程组求得 a、b 的值后,再来 求 4a﹣3b 的值并作出选择即可. 解答: 解:∵方程组 的解为 ,





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∴4a﹣3b=4× +3=9. 故选 D. 点评: 本题考查了二元一次方程组的解的定义.二元一次方程组的解一定满足该二元一次方程组. 11. (2006?十堰) 如图, 已知∠1=∠2, AC=AD, 增加下列条件: ①AB=AE; ②BC=ED; ③∠C=∠D; ④∠B=∠E. 其 中能使△ ABC≌△AED 的条件有( )

A. 4 个

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个

考点: 全等三角形的判定。 分析: ∠1=∠2,∠BAC=∠EAD,AC=AD,根据三角形全等的判定方法,可加一角或夹已知角的另一边. 解答: 解:∠1=∠2,AC=AD, 加①AB=AE,就可以用 SAS 判定△ ABC≌△AED; 加③∠C=∠D,就可以用 ASA 判定△ ABC≌△AED; 加④∠B=∠E,就可以用 AAS 判定△ ABC≌△AED; 加②BC=ED 只是具备 SSA,不能判定三角形全等. 故选 B. 点评: 本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.做题时要根 据已知条件在图形上的位置,结合判定方法,进行添加. 12.如图,在△ ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交 BC 于 D,交 AB 于 E,DB=12cm,则 AC=( )

A. 4cm

B. 5m

C. 6cm

D. 7cm

考点: 线段垂直平分线的性质。 分析: 利用线段垂直平分线的性质求得 AD=BD=12cm;然后根据三角形的内角和定理求得∠ADC=30°;最后由直 角三角形中的 30°角所对的直角边是斜边的一半来求 AC 的长度. 解答: 解:连接 AD. ∵AB 的垂直平分线交 BC 于 D,交 AB 于 E,DB=12cm, ∴AD=BD=12cm,∠B=∠BAD=15°; 又∵在△ ABC 中,∠C=90°,∠B=15°, ∴∠DAC=60°, ∴∠ADC=30°, ∴AC= AD=6cm.

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www.jyeoo.com 故选 C.

点评: 本题考查了线段垂直平分线的性质(线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等) .解答本题的 关键是线段垂直平分线的性质求得 AD=BD=12cm,及∠ADC=30°.

13.已知关于 x,y 的方程组

的解满足 3x﹣1<y,则 m 的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

考点: 解一元一次不等式;解二元一次方程组。 专题: 计算题。 分析: 首先,根据方程组解出 x、y 的值,然后代入不等式中,解出 m 的取值范围即可. 解答: 解:原方程组整理得, , ①×2+②得,20x=5﹣10m, 得,x= y= ∴ , ×3+ <1, ,代入①得,

解得,m>﹣ . 故选 B. 点评: 本题主要考查了解一元一次方程组和解一元一次不等式,解不等式要根据不等式的性质. 14.如图,已知 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使得△ PAB 是等腰三角形,则符 合条件的 P 点有( )

A. 2 个

B. 4 个

C. 6 个

D. 8 个

考点: 等腰三角形的判定;坐标与图形性质。 分析: 本题是开放性试题,根据题意,画出图形结合求解. 解答: 解:第 1 个点在 AC 上,作线段 AB 的垂直平分线,交 AC 于点 P,则有 PA=PB; 第 2 个点是以 A 为圆心,以 AB 长为半径截取 AP=AB,交 AC 延长线上于点 P; 第 3 个点是以 A 为圆心,以 AB 长为半径截取 AP=AB,在上边于 CA 延长线上交于点 P; 第 4 个点是以 B 为圆心,以 BA 长为半径截取 BP=BA,与 AC 的延长线交于点 P;
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www.jyeoo.com 第 5 个点是以 B 为圆心,以 BA 长为半径截取 BP=BA,与 BC 在左边交于点 P; 第 6 个点是以 A 为圆心,以 AB 长为半径截取 AP=AB,与 BC 在右边交于点 P; ∴符合条件的点 P 有 6 个点. 故选 C.

