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连续时间系统的s域分析_图文

第6章连续时间系统的s域分析 齐开悦 博士

6.1 引言-用拉氏变换分析与表征LTI系统 Analysis and Characterized of LTI
Systems Using the Laplace Transform
一. 系统函数的概念: 以卷积特性为基础,可以建立LTI系统的拉
氏变换分析方法,即
Y(s) ? X (s)? H(s) 其中 H (s)是 h(t) 的拉氏变换,称为系统函数
或转移函数。

3

如果 X (s)的ROC包括 j? 轴,则 X (s) 和H (s)的




ROC必定包括 j? 轴,以 s ? j? 代入,即有

Y ( j?) ? X ( j?) ? H ( j?)
这就是LTI系统的傅里叶分析。H ( j?)即是系统

的频率响应。

这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函
数是一切LTI系统的特征函数。当以 e j?t 为基底
分解信号时,LTI系统对输入信号的响应就是
X ( j?)? H ( j?) ; 而以est 为基底分解信号时,系
统的输出响应就是 X (s) ? H (s) 。

用系统函数表征LTI系统稳定性:
? 如果系统稳定,则有 ? h(t) dt ? ? 。 ??
因此 H ( j?)必存在, 意味着H (s)的ROC必然包
括 j? 轴。
综合以上两点,可以得到:因果稳定系统 的 H (s),其全部极点必须位于S平面的左半边。

例1. 某系统的 h(t) ? e?tu(t) ? e?2tu(t) 显然该系统是因果的,确定系统的稳定性。

11

2s ? 3

H (s) ? s ?1 ? s ? 2 ? s2 ? 3s ? 2 ,

ROC : Re[s] ? ?1

显然,ROC是最右边极点的右边。

ROC包括 j? 轴 ? 系统也是稳定的。

H (s) 的全部极点都在S平面的左半边。

6

例3. X (s) ?

1



(s ?1)(s ? 2)



确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。

极点:s ? ?1, s ? ?2

j?

j?

j?

?
? 2 ?1

?
? 2 ?1

?
? 2 ?1

右边信号

左边信号

判断因果性和稳定性!

双边信号

7


结 论: 页 1. 如果LTI系统的系统函数是有理函数,且全部 极点位于S平面的左半边,收敛域是最右边极 点的右侧。则系统是因果、稳定的。
2. 如果LTI系统的系统函数是有理函数,且系统 因果,则系统函数的ROC是最右边极点的右 边。若系统反因果,则系统函数的ROC是最 左边极点的左边。
3.如果LTI系统是稳定的,则系统函数的ROC必然
包括 j?轴。

三. 由LCCDE描述的LTI系统的系统函数:

? ? 对

N
ak
k ?0

d k y(t) dt k

?

N
bk
k ?0

d k x(t) dt k

做双边拉氏变换,可得

N

?? H (s) ?

Y (s) X (s)

?

bk sk
k ?0
N
ak sk

?

N(s) , D(s)

k ?0

是一个有理函数

H (s)的ROC需要由系统的相关特性来确定。
1)如果已知LCCDE描述的系统是因果的,则 H (s)的ROC必是最右边极点的右边。
2)如果已知LCCDE描述的系统是稳定的,则 H (s)的ROC 必包括 j? 轴。

§6.2由系统函数零、极点分布决定 时域特性

冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。
在s域分析中,借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究,可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。
主要优点:
1.可以预言系统的时域特性; 2.便于划分系统的各个分量 (自由/强迫,瞬态/稳态); 3.可以用来说明系统的正弦稳态特性。

二.H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
6.2.1零极点与时域特性 1.系统函数的零、极点

H (s) ? A(s) ? K (s ? z1 )(s ? z2 ) ? ? ? (s ? z j ) ? ? ? (s ? zm ) B(s) (s ? p1 )(s ? p2 ) ? ? ? (s ? pk ) ? ? ? (s ? pn )

m
?(s ? zj )
j ?1
?K n ? (s ? pk ) k ?1

z1 , z2 ? ? ? zn 系统函数的零点
p1 , p2 ? ? ? pn 系统函数的极点

在s平面上,画出H(s)的零极点图:

极点:用×表示,零点:用○表示

例4

H(s)

?

s(s ? 1 ? j1)( s ? 1 ? (s ? 1)2(s ? j2)( s ?

j1) j 2)

极点:p1 ? p2 ? ?1, p3 ? ? j2, p4 ? j2
零点:z1 ? 0, z2 ? 1 ? j1, z3 ? 1 ? j1,
j?
画出零极点图:
j2

1? j

?10

?

