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2017-2018学年高中数学人教A版必修四课件:第二章 第4节 第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲, 预习教材 P106~P107 的内容, 回答下列问题. 已知两个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若 i,j 是两个互相垂直且分别与 x 轴、y 轴的正半轴同 向的单位向量,则 a,b 如何用 i,j 表示? 提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. (2)|a|,|b|分别用坐标怎样表示? 2 提示:|a|= (x1i+y1j)2= x2 + y 1 1; 2 |b|= (x2i+y2j)2= x2 + y 2 2. (3)能用 a,b 的坐标表示 a· b 吗? 提示:a· b=(x1i+y1j)· (x2i+y2j) =x1x2i2+(x1y2+x2y1)i· j+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 2.归纳总结,核心必记 (1)平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2 即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和 . (2)两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b ? x1x2+y1y2=0 . (3)三个重要公式 2 ①向量模的公式:设 a=(x1,y1),则|a|= x2 1+y1. , ②两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| 2 2 ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2 1 = . | ③向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2, x1x2+y1y2 2 2 2 2 y2),a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ = x1+y1 x2+y2 . [问题思考] (1)已知向量 a=(x,y),你知道与 a 共线的单位向量的坐标 是什么吗?与 a 垂直的单位向量的坐标又是什么? ?x y? 1 ? 提示:设与 a 共线的单位向量为 a0,则 a0=± a= ± |a|,|a|?= |a| ? ? ? ? ± ? ? x y ? ? 2 2, 2 2?,其中正号,负号分别表示与 a 同向和反向. x +y x +y ? 易知 b=(-y,x)和 a=(x,y)垂直, ? ∴与 a 垂直的单位向量 b0 的坐标为±? ? ? -y x ? ? 其中正, 2 2, 2 2?, x +y x +y ? 负号表示不同的方向. (2) 你 能 用 向 量 法 推 导 两 点 间 距 离 公 式 |AB| = (x2-x1)2+(y2-y1)2吗? [课前反思] (1)平面向量数量积的坐标表示: ; (2)两个向量垂直的坐标表示: ; (3)向量模的公式: ; (4)向量的夹角公式: . 讲一讲 1.(1)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 =(-1,t), =(2,2),若∠ABO=90°,则实数 t 的值为________. (2)已知向量 a=(1, 3), b=(2, 5), c=(2, 1), 求: ①2a· (b -a);②(a+2b)· c. (2)法一:①∵2a=2(1,3)=(2,6), b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), ∴2a· (b-a)=(2,6)· (1,2)=2×1+6×2=14. ②∵a+2b=(1, 3)+2(2, 5)=(1, 3)+(4, 10)=(5, 13), ∴(a+2b)· c=(5,13)· (2,1)=5×2+13×1=23.

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