点评: 本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学 知识来求解. 二、填空题: (每小题 3 分) 15.若 2(x﹣2)的值不大于 x+5 的值,则 x 的取值范围是 x≤9 . 考点: 解一元一次不等式。 专题: 探究型。 分析: 先根据已知条件得到关于 x 的一元一次不等式,再根据不等式的基本性质求出 x 的取值范围即可. 解答: 解:∵2(x﹣2)的值不大于 x+5 的值, ∴2(x﹣2)≤x+5,解得 x≤9. 故答案为:x≤9. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键. 16.等腰三角形的周长为 20cm,且一边长为 6cm,则它的腰长为 6cm 或 7cm . 考点: 等腰三角形的性质;三角形三边关系。 分析: 当腰长=6cm 时,底边=20﹣6﹣6=8cm,当底边=6cm 时,腰长= 推出腰长. 解答: 解:∵等腰三角形的周长为 20cm, ∴当腰长=6cm 时,底边=20﹣6﹣6=8cm, ∴当底边=6cm 时,腰长= =7cm,

=7cm,根据三角形的三边关系,即可

故答案为 6cm 或 7cm. 点评: 本题主要考查等腰三角形的性质,三角形的三边关系,关键在于分析讨论 6cm 为腰长还是底边长. 17.若 n 边形的内角和是它外角和的 2 倍,则 n= 6 .

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www.jyeoo.com 考点: 多边形内角与外角。 分析: 多边形的内角和可以表示成(n﹣2)?180°,多边形的外角和都是 360°,列方程可求解. 解答: 解:设所求多边形边数为 n, 则(n﹣2)?180°=360°×2, 解得 n=6. 点评: 本题考查根据多边形的内角和计算公式和外角和是 360°求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运 算、变形和数据处理. 18.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,若 BD:DC=4:3,点 D 到 AB 的距离是 12, 则 BC 的长为 28 .

考点: 角平分线的性质。 分析: 首先过点 D 作 DE⊥AB 于 E,又由在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,根据角平分 线的性质,即可得 CD=DE,又由 BD:DC=4:3,点 D 到 AB 的距离是 12,设 BD=4x,DC=3x,即可得方 程 3x=12,继而求得 BC 的长. 解答: 解:过点 D 作 DE⊥AB 于 E, ∵在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D, ∴CD=DE, ∵BD:DC=4:3, 设 BD=4x,DC=3x, 即 DE=3x, ∵点 D 到 AB 的距离是 12, ∴DE=12, ∴3x=12, 解得:x=4, ∴CD=12,BD=4x=16, ∴BC=CD+BD=12+16=28. 故答案为:28.

点评: 此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注意辅助 线的作法. 19. (2007?泰安)如图,△ ABE 和△ ACD 是△ ABC 分别沿着 AB,AC 边翻折 180°形成的,若∠BAC=150°,则∠θ 的度数是 60 度.

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考点: 翻折变换(折叠问题) 。 分析: 解题关键是把所求的角转移成与已知角有关的角. 解答: 解:根据对顶角相等,翻折得到的∠E=∠ACB 可得到∠θ=∠EAC, ∵△ABE 和△ ACD 是△ ABC 分别沿着 AB,AC 边翻折 180°形成的,∠BAC=150°, ∴∠DAC=∠BAE=∠BAC=150°. ∴∠DAE=∠DAC+∠BAE+∠BAC﹣360°=150°+150°+150°﹣360°=90°. ∴∠θ=∠EAC=∠DAC﹣∠DAE=60°. 点评: 翻折前后对应角相等. 20.若 AD 是等腰△ ABC 一腰上的高,且∠DAB=60°,则△ ABC 的顶角是 30°或 150°或 120° 度. 考点: 等腰三角形的性质。 专题: 应用题。 分析: 由于 BC 为腰,则点 B 可为顶角的顶点,也可为底角的顶点,高 AD 可在三角形内部也可在三角形外部,故 应分三种情况分析计算. 解答: 解:由题意得,分三种情况: (1)当点 B 为顶角的顶点时,且 AD 在三角形内部,∠B=90°﹣∠DAB=90°﹣60°=30°; (2)当点 B 为顶角的顶点时,且 AD 在三角形外部, ∠ABC=∠D+∠DAB=90°+∠60°=150°; (3)当点 C 为顶角的顶点时,∠B=90°﹣∠DAB=90°﹣60°=30°, ∴∠ACB=180°﹣2∠B=180°﹣2×30°=120°. 故填:30°或 150°或 120°.

点评: 本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,直角三角形的性质.注意分类讨论是正确解答本 题的关键. 三、解答题: 21.解方程组: .

考点: 解二元一次方程组。 专题: 计算题。 分析: 解此题时先找出某个未知数系数的最小公倍数,用加减消元法进行解答. 解答: 解:原方程组变形为: ,

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www.jyeoo.com (1)﹣(2)得:y=﹣ , 代入(1)得:x=6. 所以原方程组的解为 .

点评: 此题较简单,只要明白二元一次方程及方程组的解法就可.

22.解不等式组:

,并把不等式组的解集在数轴上表示出来.