1? j

? j2

2.H(s)极点分布与原函数的对应关系

几种典型情况

j?

jω0



O

? jω0

α

?

一阶极点

H(s) ? 1 , s

p1 ? 0在原点, h(t) ? L?1[H(s)] ? u(t)

1

H(s) ? , s?a

p1 ? ?a

a ? 0, 在左实轴上 , h(t) ? e?at u(t), 指数衰减

a ? 0, 在右实轴上 , h(t) ? e?at u(t),?a ? 0, 指数增加

H(s)

?

s2

ω ? ω2

,

p1 ? jω, 在虚轴上

h(t) ? sinωtu(t),等幅振荡

H(s)

?

(s

ω ?α )2

? ω2

,

p1 ? ?α ? jω, p2 ? ?α ? j?, 共轭根

当 α ? 0 ,极点在左半平面,衰减振荡

当 α ? 0,极点在右半平面,增幅振荡

二阶极点

H(s)

?

1 s2

, 极点在原点,

h(t) ? tu(t), t ? ?, h(t) ? ?

H(s)

?

(s

1 ? a)2

, 极点在实轴上,

h(t) ? t e??t u(t),α ? 0, t ? ?, h(t) ? 0

H

(s)

?

(s2

2s ? ω2

)2

,

在虚轴上,

h(t) ? t sintu(t), t ? ?, h(t) 增幅振荡

有实际物理意义的物理系统都是因果系统,即随 t ?,
h?t? ? 0 ,H (s) 这表明的极点位于左半平面,由此可知, 收敛域包括虚轴,F?s?和F(j?) 均存在,两者可通用,只
需 s ? j? 将即可。

6.2.2自由响应与强迫响应,暂态响应与稳 态相应

激励: e(t) ? E(s)

系统函数:h(t) ? H(s)

u
?(s ? zl )
E(s) ? l?1 v ? (s ? Pk ) k ?1
响应: r(t) ? R(s)

m
?(s ? zj )
H (s) ? j?1 n ? (s ? Pi ) i ?1

u

m

?(s ? zl ) ?(s ? zj )

R(s) ?

l ?1 v

? j?1 n

? (s ? Pk ) ? (s ? pi )

k ?1

i ?1

? ? R(s) ?

v Ak k?1 s ? pk

n
?
i ?1

Ai s ? pi

n

v

? ? ? ? r(t) ? L?1 R(s) ? Ai e pi t u(t) ? Ak e pk t u(t)

i ?1

k ?1

自由响应分量 +强制响应分量



给定系统微分方程

d2 d

r?t
t2

?

?

3

d r?t
dt

?

?

2r?t

?

?

d e?t
dt

?

?

3e?t

?

激励e?t? ? u?t?,起始状态为r?0? ? ? 1, r / ?0? ? ? 2

试分别求它们的完全响应,并指出其零输入响应,零状

态响应,自由响应,强迫响应各分量,暂态响应分量和

稳态响应分量。

解: 方程两端取拉氏变换

s2 R?s? ? sr?0? ? ? r??0? ? ? 3?sR?s? ? r?0? ??? 2R?s?
? sE?s? ? e?0? ? ? 3E?s?

零输入响应/零状态响应

?s2 ? 3s ? 2?R?s? ? ?s ? 3?E?s? ? sr?0? ? ? r??0? ? ? 3r?0? ?



Rzi

?s?

?

sr

?0?

?

? r??0? ? ? 3r
s2 ? 3s ? 2

?0?

?

Rzs

?s?

