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探析解决数列不等式问题的函数策略


2 0 1 7年 第 4期 

中学数 学研 究 

? 2 9?  

探 析 解 决 数 列 不 等 式 问题 的 函数 策 略 
浙江省绍兴鲁迅 中学  ( 3 1 2 0 0 0 )   陈少春 
数列是一个定义在正整数集( 或其子集) 上的   特 殊 函数 , 它 丰 富 了学 生所接 触 的 函数概 念 的范 围,  
引导 学生利 用 函数 去研 究数 列 问题 , 能使 解 数 列 的   问题 更 有新 意和 综合 性 , 更 能 有效 地 培 养 学生 的思 

维品质和创新意识. 因此我们在解决数列问题 时, 可  以 从 它的源头、 本质 —— 函数的角度 去解决 它, 充  
分利 用 函数 的有 关知 识 , 以函数 的概 念 、 图像 、 性 质 

}≤ 一 (   一   )   + ÷=   可 <   南,   0 川兰 ±  一  ~   ^ 2 : 一 一   ( 口   一    ) 1 )   +   ÷ ≥ 一 (  一  )   + ÷=   >   , 命 题 也  


(   一   1   J   z





成立;  

为纽带, 架起函数与数列之间的桥梁 , 揭示它们之间   的 内在 联 系 , 比如数 列 的放 缩、 单 调性 可 以借助 函数  的单调 性 方 法放 缩、 判断, 数 列 的最大 ( 小 )项 可 以   利 用 函数 图像 的直观 性 来 比较 , 从 而 有 效地 解 决 数  列不等式问题. 下面笔者通过具体 的例子尝试从 函   数 的角度处理数列不等式问题 , 希望对考 生处理数  列 问题 有些 许 帮助 .  


③ 综上所述 , 该命题对所有的正整数凡 都成立.  

因为S  =口   + 口 2 + …+ 0 : =0 1 一 口 2 + 0 2 一 a 3  
+. . ’ +。 n  a n + 1   。 -一   t , 又  ? ≥  
】  


, 所以  
n  

1  

1  

至二 : : :  ≤至 2二 2 殛 n + 2:  
1  
;   +   ≤ 

:  



函数 单调性 处 理数 列递 推 问题 
一  

数 列和 的不 等式 问题 的矛 盾在 于数 列相 邻 两项  的递 推 关 系的发现 , 有 时候 从 函数 单调 性 角 度 去 入  手则 事半 功倍.  
. 
  .

1   以 鲁 =  
一2 ( n+2 ) 。  

≥  

±   一  (  ±  )   一  
n   —  

例1  ( 2 0 1 5年浙江理 2 1 )已知数列{ 口   } 满足 
1  

例2 (  ̄ 2 o 1 5年绍兴一模理 2 1 )已知数列 { 0   }  

口1 :

÷ 且口   + 1 :n   一 a : ( n∈N   ) .  
( 1 )证 明 : 1≤  
“ n+1  

满足0 l =口∈( 0 , 1 ) , 且0< a n + l ≤0 : 一 口 : , 设6  =  
( 口  一0   + 1 ) 0   + 1 .  
  ( 1 )比较 口  一口  和  的大 小 ;
a1

≤2 ( n ∈J 7 v  ) ;  

( 2 )设 数 列 { 口   的 前 n项 和 为 S   ,证 明  


鲁 ≤  

( n ∈ Ⅳ  
:  
5‘  

( 2 )求证 .

。 

^ √口 l 口 2 …a  

/  

>  。 ;  

( 3 )设   为数列{ b   }的前 凡项和, 求证 :   <  

证明: ( 1 ) 口  =口  一   l ≥ 0, 口  ≥  1 .  

l _ n  

= 吉 ,  = 鲁  ,  c   ,   证 明 :( 3 ) ‘ . ‘ 口   + 1≤ 口  一0 3   :血   ( 0  一0 2   )≤   ≥(   1)   >0 . . . 寺 。   ’ . . . 6   = ( n   一 。   ) 。  = 一 。 2 川+   n  =   1 ≤ 未≤ 2 .  


( 1 ) ( 2 )证 明略.  

( 2 )下面用 数 学 归纳法 先证  ≤ 。 n≤ 

?  



( 。   一   1 。   )  +   1 口 2   ≤



(   1 口  一l _ 1 。   )  +   1 。   2  

① 当n=1 时, ÷ ≤0 l ≤÷, 命题成立;  
② 假设 当   =   时, 命 题成立 , 即   ≤a k≤  

=  

2故  =6 。 +6 :+. . ? +6  ≤  ( 。  +口 : 2 +. . ?  

+   ) ≤  [ 。 2   +   。 ; + … + ( 击)   口   ] =   3 口 2  

南 , 那 么 当 n = | i } + 1 时 ,  = 。   一 。 2  

?