考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集。 专题: 计算题。 分析: 先解不等式组中的每一个不等式,然后求其交集;最后将其交集在数轴上表示出来即可. 解答: 解: 解不等式①,得 x<8; 解不等式②,得 x> , ∴原不等式组的解集是: <x<8;

表示在数轴上为:



点评: 本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集.在数轴上表示不等式的解集时“≥”,“≤”要用 实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. 23. (2006?内江)如图,在△ ABD 和△ ACE 中,有下列四个等式: (1)AB=AC; (2)AD=AE; (3)∠1=∠2; (4)BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设,余下的作为结论, 写出一个真命题. (要求写出已知,求证及证明过程)

考点: 全等三角形的判定与性质。 专题: 证明题;开放型。
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www.jyeoo.com 分析: 此题无论选择什么作为题设,什么作为结论,它有一个相同点﹣﹣都是通过证明△ ABD≌△ACE,然后利用 全等三角形的性质解决问题. 解答: 解:解法一:如果 AB=AC,AD=AE,BD=CE,那么∠1=∠2. 已知:在△ ABD 和△ ACE 中,AB=AC,AD=AE,BD=CE, 求证:∠1=∠2. 证明:∵AB=AC,AD=AE,BD=CE, ∴△ABD≌△ACE, ∴∠BAD=∠CAE, ∴∠1=∠2. 解法二:如果 AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,那么 BD=CE. 已知:在△ ABD 和△ ACE 中,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2, 求证:BD=CE. 证明:∵∠1=∠2 ∴∠BAD=∠CAE,而 AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE. 点评: 本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对 应相等时,角必须是两边的夹角. 24.如图,AD 为△ ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,连接 EF,EF 交 AD 于点 G、试判 断线段 AD 与 EF 的位置关系,并证明你的结论.

考点: 角平分线的性质;线段垂直平分线的性质。 专题: 探究型。 分析: 根据角平分线的性质,得 DE=DF,根据线段垂直平分线性质定理的逆定理,得点 D 在 EF 的垂直平分线上; 根据等角对等边,AE=AF,则点 A 在 EF 的垂直平分线上,从而证明结论. 解答: 解:AD 垂直平分 EF.理由如下: ∵AD 为△ ABC 的角平分线,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F, ∴DE=DF. ∴点 D 在 EF 的垂直平分线上,∠DEF=∠DFE, ∵∠DEA=∠DFA=90°, ∴∠FEA=∠EFA, ∴AE=AF, ∴点 A 在 EF 的垂直平分线上, ∴AD 垂直平分 EF. 点评: 此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理. 25.如图,在∠ABC 内有一点 P,问:能否在 BA、BC 边上各找一点 M,N,使△ PMN 的周长最短?若能,请作 图确定点 M,N 的位置(不需证明,不写作法,保留作图痕迹) ;若不能,请说明理由.

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考点: 轴对称-最短路线问题。 专题: 图表型。 分析: 解:分别作点 P 关于 BA 和 BC 的对称点 P′和 P′′,连接 P′和 P′′交 BA 和 BC 于 M、N 两点即可. 解答: 解:如图:

点评: 本题考查的是最短线路问题,根据两点之间线段最短的知识作出 N 的对称点是解答此题的关键. 26. (2007?长沙)某班到毕业时共结余经费 1800 元,班委会决定拿出不少于 270 元但不超过 300 元的资金为老师 购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给 50 位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念.已知每件文化衫 比每本相册费 9 元,用 200 元恰好可以买到 2 件文件衫和 5 本相册. (1)求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元? (2)有几种购买文化衫和相册的方案?哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足? 考点: 一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。 专题: 方案型。 分析: (1)通过理解题意可知本题存在两个等量关系,即每件文化衫比每本相册费 9 元,用 200 元恰好可以买到 2 件文件衫和 5 本相册.根据这两个等量关系可列出方程组. (2)本题存在两个不等量关系,即设购买文化衫 t 件,购买相册(50﹣t)本, 则 1800﹣300≤35t+26(50﹣t)≤1800﹣270,根据 t 为正整数,解出不等式再进行比较即可. 解答: 解: (1)设每件文化衫和每本相册的价格分别为 x 元和 y 元, 则 ,

解得



答:每件文化衫和每本相册的价格分别为 35 元和 26 元. (2)设购买文化衫 t 件,购买相册(50﹣t)本,则 1800﹣300≤35t+26(50﹣t)≤1800﹣270

