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高二数学寒假提高练习


高二寒假数学提高练习 高二寒假数学提高练习 寒假数学提高

2011 年 1 月

高中二年级数学练习卷
一.选择题:(每小题 5 分,共 50 分)

1.若 x, y∈R+, 且 x+y=s, xy=p, 则下列命题中正确的是 ( (A) 当且仅当 x=y 时,s 有最小值 2 p s2 4 (C) 当且仅当 p 为定值时,s 有最小值 2 p
(B) 当且仅当 x=y 时,p 有最大值



s2 4 2.若 a、b∈(0,1),且 a≠b,则下列各式中取值最大的是 ( ) 2 2 (A)a +b (B)2 ab (C)2ab (D)a+b ( ) 3.若 x, y∈R+, x+y≤4,则下列不等式中成立的是 1 1 1 1 1 (A) ≤ (B) + ≥1 (C) xy ≥ 2 (D) ≥1 x+ y 4 x y xy 4.下列说法中不正确的是 ( ) n n (A) 若 a>b>0, n∈Z, n>1,则 a>b ? a> b a+b + (B) a、b∈R ? ≥ ab ” 2 1 3 + (C) 若 a、b、c∈R ,则 ≤ 3 abc a + b 3 + c 3 2 2 2 2 (D) 由 a、b∈R,可得 a +b ≥2ab≥-(a +b ) ( ) 5.下列不等式中恒成立的是
(D) 若 s 为定值,则当且仅当 x=y 时,p 有最大值

8.已知两条直线 l1: xsinθ+y 1 + cos θ +a=0, l2: x+y 1 ? cos θ +a=0, 3π 其中θ∈(π, ), 则 l1 与 l2 的位置关系是 ( ) 2 (A)平行 (B)垂直 (C)重合 (D)相交但不垂直 9.已知两条直线 l1: 3 x+y=0, l2: kx-y+1=0, 且 l1 与 l2 的夹角为 60°, 则 k 的值为 ( ) (A) 3 或 0 (B)- 3 或 0 (C) 3 (D)- 3 10.已知两条直线 l1: Ax+2y+2=0, l2: 2x+6y+C=0, 且 l1 与 l2 的 交点为(1, m), 如果 l1 到 l2 的角为 45°,则 ( ) (A)A=-4,C=16,m=3 (B)A=4,C=16,m=-3 1 1 (C)A=-4,C=12,m= (D)A=4,C=-12,m=- 3 3 二.填空题:(每小题 4 分,共 20 分) 11.一条直线与直线 3x-5y+7=0 平行,且它在两坐标轴上的截距和为 4,

则此直线的方程是

。 。 。 。

12.与直线 Ax+By+C=0 关于直线 y=x 对称的直线方程是 13.直线 y=2 与直线 y= 3 x+1 夹角的平分线的方程是

已知 xy=1, x>y>0, x= 且 当 14.

, y=

x2 + y2 时, 有最小值 x? y

15 . 如 果 0<a<1, 0<x ≤ y<1, 且 (logax)(logay) = 1 , 那 么 xy 的 取 值 范 围

(A)ctgθ+tgθ≥2 (C )
sin 2 θ + 3 sin 2 θ + 2


(B)xyz≤ (D)x+
2

1 27



。 三.解答题:(16、17 题每题 7 分,18、19 题每题 8 分,共 30 分) 16.已知 a, b, c∈R, 求证:a4+b4+c4≥abc(a+b+c)。 17.已知 a, x, y, z 是同时大于 1 的正数,且 loga(xyz)=9, 求证:logxa+logya+logza≥1。

(x+y+z=1)

≥2

x

-1 ≥2

6.当 x∈R

时可得到不等式 x+

1 4 x x 2 ≥2, x+ 2 = + +( )2 ≥3, x 2 2 x x

由此可以推广为 x+

p ≥n+1, 取值 p 等于 ( ) xn (A)n n (B)n 2 (C)n (D)n+1 7.若直线 x+ay+1=0 和直线 x+a2y+2=0 互相平行,则 a 的值为 (A)1 (B)-1 或 0 (C)1 或 0 (D)0





