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2018版高中数学人教版A版选修1-1:1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词_图文

第一章 § 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 学习 目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义, 熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示 含有量词的命题及判断其命题的真假性. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 全称量词和全称命题 全称 (1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做____ 量词 ,并用符号“ ? ”表示. (2)全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意 一个x,有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M, 有p(x)成立”. 答案 知识点二 存在量词和特称命题 存在 (1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_____ 量词 ,并用符号“ ? ”表示. (2)特称命题:含有存在量词的命题叫做 特称命题 .特称命题“存在M中的 一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为 ?x0∈M,p(x0),读作“存在一个x0 属于M,使p(x0)成立”. 答案 思考 答案 省略. (1)在全称命题和特称命题中,量词是否可以省略? 在特称命题中,量词不可以省略;在有些全称命题中,量词可以 (2)全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么? 答案 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形, 相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素 满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“?x∈N, x≥0”. 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 全称量词与全称命题 例1 试判断下列全称命题的真假: (1)?x∈R,x2+2>0; 解 由于?x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0, 即x2+2>0,所以命题“?x∈R,x2+2>0”是真命题. (2)?x∈N,x4≥1; 解 由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立, 所以命题“?x∈N,x4≥1”是假命题. (3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1. 解 由于?α∈R,sin2α+cos2α=1成立. 反思与感悟 解析答案 所以命题“对任意角α,都有sin2α+cos2α=1”是真命题. 跟踪训练1 解 试判断下列全称命题的真假: (1)?x∈R,x2+1≥2; 由于?x∈R,都有x2≥0, 因而有x2+1≥1,所以“?x∈R,x2+1≥2”是假命题. (2)任何一条直线都有斜率; π 解 当直线的倾斜角为 时,斜率不存在, 2 所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. (3)每个指数函数都是单调函数. 解 无论底数a>1或是0<a<1,指数函数都是单调函数, 解析答案 所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题. 题型二 存在量词与特称命题 例2 判断下列特称命题的真假: (1)?x0∈Z,x3 0<1; 解 ∵-1∈Z,且(-1)3=-1<1, ∴“?x0∈Z,x3 0<1”是真命题. (2)存在一个四边形不是平行四边形; 解 真命题,如梯形. 解析答案 (3)有一个实数α,tan α无意义; 解 π 真命题,当 α=2时,tan α 无意义. π (4)?x0∈R,cos x0=2. 解 π ∵当 x∈R 时,cos x∈[ -1,1] ,而2>1, π ∴不存在 x0∈R,使 cos x0=2, π ∴“?x0∈R,cos x0=2”是假命题. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 试判断下列特称命题的真假: (1)?x0∈Q,x2 0=3; 解 由于使 x2 0=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数, 因此没有任何一个有理数的平方能等于3, 所以命题“?x0∈Q,x2 0=3”为假命题. 2 (2)?x0,y0 为正实数,使 x2 + y 0 0=0; 解 2 因为 x0>0,y0>0,所以 x2 + y 0 0>0, 2 所以“?x0,y0 为正实数,使 x2 + y 0 0=0”为假命题. 解析答案 (3)?x0∈R,tan x0=1; 解 π π 当 x0=4时,tan 4=1, 所以“?x0∈R,tan x0=1”为真命题. (4)?x0∈R,lg x0=0. 解 当x0=1时,lg 1=0, 所以“?x0∈R,lg x0=0”为真命题. 解析答案 题型三 全称命题、特称命题的应用 例3 (1)若命题 p:存在 x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0,求实数 a 的取值范围; 2 ax0+2x0+a<0,得 2 2 ∵ x a(x0+1)<-2x0, 0+1>0, 解 由 1 2 2x0 2 当 x0>0 时,x0+x ≥2,∴- ≥ - 1 , ∴a<- 2 =- , 1 1 0 x0+1 x0+x x0+x 0 0 1 2 2 当 x0<0 时,x0+x ≤-2,∴- ≤ 1 , ∴ - 的最大值为 1. 1 1 0 x0+x x0+x 0 0 又∵?x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0 成立, ∴只要a<1,∴a的取值范围是(-∞,1). 解析答案 (2)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,求实数 m的取值范围. 解 ①当m+1=0即m=-1时,2x-6<0不恒成立. ②当m+1≠0,则 ? ? ?m+1<0, ?m<-1, ? ?? 2 ? ? Δ <0 , Δ = ? m - 1 ? -4?m+1?· 3?m-1?<0, ? ? ?m<-1, ? ?? 13 ?m<- 或m>1, 11 ? 13 综上,m<-11. 反思与感悟 二者的区别. 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用,注意 反思与感悟 解

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