3 0?  

中学数 学研 究 

2 0 1 7年 第 4期 

1一(   )  
1  
一  

z  
、 5’  

求证:  

5; ②  <  

.  

解: ( 1 )由 n  +S  = 1 退 一位 得 

+S   一 l=  

二、 函数恒成 立 处理 数列 有界 性 、 求和 问题  找到 数 列任 意两 项之 间 的关 系 , 再 分 离 变量 转 

1 ( n ≥ 2 ) , 两 式 相 减 可 得 : 2 。   = 。   , 即  = 丢 ,  
又。  =  1, . .数列{ 。   } 为等 比数 列 , . ? . 口  =(   1)  

.  

化 成 函数 恒 成立 问题 是解 决数 列有 界性 的关键 .   例3  ( 2 0 1 6年 浙 江理 2 0 )设 数 列 { 口   }满足 
I。  一   l≤ 1, n ∈ N .  

( 2 )  

妥 :   志  - c l   2   。 ,  


( 1 )证 明 : I 。  I ≥2   一   ( 1   0 1   l 一2 ) ,   ∈N  ;  

( 2 ) 若1   0   I ≤( ÷),  ∈ Ⅳ   , 证明: I   l ≤2 ,  
∈ N  .  

+… +c   . 当n=1 时, c 。=1<了 5; 当   ≥2时 令 

c   =   ≤ A ( 丢 )   j . ] L ≥   , 设 函 数 , ( n ) =  
l ≤1 , n ∈N , 得 

证明: ( 1 )由 l 。  一  

( n∈Ⅳ   , n≥2 ) , 易知函数  ) 为单调减函  
l   n  I 一—  I 口   + 1   I ≤1 , 即l   0   + 1   I ≥2   l   0  I 一2 , 也即  

1   0   I 一2≥ 2 ( I 口  l 一2 ) , 由数 列 的递 推 关 系得 
1   0  l 一2≥ (   1 0 1   I 一2 )? 2   一   , 所以l Ⅱ  I ≥  
2   ( I口 l   I 一2 ) , n ∈N  .  

数, 把  =2 代 入 得  n )的最 大值 为   , - . .可取 A =  

- - . . 当 n ≥ 2 时 ’ c n =  。  ≤   4 ? ( 丢 )   , . ? . 当  
凡≥2时,   :c 。 + c : + c   +? ? ? + c   ≤1 +   [ (  )  

( 2 )由 l   0   + 。 l 一2≥2 ( 1   0   1 —2 )知 , 对 任意 的 
正整 数 m,  ( m >凡 )都 有 I 口  I 一2≥ 2 一  ( 1 。  I 一  

2 ) , 所以l 口   I ≥2   一   ( 1   0   I 一 2 ) , 又1   0   I ≤( — _ J ),  

+ 

丢   + . . . +   丢  :   +   .  
:   .  

从 而  
所以  

≤ ( 寻 ) m , - 当 m 一 + ∞ 时 , (   )   一 。 ,  
≤ o, I口   l ≤2 , n∈ Ⅳ   .  

=   +   [   一(   )  1 ]<   +  

② 当 n= 1时 , c 1= l<3   4 ; 当  

若 o>1 , b>0, c>0且  >b时, 大家都 知道 

> 2时 ,   =  


通项0  =古

不等式放缩问题一般都放缩到等  

比数 列 去处理 , 但 不 知 道具 体 放 缩 到 怎样 一 个 等 比   数 列. 其 实可 以用 待 定 系 数 法 转 化 成 函数 恒 成 立 问  

c 。 + c   = l + ÷=  <   3 4 ; 当 n ≥ 3 时 , 令 c   =   ≤ A ( 丢 ) “   A ≥   , 设 函 数 , ( n ) =  
1  

题 去处理 , 即不 等 式  三_ ≤ A(   )  对 n≥ m, 且 
n  一 b  

( n∈Ⅳ , n≥ 3 ) , 易知 函数  n )为单调 减 函  

m, n∈N  匣成 立 , 令  n )=  

=  
1 一 一  

, 易知 
口 

数 , 把 凡 = 3 代 入 得   n ) 的 最 大 值 为 等 , . . . 可 取 A =  
丁 8
. . ? .

n )随  增 大 而减 小 ' . . .当 n =m 时 , 得- 厂 ( n )的最  大值 , . . . A≥  m) . 从 而 可 转 化 为 等 比数 列 问题 求  解.   .  

当   ≥ 2 时 , c   =   ≤ 等 ? (   1 ) “ ’ . . . 当  
+  

n≥   3时 ,   =c  +c :+c ,+… +C n≤ 1+  

例4   已知数列 { o   } 的前 矗项和 J s   , 满足 0   +  
S  = 1 .  