18.两条互相平行的直线 l1 和 l2,分别过点 A(6, 2)和 B(-3, -1),并且各自绕 A、 B 旋转,求 l1 和 l2 间距离 d 的最大值及取得最大值时,l1 与 l2 的方程。 19.已知点 A(0, 2)、B(0, 8),在 x 轴的正半轴上找一点 M,使∠AMB 最大。求出 点 M 的坐标并求出∠AMB 的最大值(用反正切表示)。

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2011 年 1 月

题号 1 2 3 4 9 10 答案 D D B C A B 11.3x-5y-30=0 3 5 6+ 2 6? 2 13.y= x+ 14. , ,2 2 2 2 3 3 15.(0, a2] 16.2(a4+b4+c4)≥2a2b2+2b2c2+2c2a2≥2a2bc+2ab2c+2abc2=2abc(a+b+c) 17.9= log a x + log a y + log a z ≥3 3 log a x log a y log a z ,
log x a + log y a + log z a ≥3 3 log x a log y a log z a ,

参考答案 5 6 7 8 D A C B 12.Bx+Ay+C=0

两式相乘可证 logxa+logya+logza≥1 18.l1: y=-3x+20, l2: y=-3x-10, dMAX=3 10 3 19.M(4, 0), ∠AMB=arctg 4 一.选择题: 1.曲线 2y2+3x+3=0 与曲线 x2+y2-4x-5=0 的公共点的个数是( (A)4 (B)3
5 2

)。

(C )2

(D)1 ) 。

(A)2 5 (B)3 5 (C)4 5 (D)5 5 2 7.椭圆 9x +25y2=225 上一点 P 到左焦点的距离为 6,则它到右准线的距离是 ( )。 9 15 15 (A) (B) (C ) (D)5 4 4 2 8. 椭圆的两个焦点是 F1(-1, 0), F2(1, 0), 为椭圆上一点, |F1F2|是|PF1|与|PF2| P 且 的等差中项,则该椭圆方程是( )。 x2 y2 x2 y2 (A) + =1 (B) + =1 16 9 16 12 x2 y2 x2 y2 (C ) + =1 (D) + =1 4 3 3 4 9.常数 a>0,椭圆 x2+a2y2=a2 的长轴是短轴的 2 倍,则 a 等于( )。 1 1 1 (A) (B)2 (C ) 或 2 (D) 或 2 2 2 2 2 2 2 2 10.已知两椭圆 ax +y =8 和 9x +25y =100 的焦距相等,则 a 的值是( )。 9 3 3 3 9 3 (A)9 或 (B) 或 (C )9 或 (D) 或 17 4 2 4 17 2 OP 1 1 11.已知一个动点 P 到两个定点 O(0, 0)、A(3, 0)的距离的比为 ,即: = , 2 PA 2 则动点 P 的轨迹是( )。 (A)圆心为(0, -1),半径为 2 的圆 (B)圆心为(-1, 0),半径为 2 的圆 (C)焦点在 x 轴上的椭圆 (D)焦点在 y 轴上的椭圆 2 2 12.椭圆(1-m)x -my =1 的长轴长是( )。 2 1? m ?2 ?m 2 m 1? m (A) ( B) (C ) (D) 1? m m m 1? m 二.填空题: 13 . 曲 线 (x - 4y + 6)(x + 3y + 6) = 0 和 直 线 3x + 2y - 10 = 0 的 交 点 坐 标 是 。 2 2 过两圆 x +y -x-y-2=0 与 x2+y2+4x-4y-8=0 的交点和点(3, 1)的圆的 14. 方程是 。 y?2 15.若实数(x, y)满足 x2+y2=1, 则 的最小值是 。 x ?1 16.与两坐标轴都相切,且过点(2, 1)的圆的方程是 。 17.椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 A(2, 0),则椭圆的标准方程是

2. 为使直线 y= x+b 和曲线 4x2-y2=36 有两个交点, b 的取值范围是 则 (

(A)|b|>

2 3

(B)b<

2 3

(C)b<

9 2

(D)|b|>

9 2

3.x2+y2-x+y+R=0 表示一个圆,则 R 的取值范围是( (A)(-∞, 2) (B)(-∞, 2)

)。

(C)(-∞,

1 ) 2

(D)(-∞,

1 ] 2

4.若直线 x+y=m 与圆 x2+y2=m (m>0)相切,则 m 等于(

)。

(A)