?

?s ? 3?E?s?
?s2 ? 3s ? 2?

零输入响应为:

rzi (t) ? 4e?t ? 3e?2t ?t ? 0?

即零状态响应为: rzs (t) ? 0.5 e?2t ? 2e?t ? 1.5 (t ? 0)

稳态响应/暂态响应,自由响应/强迫响应
R?s? ? 1.5 1 ? 2 1 ? 2.5 1
s s?1 s?2
极点位于虚轴 极点位于s左半平面
r(t) ? 1.5 ? 2e?t ? 2.5e?2t (t ? 0)
稳态响应 暂态响应
R?s? ? 1.5 1 ? 2 1 ? 2.5 1
s s?1 s?2
E(s)的极点 H(s)的极点
r(t) ? 1.5 ? 2e?t ? 2.5e?2t (t ? 0)
强迫响应 自由响应

几点认识
?响应函数r(t)由两部分组成: 系统函数的极点?自由响应分量; 激励函数的极点?强迫响应分量。
?定义系统行列式(特征方程)的根为系统的固有频率 (或称“自然频率”、“自由频率”)。 H(s)的极点都是系统的固有频率; H(s)零、极点相消时,某些固有频率将丢失。 ?自由响应的极点只由系统本身的特性所决定,与激励
函数的形式无关,然而系数 Ai , Ak与H?s?, E?s?都有关。

暂态响应和稳态响应
瞬态响应是指激励信号接入以后,完全响应中瞬时出现
的有关成分,随着t增大,将消失。 稳态响应=完全响应-瞬态响应
左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。



已知系统d2 r(t) dt2

?

5

d r(t) dt

?

6r(t)

?

2

d2 e(t) dt2

?

6

d e(t) ,激励为 dt

e(t) ? (1 ? e?t )u(t),求系统的冲激响应h(t)和零状态响应 rzs (t)。

(1)在零初始状态下,对原方程两端取拉氏变换

s2R(s) ? 5sR(s) ? 6R(s) ? 2s2E(s) ? 6sE(s)

R?s?

H (s) ?

?

2s2 ? 6s

?

2s

? 2?

4

E ?s? s2 ? 5s ? 6 s ? 2

s?2

所以 h(t) ? 2? (t) ? 4e?2t u(t)

(2) 因为 rzs (t) ? h(t) ? e(t) 或 RZS (s) ? H(s) ? E(s)

H (s) ? 2s s?2

E(s) ? 2s ?1 s(s ?1)

所以

RZS (s)

?

2s s?2

?

2s ? 1 s(s ? 1)

? 2(2s ? 1) ? (s ? 2)(s ? 1)

6?2 s?2 s?1

所以

rZS (t) ? ?2e?t u(t) ? 6 e?2t u(t)

6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性

m
?

?s

?

z

j

?

m
?

?jω

?

z

j

?

H ?jω? ? H ?s? s?jω ? K

j ?1 n

s?jω ? K

j ?1 n

? ?s ? Pi ?

? ?jω ? pi ?

i ?1

i?1

可见H ?j ω?的特性与零极点的位置有关。
令分子中每一项 jω ? z j ? N j ejψ j
分母中每一项 jω ? Pi ? Mi ejθi
将 jω ? z j、jω - pi都看作两矢量之差,将矢量图画于复 平面内。

画零极点图

零点 : jω ? N j ejψj ? z j

极点 : jω ? Mi ejθi ? pi





θi

Mi

Nj

zj

?j

pi Nj

zj

ψj

σ O

σ O

jω是滑动矢量,jω

矢 量 变, 则N

j、ψ


j

Mi、θ


i

发生变化。

由矢量图确定频率响应特性

? ? H



?K

N1 ejψ1 N2 ejψ2 ? Nm ejψm M1 ejθ1 M2 ejθ2 ? Mn ejθn

?

K

N1N2 ? Nm ej?ψ1?ψ2 ??ψm ? M1M2 ? Mn ej?θ1?θ2 ??θn ?