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www.jyeoo.com 解得 ≤t≤ ,

因为 t 为正整数,所以 t=23,24,25,即有三种方案: 第一种方案:购买文化衫 23 件,相册 27 本,此时余下资金 293 元; 第二种方案:购买文化衫 24 件,相册 26 本,此时余下资金 284 元; 第三种方案:购文化衫 25 件,相册 25 本,此时余下资金 275 元. 所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足. 点评: 此类问题属于综合性的题目,问题(1)在解决时只需认真分析题意,找出本题存在的两个等量关系,即每 件文化衫比每本相册费 9 元,用 200 元恰好可以买到 2 件文件衫和 5 本相册.根据这两个等量关系可列出方 程组. 问题(2)需利用不等式解决,另外要注意,同实际相联系的题目,需考虑字母的实际意义,从而确定具体 的取值.再进行比较即可知道方案用于购买老师纪念品的资金更充足. 27.如图,B 是线段 AC 上一点,△ ABD 与△ BCE 均为等边三角形. (1)求证:AE=CD; (2)若△ BCE'与△ BCE 关于直线 AC 轴对称,AE'与 CD 还相等吗?画出图形.若相等,请给出证明;若不相等, 说明理由; (3)AE'与 BD 相交于点 F,CD 与 BE'相交于点 G,连接 FG,试判断△ FBG 的形状,并加以证明.

考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;作图-轴对称变换。 专题: 证明题。 分析: (1)易证△ ABE≌△DBC,即可证得 AE=CD; (2)易知点 E 和 E′关于直线 AC 轴对称,则可得 AE=AE′,即可得出; (3)由 AE=DC,得∠EAD=∠CDA,则∠BAE=∠BDC,又∠BAE=∠BAE′,则可得∠BAE′=∠BDC, 易得∠DBG=60°,易证△ ABF≌△DBG,则可得 FB=GB,所以,可得△ FBG 为等边三角形; 解答: 证明: (1)∵△ABD 与△ BCE 均为等边三角形, ∴在△ ABE 和△ DBC 中, , ∴△ABE≌△DBC, ∴AE=CD; (2)∵△BCE'与△ BCE 关于直线 AC 轴对称, ∴点 E 和 E′关于直线 AC 轴对称, ∴AE=AE′,又 AE=AE′, ∴AE'=CD; (3)∵△ABD 与△ BCE′均为等边三角形, ∴∠ABD=∠CBE′=60°,
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www.jyeoo.com ∴∠DBE′=60°, ∵AE=DC, ∴∠EAD=∠CDA, ∴∠BAE=∠BDC,又∠BAE=∠BAE′, ∴∠BAE′=∠BDC, 在△ ABF 和△ DBG 中, , ∴△ABF≌△DBG, ∴BF=BG, ∴△FBG 为等边三角形.

点评: 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质和轴对称图形的性质,注意正确画出图形,培 养了学生综合运用知识解决问题的能力. 28.已知△ ABC 中,∠C 是其最小的内角,过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求 ∠ABC 与∠C 之间的关系为 角 . ∠ABC=135°﹣ ∠C 或∠ABC=180°﹣3∠C 或∠ABC=3∠C,∠C 是小于 45°的任意

考点: 等腰三角形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质。 分析: 设过 B 的直线交 AC 于 D.因为没有指明是哪两个边相等,故应该分情况进行分析,从而求解. 解答: 解:设∠ABC=y,∠C=x,过点 B 的直线交边 AC 于 D.在△ DBC 中, ①若∠C 是顶角,如图 1,则∠ADB>90°, ∠CBD=∠CDB=90°﹣x,∠A=180°﹣x﹣y. 此时只能有∠A=∠ABD,即 180°﹣x﹣y=y﹣[360°﹣(2x+2y)] 3x+4y=540°,即∠ABC=135°﹣ ∠C; ②若∠C 是底角,则有两种情况. 第一种情况:如图 2,当 DB=DC 时,则∠DBC=x, △ ABD 中,∠ADB=2x,∠ABD=y﹣x. (i)由 AB=AD,得 2x=y﹣x,此时有 y=3x,即∠ABC=3∠C. (ii)由 AB=BD,得 180°﹣x﹣y=2x,此时 3x+y=180°,即∠ABC=180°﹣3∠C. (iii)由 AD=BD,得 180°﹣x﹣y=y﹣x,此时 y=90°,即∠ABC=90°,∠C 为小于 45°的任意锐角. 故答案为:∠ABC=135°﹣ ∠C 或∠ABC=180°﹣3∠C 或∠ABC=3∠C,∠C 是小于 45°的任意 角.

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点评: 此题主要考查等腰三角形的性质,三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: 117173;hnaylzhyk;wangjc3;zcx;ZJX;lf2-9;lanchong;cair。 ;dbz1018;ln_86;心若在;lanyan;CJX;sjzx; ZHAOJJ;nhx600;星期八;Liuzhx;py168;zxw;137-hui;冯延鹏;njw;sd2011。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 6 月 23 日

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