1 2 (B) 2 2

(C ) 2

(D)2

5.一个动点在圆 x2+y2=1 上移动时,它与定点(3, 0)的连线的中点的轨迹方程 是( )。 (A)(x+3) 2+y2=4 (B)(x-3) 2+y2=1

(C)(2x-3) 2+4y2=1

(D)(x+ ) 2+y2=

3 2

1 2

6.直线 x+2y+1=0 被圆(x-2) 2+(y-1)2=25 所截得的弦长等于(

)。

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2011 年 1 月

。 18 . 若 椭 圆 是 x y 9 + =1 的一条准线方程是 y=- ,则 m 的值 m+4 9 2 。
2 2

三.解答题: 19.设 P(x, y)是轨迹上任意一点, 则|PF|等于点 P 到到直线 x=-2 的距离, ∴
( x ? 2) 2 + y 2 =|x+2|, 两边平方,整理得 x2-4x+4+y2=x2+4x+4, ∴ 轨迹方程是 y2=8x. 20.设 P(x, y)是轨迹上任意一点, 圆 x2+y2-6x-6y+14=0 的圆心是 M(3, 3), 半径为 2, 连接 MP,AP,AM, 点 P 是圆 M 内的弦的中点,∴ MP⊥AP,△MPA 是直角三角形, ∴ 点 P 在以 AM 为直径的圆上,且在圆 x2+y2-6x-6y+14=0 的内部, ∴ 点 P 的轨迹方程是 x2+(y+1) 2=25 ( (x-3)2+(y-3)2≤4 ) 1 13 , 21.圆 C1:x2+y2+4x+y+1=0 的圆心为(-2, - ), 半径为 2 2 圆 C2:x2+y2+2x+2y+1=0 的圆心为(-1, -1), 半径为 1, 过两圆圆心的直线方程是 x+2y+3=0, 过两圆交点的公共弦的直线方程为 2x-y=0, 3 6 联立两直线方程解得,两直线的交点坐标为(- , - ), 5 5 3 6 ∴ 以两圆公共弦为直径的圆的圆心在(- , - ), 5 5 5 从圆 C2 的圆心(-1, -1)到公共弦 2x-y=0 的距离是 ,则公共弦的长为 5 1 4 5 2 5 2 1- = ,以两圆公共弦为直径的圆的半径是 , 5 5 5 3 6 4 ∴ 所求圆的方程是(x+ )2+(y+ )2= , 5 5 5 即 5x2+5y2+6x+12y+5=0 π 22.椭圆 x2+9y2=9 左焦点 F(-2 2 , 0), 过 F 作倾斜角为 的直线, 6 3 则直线方程为 y= (x+2 2 ), 将直线方程代入椭圆方程得 3 15 x2+3(x+2 2 )2=9, 整理得 4x2+12 2 x+15=0, ∴ x1+x2=-3 2 , x1x2= , 4 1 15 (3 2 ) 2 ? 4 ? =2. ∴ 弦长|AB|= 1 + k 2 |x1-x2|= 1 + 3 4

三.解答题: 19.点 P 到 F(2, 0)的距离与到直线 x=-2 的距离之比为 1,求动点 P 的轨迹方 程。 20.已知圆的方程 x2+y2-6x-6y+14=0,求过点 A(-3, -5)的直线交圆的弦 的中点的轨迹方程。 21.求以相交两圆 C1:x2+y2+4x+y+1=0 与圆 C2:x2+y2+2x+2y+1=0 的公 共弦为直径的圆的方程。 π 22.已知椭圆 x2+9y2=9,过左焦点作倾斜角为 的直线交椭圆于 A, B 两点,求| 6 AB|. 椭圆的右焦点恰为圆 x2+y2-4x=0 的圆心, 23. 半长轴为此圆的直径, (1) 求椭圆的标准方程; 且倾斜角为 45°的直线依 (2) 过椭圆的右焦点, 次交椭圆和圆于 A、B、C、D 四点,求介于椭圆 和圆之间的两条线段 AB 和 CD 的长度之和。