H ?jω? ? K N1N2 ?Nm
M1M2 ?Mn
? ?ω? ? ?ψ1 ?ψ2 ??ψm ?? ?θ1 ?θ2 ??θn ?

当? 沿虚轴移动时,各复数因子(矢量)的模和辐角都

随之改变,于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。



29

例1 电路的s域分析
研究下图所示RC低通滤波网络 ?

的频响特性。 H
解:

?jω?

?

V2 V1

?jω? ?jω?

v1?t ? ?

R
C


? v2?t ?
?

写出网络转移函数表达式

?

?

H?s? ?

V2 ?s? V1 ?s ?

?

1 RC

? ?? ???

s

1 ?1
RC

? ? ???

?

1 RC

1 M1 ejθ1

? V2 ej? ?ω? V1

M1
θ1
?1 RC



O

σ

30



频响特性

V2



1 V1



1

M1

2

θ1

?1 RC

O

σ

O1

ω

RC

? ?ω?

? ? H



?

1 RC

1 M1 ejθ1

? V2 ej? ?ω? V1

O ? 45?

1 RC

ω

式中:V2= 1 V1 RC

1 M

, ?= -θ 1

? 90?

低通网络,截止频率位于ω ? 1 处

RC

31



例2 电路的s域分析



研究右图所示二阶RC系统

R1

C2









性H

?jω?

?

V2 V1

?jω? ?jω?

,

?
v1 ?t

?

注意,图中kv3是受控电压 ?

?

?

C1

v3?t ?
?

kv3 R2

v2 ?t ?

?

源,且R1C1 ?? R2C2。

解:其转移函数为

低通滤波器

高通滤波器

H?s? ?

V2 ?s? V1 ?s?

?

1 R1C1

?

s?

1 1

?k

s?

s 1

R1C1

R2 C 2

相当于低通与高通级联构成的带通系统。

频响特性
R1C1 ?? R2C2


M1

M2

N1

?1
1 ?
R1C1

?2
?1 R2C2

?1


极点:p1

?

?

1 R1C1



1 p2 ? ? R2C2 零点:z1 ? 0

V2 k V1 k
2

O

1

?

R2 C 2

? ?ω?

90? 45?
O
? 45? ? 90?

第 页

?1

ω

R1C1

?

32

33





下图所示电路起始状态为0,t ? 0式开关S闭合,接入直流页

电源E,求电流i?t ?波形?

解:

SL C

1

Ls

sC

E i?t ?

R

E I?s?
s

R

(1) 起始状态为0? iL ?0? ? ? 0 A,vC ?0? ? ? 0 V
(2) t ? 0的s域等效模型

(3) 列方程

LsI?s?? RI?s?? 1 I?s? ? E

Cs

s

34



极点

LsI?s?? RI?s? ? 1 I?s? ? E



Cs

s

I?s? ?

E

?E

1

s?? Ls ? R ? 1 ?? L ?? s 2 ? R s ? 1 ??

?

sC ? ? L LC ?

极点p1, p2:
L p1 ? ? 2R ?

??

L

?2 ?

?

1

? 2R ? LC

L p2 ? ? 2R ?

??

L

?2 ?

?

1

? 2R ? LC



I ?s?

?

E L

?s

?

1
p1 ??s

?

p2 ?

E 1 ?1

1?

?

L

? p1 ?

p2

?

? ?

?s

?

p1 ? ?

?s ?

p2 ???

35


逆变换



? ? ? ?i t ?

E

e p1t ? e p2t

? ? L p1 ? p2



?= R
2L

,ω0

?

1 LC



p1 ? ?? ? ? 2 ?ω02 , p2 ? ?α ? α 2 ?ω02

第一种情况:α ? 0,?无损耗的LC回路?

第二种情况:α ? 第三种情况α ? ω0

ω0

??即R较 ?



,高Q的LC回路

,Q

?

ω0 2α

?? ?

第四种情况α ? ω0?R较大,低Q,不能振荡?
波形

36

第一种情况:
α

?