等 [ ( 号 )   + ( 吉 )   + …+   1 )   ] =   4 + 等?  
n- 2  

( 1 ) 求数列 { n   } 的通项公式;   ( 2 ) 若c  =   , 数列』 c   }   前n 项和为   ,  
.   1  
: 


< 一


+ 一

3  ’  7   L ‘  

十 

一 

\   2   ,  

J   、  3  ’  7  

2 0 1 7年第 4期 

中学数 学研 究 

? 3 1?  



 





=丁 2+   [ 1一(  ) n - 1 ]<   +   8 =_. 6  
21 。  

“ 若 a> 1 , b>0 , C > 0且 a > b时 , 不 等 式  ≤ A(   )  对  ≥ m, 且 m: n∈Ⅳ 恒 成立 ,   求 实数 A范 围” , 可 用上 面 同样 的方 法操作 求解.  

三、 函数 图像处 理数 列最 值 问题 

函数 图像 的直 观性 可 以为我 们 解决数 列 的最值 

问题 带来 很 多方便.   例6  ( 2 0 1 2年 浙江理 7 ) 设S   是公 差 为 d ( d≠  

例5   已知数列 { a   }的前 n 项和 S   , 满足 a  +  
J s  = 1 .  

( 1 )求数列{ a n } 的通项公式;  
、  

0 )的无穷等差数列{ a   } 的前 / 1 , 项和 , 则下列命题错  误 的是 (   ) .   ,   A . 若 d<0 , 则数列 { S   } 有最大项  若数列{ . s   } 有最大项 , 则 d<0   C . 若数列 { I s   }是递 增数列 , 则对任 意的 n∈  


( 2 )若 c  =   a n   数列{ c   } 的前 n 项和为   ,  


求证 :   <   6
.  

N  , 塌布 S n> 0  
D. 若对任 意的 r / ,∈ Ⅳ , 均有 S  > 0 , 则 数 列 

解: ( 1 )由 a  +S  = 1退 一位得 a   +S   =  

{ J s   }是递 增 数 列  
‘   二  

丢 , 又   解: 因 s   = 导 n   + ( 口   一   d ) n 是 关 于n 的 二 次   函数, 当d<0时, S   有最大值 , 即数列 { | s   } 有最大   a 。 :  , . . . 数 列 l   a . } 为 等 比 数 列 , . . . a n = ( 号 )   .   项 , 故 A正确 ; 若数列 { s   } 有最大项 , 即对任意的 n  
l ( n≥2 ) , 两式相 减 可得 2 口  =   ,  


a  n



篙  1 一 ( ÷ )   ^ n   ,   1   z +  
+… 十c   . 当n =1时 , c  =   <   6

∈N  , S   有 最大值, 故二次 函数 图像 的开 口要 向   下, 即d<0 , 故 B 正确 ; 若a l<0, d >0时 , 数 列  { S   } 是递增数列 , 此时S  <0 , 故 c错误 ; 对任意的  

; 当 n> 1   2时 , 令 

n ∈ N   , 均 有 S   > 0 ,  n 1 = S 1 > 0 且 导 n + 0 1 一  
>0对 于  ∈N 恒成 立 , 所 以—   >0 , 即 D 正确.  
例7   已知 。  :   二 :  


=  
n 

≤ A (  ) 寺 )  A ≥  

, 设 函 数  ) =  

n∈N ,  ≥2 ) , 易知 函数  n )为 单调 减 函  _ 二 (
数, 把 n=2 代 入得  n )的最大 值 为   , . ? .可取 A =  

则 这个 数 列 的前 3 0  
) .  

n 一 √9 9  

项 中最 大项 和最 小项 分别 是 (  

A.al , a3 0   B. a1 ) a 9   C. al 0, a9   D.al 0, a3 0  

善 . . . 当   ≥ 2 时 ’ c h =   ≤ 簧 ? (   1 )   , . . 当   解; 由函数 厂 (  )=   图像 知 , 在 区间   ≥ 2 时 ,  = c   + c   + C 3 + … + c   ≤ 了 2 +   1 6 [ ( 丢 )   (~∞ ,   9) , (   9,+ ∞ )单 调 递 减 , 且当   <  
, c一 √ 

1   3
十 
+ … +  :  + 

霎 . 绰

 

9 时 

)<1 ; 当  >   9时 

)>1 ; 故 可得 

最 大项 和最 小项 分别 a l o   a   , 即 C正确.  

例 谈 一 类 无 理 函数 的最 值 ( 值域) 问题 
江西省信丰 中学  ( 3 4 1 6 0 0 )   邱善玮 
形如 Y =口   +b   +c的 函数是 一 

类含双 平方 根 式 的 无理 函 数 , 这类 函数的最值( 值 

域)问题在高 三理科数学复 习中是一个难 点内容,   也是近几年高考命题的热 点内容. 由于这 类问题 的  


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