24. 椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 相交于 A、

B 两点,已知:|AB|=2 2 ,AB 的中点 C 与椭圆中心的连线的斜率是 的方程。 考答案十

2 ,求椭圆 2

一.选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D C D C C D C C A B B 二.填空题: 13. (2,2),(6,-4) 14. 3x2+3y2-13x+3y+6=0 3 15. 16. (x-1) 2+(y-1) 2=1 或(x-5) 2+(y-5) 2=25 4 17. x2+4y2=4 或 16x2+4y2=64 18. m=1

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2011 年 1 月

23.(1) 圆 x2+y2-4x=0 的圆心为(2, 0), 半径为 2,直径为 4, x2 y2 ∴ a=4, c=2, b2=12, ∴ 椭圆方程是 + =1, 16 12 (2) 过椭圆的右焦点(2, 0),且倾斜角为 45°的直线方程为 y=x-2, 将直线方程代入椭圆方程 3x2+4y2=48, 整理得 16 32 7x2-16x-32=0, x1+x2= , x1x2=- , 7 7 48 ∴ 弦长|AD|= 1 + k 2 |x1-x2|= , 又|AB|+|CD|=|AD|-|BC|, 7 其中|BC|=4 是圆的直径,∴ |AB|+|CD|=
20 . 7

A.

x2 y2 + =1 4 3

B.

x2 y2 + =1 3 4

C.

x2 y2 + =1 16 9

D.

x2 y2 + =1 16 12
) )

4.若抛物线 y2=a(x+1)的准线方程为 x=-3,则焦点坐标为 ( A.(-1,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0) 2 5.圆心在抛物线 y =2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线相切的圆的方程为 ( A. x + y ? x ? 2 y ?
2 2

1 =0 4

B. x 2 + y 2 + x ? 2 y + 1 = 0 D. x + y ? x ± 2 y +
2 2

C. x 2 + y 2 ? x ? 2 y + 1 = 0

1 =0 4

24.联立椭圆方程和直线方程 ?ax 2 + by 2 = 1 , 代入整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0, ? ? x + y =1

x2 y2 6.以双曲线 ? = 1 的右焦点为顶点,左顶点为焦点的抛物线方程为 ( ) 16 9 A. y 2 = 9( x ? 5) B. y 2 = ?9( x ? 5) C. y 2 = ?36( x + 5) D. y 2 = ?36( x ? 5)
二、填空题: 7. 经过点 (1, , 4) 且与坐标轴正半轴围成的三角形的面积最小时的直线 l 的方程为_________ 8.与两平行线 l1:x-2y-1=0,l2:x-2y+9=0 均相切,且圆心在直线 3x+2y+1=0 上的圆的方程为 _____________________ 9.椭圆

设弦的中点为 M(x0, y0), 则 x0=

b a 2 , y0= , 又 OM 的斜率为 , a+b a+b 2

y a 2 ∴ k= 0 = = , ∴b= 2 a,将 b= 2 a 代入得 x0 b 2
( 2 +1)ax -2 2 a+ 2 a-1=0, x1+x2=
2

x2 y2 + = 1 的两焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△PQF2 的周长为 25 9

2 2 2 +1

= 4 ? 2 2 , x1x2=

2a ? 1 ( 2 + 1)a

,

___________ 10.双曲线两渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0,一准线为 5y+4=0,则此双曲线方程为 _______________________ 11.已知 A(-1,6),B(3,0),直线 AB 上一点 P,使|AP|=

代入弦长公式得 2 2 = 2

(4 ? 2 2 ) 2 ?

4( 2a ? 1)

2 1 , 解得 a= , b= , 3 3 ( 2 + 1)a

1 |AB|,则 P 点坐标为 3

x2 2y2 ∴ 椭圆方程是 + =1 3 3
一、选择题: 1.已知直线 l1: 3 x + y = 0, l 2 : kx ? y + 1 = 0 ,若 l1 与 l2 的夹角为 60°,则 k=( A. 3或0 B. - 3或0 C. 3 D. - 3 ) 2.与两圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 4 y + 7 = 0和x 2 + y 2 ? 4 x ? 10 y + 13 = 0 都相切的直线有( )