0,?无损耗的LC回路?



p1 ? jω0

p2 ? ? jω0



? ? ? ? i t ? E ? 1

e ? e jω0t

? jω0t

L 2 jω0

?E

C L

?

sin?? 0 t

?

阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。

第二种情况:α

?

ω0

??即R较 ?



,高Q的LC回路

,Q

?

ω0 2α

?? ?

引入符号 ωd ? ω0 ?α 2

α 2 ?ω0 ? jωd

所以

p1 ? ?α ? jωd

p2 ? ?α ? jωd

? ? ? ? ? ? i t ? E ? 1 e ? e ??α ?jωd ?t ??α ?jωd ?t L 2 jωd

?

E Lωd

? e?α t

sin ωdt

衰减振荡,α ? R , R越小,α 就越小,衰减越慢

2L

37



第三种情况:

α ? ω0



R? 2L 这时有重根的情况:

1 LC

I ?s? ?

p1 E L

? p2 ? ?α 1
?s ?α ?2

? ?i t

? E ? e?αt

?

E

? Rt
? t e 2L

L

L

R越大,阻尼大,不能产生振荡,是临界情况

第四种情况: α ? ω0?R较大,低Q,不能振荡?

i?t? ? E ?

1

e ?? e ? e ?? ?αt

α 2 ?ω02 t

? α 2 ?ω02 t

L 2 α 2 ?ω02 ?

? E? L

1 e?αt sinh??

α 2 ?ω02

?

α 2 ?ω02 t ???

? 双曲线

波形

i ?t ?
? ?0
? ??0 ? ? ?0 ? ??0

O

第 页
t

38

补充:系统函数的代数属性与 系统的级联并联型结构
System Function Algebra and Block Diagram Representations
一.系统互联时的系统函数: 1. 级联:
H (s) ? H1(s) ? H2 (s)
ROC : 包括 R1 R2

2. 并联: H (s) ? H1(s) ? H2 (s) ROC: 包括 R1 R2
3. 反馈联结: X1(s) ? X (s) ? G(s)Y (s) Y (s) ? X1(s)H1(s)

? [X (s) ? G(s)Y (s)]H1(s)

? H (s) ? Y (s) ? H1(s) X (s) 1? G(s)H1(s)

ROC: 包括 R1

R2

41





如图所示反馈系统,子系统的系统函数

G?s?

?

?s

?

1
1??s

?

2?

F ?s?
?

?

X ?s?

G?s?

Y ?s?

?

k 当常数k满足什么条件时,系统是稳定的?

加法器输出端的信号

输出信号

X?s? ? F?s?? kY ?s?

Y ?s? ? G?s?X?s? ? G?s?F?s?? kG?s?Y?s?



42

则反馈系统的系统函数为

H ?s?

?

Y ?s? F ?s?

?

G?s? 1 ? kG?s?

1 ? s2 ? s ? 2? k



H ?s ?的极点

19

p1,2 ? ? 2 ?

?k 4

为使极点均在s左半平面,必须

可得

9 ?k ? 0 4

OR

? ??

9 4

?

k

?

0

?

????

1 2

?

9?k ?0 4

k ? 2,即k ? 2时系统是稳定的。

43


连续系统的方框图表示 页
一个连续系统可以用一个矩形方框图简 单地表示,方框图左边的有向线段表示系统 的输入f(t),右边的有向线段表示系统的输 出y(t),方框表示联系输入和输出的其他部 分,是系统的主体。此外,几个系统的组合 连接又可构成一个复杂系统,称为复合系统。 组成复合系统的每一个系统又称为子系统。 系统的组合连接方式有串联、并联及这两种 方式的混合连接。

44



连续系统也可以用一些输入输出关系简单 的基本单元(子系统)连接起来表示。这 些基本单元有加法器、数乘器(放大器)、 积分器等。

45

第 页

46


例:某线性系统如图所示。求系统函数H(s), 写出描述系统输入输出关系的微分方程。 页

47

第 页
又得:
应用时域微分性质,得到系统微分方程为:

48



6.5 系统的稳定性



? 1,罗斯判据 ? 2,霍尔维茨准则


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