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【苏教版】高中数学同步辅导与检测:必修5第2章2.3-2.3.2等比数列的通项公式

第2章 2.3 2.3.1 数列 等比数列 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通项公式 A级 一、选择题 基础巩固 1.下列说法:①公差为 0 的等差数列是等比数列;②b2=ac, 则 a,b,c 成等比数列;③2b=a+c,则 a,b,c 成等差数列;④任 意两项都有等比中项.正确的有( A.0 个 B. 1 个 C.2 个 ) D.3 个 解析:公差为 0 的非零数列是等比数列,故①不正确;②中只有 a,b,c 都不为 0 才正确;④也需要看首项是正还是负.所以只有③ 正确. 答案:B 2.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则 a3 等于( A.16 C.32 B.16 或-16 D.32 或-32 ) 解析:因为 a4=a1q3=8· q3=64,所以 q3=8,q=2. 所以 a3=a1q2=8×22=32. 答案:C 3.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 B.0 C.12 D.24 ) 解析: 由(3x+3)2=x(6x+6)?x=-3(x=-1 舍去). 该数列为- 3,-6,-12,-24,…. 答案:A 4.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为( ①{a2 n}也是等比数列;②{can}(c≠0)也是等比数列; ?1? ③?a ?也是等比数列;④{ln an}也是等比数列. ? n? ) A.4 个 B. 3 个 C.2 个 D.1 个 解析:考查等比数列定义,其中①②③为真. 答案:B 5.已知等差数列{an}的公差为 3,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( ) A.9 B.3 C.-3 D.-9 解析:a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2+6, 由于 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2 3=a1a4, 所以(a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得 a2=-9. 答案:D 二、填空题 6.等差数列{an}的首项为 a1=1,a1,a2,a5 成等比数列,则 d =________. 解析:因为 a1,a2,a5 成等比数列. 2 所以 a2 =a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d). 所以(1+d)2=1+4d.所以 d=0 或 d=2. 答案:0 或 2 7. 在 6 和 768 之间插入 6 个数, 使它们组成共 8 项的等比数列, 则这个等比数列的第 6 项是________. 解析:由条件得,768=6×q7,解得 q=2. 所以 a6=6×25=192. 答案:192 8.某林场的树木每年以 25%的增长率增长,则第 10 年末的树 木总量是今年的________倍. 解析:设这个林场今年的树木总量是 m,第 n 年末的树木总量 为 an,则 an+1=an+an·25%=1.25an. 则 an+1 =1.25.则数列{an}是公式 q=1.25 的等比数列. an 则 a10=a1q9=1.259m. 所以 a10 =1.259. a1 答案:1.259 三、解答题 9.在等比数列{an}中: 1 (1)已知 a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求 n; 2 (2)a5=8,a7=2,an>0,求 an. 解:(1)法一:因为 a3+a6=36,a4+a7=18. 所以 a1q2+a1q5=36,① a1q3+a1q6=18, ② ② 1 1 1 得 q= ,所以 a1+ a1=36,所以 a1=128, 2 4 32 ① 而 an=a1q n- 1 ?1? 1 ,所以 =128×?2? 2 ? ? n- 1 ,所以 n=9. 法二:因为 a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q, 所以 q= a4+a7 18 1 = = ,而 a3+a6=a3(1+q3). a3+a6 36 2 a3+a6 36 = =32. 1 1+q3 1+ 8 n-3 所以 a3= 因为 an=a3q ?1? 1 ? ? ,所以 =32· 2 ?2? n- 3 .所以 n=9. (2)因为 a5=a1·q4=8,a7=a1·q6=2, 1 1 所以 q2= ,q=± . 4 2 1 又 an>0,所以 q= . 2 所以 an=a5q n-5 ?1? =8×?2? ? ? n- 5 =28-n. 10.已知{an}是首项为 19,公差为-2 的等差数列,Sn 为{an}的 前 n 项和. (1)求通项公式 an 及 Sn; (2)设{bn-an}是首项为 1, 公比为 3 的等比数列, 求数列{bn}的通 项公式. 解:(1)因为{an}是首项为 19,公差为-2 的等差数列, 所以 an=19-2(n-1)=-2n+21,即 an=-2n+21, Sn=19n+ n(n-1) ·(-2)=-n2+20n, 2 即 Sn=-n2+20n. (2)因为{bn-an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 bn-an =3n-1, 即 bn=3n-1+an=3n-1-2n+21. B级 一、选择题 11.已知{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那 么 a3+a5 的值等于( ) 能力提升 A.5 B.10 C.15 D.20 2 2 解析:a2a4=a2 3,a4a6=a5 ,故得(a3+a5) =25,又 an>0,所以 a3+a5=5. 答案:A 12.设{an}是由正数组成的等比数列,且 a5·a6=81,则 log3a1 +log3a2+…+log3a10 的值是( ) A.5 B.10 C.20 D.40 解析:log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·a3·…·a10)= log3(a5·a6)5=log3815=log3320=20. 答案:C 13. 在正项等比数列{an}中, a3= 2-1, a5=

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