___________________ 12.⊙C1:x2+y2=4,⊙C2:x2+y2-12x-64=0,动圆与⊙C1 外切且与⊙C2 内切,则动圆圆心 M 的 轨迹方程为____________________ 13.过椭圆

x2 + y 2 = 1 的左焦点作直线交椭圆于 A、B,若|AB|恰等于短轴长,则直线方程为 9

__________________ (2, , 为该圆上一动点, 0) B 则弦 AB 中点的轨迹方程为______________ 14. x2+y2=4 上点 A 圆 三、解答题: 15.求过原点且与直线 x=1 及圆(x-1)2+(y-2)2=1 均相切的圆的方程。 16.抛物线 y2=2px(p>0)有一内接直角三角形,直角顶点是原点,一直角边的方程为 y=2x,斜

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 3.椭圆的焦点 F1(-1,0),F2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|等差中项,则椭 圆方程是 ( )

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2011 年 1 月

边长为 5 3 ,求抛物线方程。

( y ? 1) 2 17.把椭圆 ( x ? 1) + = 1 绕它的中心旋转 90°,再沿 x 轴方向平行移动,使变换后的 2 2 x 所得线段长为 3 ,求变换后的椭圆方程。 椭圆截直线 y = 2 x2 y2 18.双曲线 C1: 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的右准线 l 与两渐近线分别交于 P、Q,右焦点 F, a b 且△PQF 为等边三角形,若 C1 被直线 l′:y=kx+b 所截弦长为 30 。①求双曲线 C1 的方程; 1 ②求以 F 为左焦点,l 左准线, 为离心率的椭圆 C2 的方程;③以 F 为左焦点,l 为左准线的 e
2

17.

x2 (x ? 2 2)2 + ( y ? 1) 2 = 1 或 + ( y ? 1) 2 = 1 2 2 2 y 5 2 4 2 3 7 7 2 2 18.① x ? =1 ② ( x ? ) + y = 1 ③ y = ( x ? )( x > ) 3 2 3 4 2 2
0.7

一、选择题: 1.三个数 6
6

,0.7 6 , log 0.7 6 的大小顺序是
0.7 6


6 0.7 6



A. 0.7 < log 0.7 6 < 6 C. log 0.7 6 < 6
0.7

B. 0.7 < 6

< log 0.7 6
0.7

< 0 .7

D. log 0.7 6 < 0.7 < 6

2.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值和最小值的和为 3,则 a 的值为 A.

( D.



动椭圆 C2 的短轴端点为 B,过 B 作 BM 垂直于椭圆 C2 的右准线,垂足为 M,求点 M 的轨迹。

答案

1 2

B.2

C.4

1 4
( )

3.已知 0<x<y<a<1,则有 A.loga(xy)<0 B.0< loga(xy)<1 C.1< loga(xy)<2 D.loga(xy)>2 4.若函数 y = ( )

1.A 2.C 3.A 7. 4 x + y ? 8 = 0 8. ( x + 9.20

4.B

5.D

6.D

1 2

|1? x|

+ m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是





5 2 11 ) + ( y ? )2 = 5 4 8

A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0<m≤1 5.若定义在(-1,0)内的函数 f ( x ) = log 2 a ( x + 1) > 0 ,则 a 的取值范围是(



( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 ? =1 9 16 1 7 11. ( ,4) 、 ( ? ,8) 3 3 2 ( x ? 3) y2 12. + =1 36 27 3 13. y = ± (x + 2 2) 3 14. ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 3 2 1 2 25 15. ( x ? ) + ( y ? ) = 8 2 64 4 2 16. y = 39 x 13
10.

1 1 ? 1? B. ? 0, ? C. ( ,+∞) 2 2 ? 2? x 6.若函数 y = (log 1 a ) 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是
A. (0, )
2

D. (0,+∞) ( )

1 1 C. ( ,+∞) D. (1,+∞) 2 2 7.函数 y=logax 在 x ∈ [2,+∞ ) 上总有|y|>1,则 a 的取值范围是 1 1 A. 0 < a < 或 1 < a < 2 B. < a < 1 或 1 < a < 2 2 2 1 D. 0 < a < 或 a > 2 C. 1 < a < 2 2
B. ( ,1)

1 A. (0, ) 2





8.已知 f(x)=ax2+bx+c (a>0),α,β为方程 f(x)=x 的两根,且 0<α<β,当 0<x<α时,给出 下列不等式,成立的是 ( ) A.x<f(x) B.x≤f(x) C.x>f(x) D.x≥f(x) 9.方程 log 2 ( x + 4) = 2 x 的根的情况是 A.仅有一根 C.有一正根和一个负根 B.有两个正根 D.有两个负根 ( )

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2011 年 1 月

10.若方程 2a ? 9 + 4a ? 3 A.a>0 或 a≤-8
sin x

sin x

+ a ? 8 = 0 有解,则 a 的取值范围是
B.a>0 D.



) 题号 1 2 3 4 5 6 B 7 8 9 10

C. 0 < a ≤

8 31

8 72 ≤a≤ 31 23

二、填空题: 11.若对于任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围是 _________________。 12.方程 log 1 ( x +
2

答案 D B D 11. ( ?∞,?1) ∪ (3,+∞)

B A 12. (? ∞,0]

B A C D 13.-3<a<1 14.2

15.g(x)=2x2-(a-3)x-a2+3a-2

x 2 ? 1) = a 有解,则实数 a 的取值范围是_________________
x

13.关于 x 的方程 5 =

a+3 有负根,则 a 的取值范围是_______________ 5?a 14.已知关于 x 的函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a, b ≠ 0) ,若 f(x1)=f(x2) (x1≠x2),f(0)=2,则

1 (a ? 3) ≥ ?1 4 g (?1) ≥ 0
1≤a≤3 16.(1)先证 f(x)为增函数,分 0<a<1 和 a>1 两种情况,再证 f(x)为奇函数,1<m< 2 (2) a = 2 ± 3

f(x1+x2)=_____________ 三、解答题: 15.已知 f ( x) = log 2 [ 2 x 2 ? ( a ? 3) x ? a 2 + 3a ? 2] 在区间 ( ?∞,?1) 上为减函数,求实数 a 的 取值范围。 16.已知 a>0,a≠1,函数 f ( x) =

a x ? a?x 的定义域为(-1,1) a ? a ?1

a x + a ?x 17.(1) f ( x ) = 2 当 a>1 时,定义域为 [0,+∞ ) 当 0<a<1 时,定义域为 (? ∞,0]
?1

(1)解关于 m 的不等式 f(1-m)+f(1-m2)<0 (2)若 f(x)-4 当且仅当在 (?∞,2) 上取负值,求 a。 17.设 a>0 且 a≠1, f ( x ) = log a ( x +
-1

? ( x + 1) 2 1 (2) < a < 3 18.(1) F ( x) = ? 2 3 ?? ( x + 1)

x>0 x<0

x 2 ? 1)

(x≥1)

(1)求函数 f(x)的反函数 f (x)及其定义域;

3n + 3?n (2)若 f ( n) < 2
?1

(n ∈ N *) ,求 a 的取值范围。

18.设函数 f(x)=ax2+bx+1

(a,b 为实数,且 a>0)

? f ( x) x > 0 F ( x) = ? ?? f ( x ) x < 0
(1)若 f(-1)=0,且对任意实数均有 f(x)≥0 成立,求 f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值 范围。 (3)若 f(x)是偶函数,试判断 F(x)的奇偶性; (4)设 mn<0,m+n>0,且 f(x)是偶函数,求证:F(m)+F(n)>0

答案

(2)k≤-2 或 k≥6 (3)略 (4)分 m>0,n<0 与 m<0,n>0 讨论 一、选择题: 1.设 a,b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是 ( ) A.有且仅有一条直线与 a、b 都垂直 B.有一平面与 a、b 都垂直 C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行 D.过空间中任一点必可作一条直线与 a、b 都相交 2.在下列命题中,真命题是 ( ) A.若直线 m、n 都平行于平面α,则 m∥n B.设α—l—β是直二面角,若直线 m⊥l,则 m⊥β C.设 m,n 是异面直线,若 m 与平面α平行,则 n 与α相交 D.若直线 m、n 在平面α内的射影分别是一个点和一条直线,且 m⊥n,且 n 在α内或 n 与 α平行 3.把边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 60°的二面角,这时顶点 B 到 CD 的距离是 ( )

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2011 年 1 月

A.a

B.

7 a 4

C.

10 a 4

D.

2 a 2

4.已知四棱锥 P—ABCD 的各棱长均为 a,三棱锥 Q—EFG 的各棱长均为 a,现将△PAB 和△ QEF 重合在一起,拼成一个新的多面体,则该多面体是 ( ) A.斜三棱柱 B.直三棱柱 C.一个七面体 D.以上答案都不对 5.一个球与一个正棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为 的体积为 A. 96 3 B. 16 3 C. 24 3 ( D. 48 3

32 π ,则三棱柱 3


6.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截 面面积分别为 S1、S2、S3,则 ( ) A.S1<S2<S3 B.S3<S2<S1 C.S2<S1<S3 D.S1<S3<S2 7.已知顶点不在平面α内的一直角,其所在平面与α不垂直,又直角在平面α内的射影也是 直角,那么直角的边 ( ) A.两边都是与α平行 B.至少有一边与α平行 C.两边都与α斜交 D.以上都不对 8.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为 E B.5 D ( F )

⑤若 m ? α,l ? β,且α∥β,则 m∥l,其中正确的命题的序号是_____________ 12.有一块三角板 ABC,∠A=30°,∠C=90°,BC 贴于桌面上,当三角板与桌面成 45°角 时,AB 边与桌面所成角的正弦值是_________________。 13.设地球的半径为 R,在北纬 30°圈上有 A、B 两地,它们的经度差为 120°,那么这两地 间的纬度线的长为______________。 14.若四面体各棱的长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是___________。 (只需写出一个可能的值) 三、解答题: 15.已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2, C1 A1 AC=2 3 ,AA1⊥A1C,AA1=A1C,求: B1 (1)侧棱 AA1 与底面 ABC 所成角的大小; (2)侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小; (3)顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离。 A B C

3 ,EF 2

9 A. 2
C.6

A B 9.正方体 A’B’C’D’—ABCE 的棱长为 a,EF 在 AB 上滑动,且|EF|=b,(b<a),Q 在 D’C’ 上滑动,则四面体 A’—EFQ 的体积为 ( ) A.与 E、F 位置有关 B.与 Q 位置有关 C.与 E、F、Q 位置都有关 D.与 E、F、Q 位置均无关,是定值 10.在棱长为 a 的正方体内有一个内切球,过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线, 该直线被球面截在球内的线段长为 ( ) A.

15 D. 2

C 16.在直角梯形 ABCD 中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC=

1 AB=a,将△ADC 沿 AC 折起,使 2

D 到 D’,记平面 ACD’为α,平面 ABC 为β,平面 BCD’为γ (1)若二面角α—AC—β为直二面角,求二面角β—BC—γ的大小; (2)若二面角α—AC—β为 60°,求三棱锥 D’—ABC 的体积。 D C

1 a 4

B.

1 a 2

C.

2 a 2

D. ( 2 ? 1) a

A

B

二、填空题: 11.已知 m、l 是直线,α、β是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于α内的两条相交直线,则 l⊥α; ②若 l 平行于α,则 l 平行于α内的所有 直线;③若 m ? α,l ? β,且 l⊥m,则α⊥β ④若 l ? β,且 l⊥α,则α⊥β

17.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别 BB1,CD 的中点。

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2011 年 1 月

(1)求证:AD⊥D1F; (2)求 AE 与 D1F 所成的角; (3)求证:面 AED⊥面 A1FD1; (4)设 AA1=2,求三棱锥 F—A1ED1 的体积 V F ? A1ED1

D1 A1 B1 E D A F B

C1

16.(1)45° 17.(1)略

(2) (2)90°

6 3 a 12
(3)略 (4)略

C

18.8π 一、选择题: 1. AB = a, DC = b ,则 a = b 是四点 A、B、C、D 构成平行四边形的( )

18.已知 P 是以 AB 为直径的半圆上的一点,过 P 作半圆的切线,分别交直径 BA 的延长线于 S,交过 B 的半圆的切线于 C,将图形绕 SB 旋转一周,得到一个圆锥和一个球。若球的表面 S 积为 4π,求当圆锥的体积最小时,该圆锥的表面积。 P O D B C

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.设 a, b 是不共线向量, AB = a + k b, AC = m a + b ( k , m ∈ R ) ,则 A、B、C 三点共线的 充要条件是( ) A.k + m =0 B.k = m C.km + 1=0 D.km =1 3.△ABC 的两顶点 A(3,7),B(-2,5),若 AC 的中点在 x 轴上,BC 的中点在 y 轴上, 则顶点 C 的坐标为( ) A.(2,-7) B.(-7,2) C.(-3,-5) D.(-5,-3) 4.下列命题: ① ( a ) ? ( a ) =| a |
2 2 4

② (a ? b) ? c = ( a ? c ) ? b ④若 a ∥ b , b ∥ c , 则 a ∥ c

答案

③向量就是有向线段 ⑥若 a ? c = b ? c ,且 c ≠ o ,则 a = b

⑤ a ∥ b ,则存在唯一实数λ,使 b = λ a ⑦设 e1 , e2 是平面内两向量,则对于平面内任何一向量 a ,都存在唯一一组实数 x、y,使

题号 答案 11.①④ 12.

1 C

2 D

3 B

4 A

5 D

6 A

7 B

8 D

9 D

10 C

a = xe1 + y e2 成立。真命题个数为(
A.0 二、填空题: B.1

) C.3 D.3 个以上

6 4 3 13. πR 3 11 14 11 14. 或 或 12 12 6
(2)60° (3) 3

5.若四边形 ABCD 满足 AB ? BC = CD ? DA , | AB |=| CD | ,则四边形 ABCD 的形状是 __________。 6.已知 | a |=| b |=| a + b |= 1 ,则 | a ? b |= ___________。 7. | a |= 10 , | b |= 12 ,且 (3a ) ? ( b) = ?36 ,则 a 与 b 夹角为___________。 8.已知 M(3,-2),N(-5,-1)且 MP =

1 5

15.(1)45°

1 MN ,则 P 点坐标为__________。 2

9.以 A(0,0),B(a,b),C(b+a ,b-a)为顶点的三角形为_________三角形。

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2011 年 1 月

10.一个向量 a 把点(-1,-1)平移到点(-1,0),则 a 把点(-1,0)平移到_______。 11.已知 a = (1, 2) , b = ( x,1) ,当 a + 2b 与 2a ? b 平行时,实数 x = ________。 12.已知 | P1 P2 | =1,点 P 在 P1 P2 的延长线上,且 | PP2 | =2,则 P 分 P1 P2 所成比是________。 13 . 若 函 数 y = log 2 (2 x ? 4) + 1 的 图 象 按 a 平 移 后 图 象 的 解 析 式 为 y = log 2 (2 x) , 则

9.等腰直角 10.(-1,1) 11.

1 2 3 2

12. ?

a =___________。
14.已知两个力 F1、F2 的夹角为 90°,它们合力大小为 10N,合力与 F1 夹角为 60°,那么 F1 大小为________。 三、解答题:

13.(-2,-1) 14.5N 15.

2 7 7

3 | a | ,求 a 与 a + b 的夹角的余弦值。 1 2 16. 已知向量 a = (1, 2 ) , b = (? 2 ,1) , 若正数 k 和 t, 使得 x = a + (t + 1)b 与 y = ?k a + b t
垂直,求 t 的值。 17.设向量 a = (cos α , sin α ) , b = (cos β , sin β ), 且 | k a + b |= (1)用 k 表示 a ? b (2)求证 a 与 b 不可能垂直 (3)当 a 与 b 夹角为 60°时,求 k 的值 18.某人在静水中游泳,速度为 4 3km / h (1)如果他径直游向对岸,水流速度为 4km/h,它实际沿什么方向前进?速度大小为多少? (2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?

15.已知 a , b 都是非零向量,且 | b |= 2 | a | , | a ? b |=

16.t =1 17.(1) a ? b =

k 2 +1 ( k >0) 4k

3 | a ? k b | (k >0)

(3)k = 1 18.(1)此人沿与沿岸夹角为 60°顺着水流方向前进,速度大小为 8km/h (2)沿与河岸夹角 arccos

3 ,逆水流方向前进,速度大小为 4 2km / h 3

答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 5.平行四边形 6. 3 7.120° 8.( ? 1 ,? 1 B 2 D 3 A 4 B

3 ) 2


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