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数学理卷·2014届湖北省武昌区高三5月调研考试(2014.05)扫描版


武昌区 2014 届高三年级 5 月供题训练

理科数学参考答案及评分细则
一、选择题: 1.D 2.B 二、填空题: 11.2 12.甲 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B

13.

3 1 ? 4 6?

14. (Ⅰ)45; (Ⅱ)

3n ? 1 2

15.5

16. 6

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ ) f ( x) ?

3 cos2 x ? 1 1 3 1 ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 2 2 2 6

??

?
12

?x?

5? ? ? 2? ,? ? ? 2 x ? ? . 12 3 6 3

??

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 6 3 ? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 . 2 6 3 ? 1 ,最大值为 0.??????????????(6 分) 2

于是 ?

所以, f ( x) 的最小值为 ?

(Ⅱ )由 f (C ) ? 0 ,得 sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ,解得 C ?

?
3

.

由向量 m ? (1, sin A) 与向量 n ? (2, sin B) 共线,得 sin B ? 2 sin A . 由正弦定理,得 b=2a. 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2



?
3

,化简得 a ? b ? ab ? 3 .
2 2



由① ② ,解得 a=1,b=2.???????????????????????(12 分) 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)X 可能取 0,1,2,3.
1 2 3 C3 C4 18 C4 4 P( X ? 0) ? 3 ? , P( X ? 1) ? ? , 3 35 C7 35 C7 1 3 C32C4 C3 12 1 , ? P ( X ? 3 ) ? ? 3 3 35 C7 C7 35

P( X ? 2) ?

因此,X 的分布列为
X

0

1

2

3

4 18 12 1 35 35 35 35 4 18 12 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .?????????(6 分) 所以, E ( X ) ? 0 ? 35 35 35 35 7
P (Ⅱ)记 A=“甲、乙村是男生”,B=“丙村是女生”,则

P ( B | A) ?

4 ? 3? 3 3 ? . 4 ? 3? 5 5

(或 P( A) ?

4?3 4 ? 3? 3 P( BA) 3 , P( BA) ? , P( B | A) ? ? ). 7?6 7? 6?5 P( A) 5
3 . ???????(12 分) 5

所以,甲、乙两村是男生的情况下,丙村为女生的概率为

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )当 n>1 时, an ? S n ? S n?1 ? n ;当 n=1 时,求得 a1 ? S1 ? 1 . 所以 an ? n . 因为

bn 1 ? 且 b1 ? 1, bn?1 2
1 2
n ?1

所以 bn ? ( )

.??????????????????????????(6 分)

(Ⅱ )由(Ⅰ ) ,知 cn ? n ? ( )

1 2

n ?1

.

所以 Tn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ? n ? ( )
0 1

1 2

1 2

1 2

n ?1



1 1 1 1 Tn ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n , 2 2 2 2

1 1 1 1 2 1 n?1 1 n 于是 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? 2 2 2 2 2
化简,得 Tn ? 4 ? 因为

1 1? ( )n 2 ? n ? ( 1 )n , 1 2 1? 2

2n ? 4 . 2n

2n ? 4 ? 0 ,所以 Tn ? 4 . 2n n ?1 又因为 Tn ?1 ? Tn ? n ? 0 ,所以 Tn ? Tn?1 ? ? ? T1 ? 1 . 2
综上, 1 ? Tn ? 4 .??????????????????????????(12 分) 20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 AB 的中点 O,连结 PO,CO.

因为 PA=PB,所以 PO ? AB . 在 ?POC 中,求得 PO ? 1, CO ? 3 . 又 PC=2,所以 PC ? PO ? CO .
2 2 2

所以 PO ? CO . 因为 AB ? 平面 ABCD , CO ? 平面 ABCD , AB ? CO ? O ,

? PO ? 平面 ABCD . 又 PO ? 平面 PAB ,
所以平面 PAB⊥平面 ABCD. ?????????????????????(4 分) (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系.则

O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0),C(0, 3,0), P(0,0,1) ,
于是 PA ? (?1,0,?1), PB ? (1,0,?1), PC ? (0, 3,?1) . 设平面 APC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 由题意, ? z P

? ?m ? PA ? ? x ? z ? 0, ? ?m ? PC ? 3 y ? z ? 0.

取 x ? 1 ,得 m ? (1,?

3 ,?1) . 3
B x

A O C y

D

设平面 BPC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 由题意, ?

? ?n ? PB ? x1 ? z1 ? 0, ? ?n ? PC ? 3 y1 ? z1 ? 0.

取 x1 ? 1 ,得 n ? (1,

3 ,1) . 3

于是 cos ? m, n ??

4 3 1 . ? ? , sin ? m, n ?? 7 7 | m | ?| n | 4 3 . ??????????????????(12 分) 7

m?n

所以,所求二面角的正弦值为

21.(本小题满分 13 分)

?b ? 1, ? 3 ?c 解:(Ⅰ )由题意,知 ? ? 解得 a ? 2, b ? 1. , a 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? x2 ? y 2 ? 1 .??????????????????(4 分) 所以,椭圆 C 的方程为 4
(Ⅱ )由题意知,直线 l 的斜率 k 存在且不为 0.设直线 l 的方程为 y ? kx ? m (m ? 0, m ? ?1) ,

P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) .

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 消去 y ,得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4(m2 ?1) ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?4
所以, ? ? 64k 2 m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,① 且 x1 ? x2 ? ?

8km 4(m 2 ? 1) , x x ? . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

因为直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列, 所以,

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? ? ? k2 . x1 x2 x1 x2 x1 x2
2

化简,得 k ?

1 2 .代入①,解得 0 ? m ? 2 . 4

因为点 O 到直线 l 的距离 d ? 所以 S ?OPQ ?
2

|m| 1? k
2

,且 | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ,

1 1 | PQ | ?d ? | m | ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? m 2 (2 ? m 2 ) . 2 2
2

因为 0 ? m ? 2 且 m ? 1 ,所以 0 ? m2 (2 ? m2 ) ? ?(m2 ?1) 2 ? 1 ? 1 . 所以 ?OPQ 面积的取值范围为 (0,1) . ??????????????(8 分)

(Ⅲ)由(Ⅱ )知,当直线 l 过点 (1,0) 时, k ? m ? 0 . 由题意知 P?( x1 ,? y1 ) ,直线 P?Q 的方程为 y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) . x2 ? x1

令 y ? 0 ,得 x ?

y1 x2 ? y2 x1 (kx1 ? m) x2 ? (kx2 ? m) x1 ? y2 ? y1 (kx1 ? m) ? (kx2 ? m)

?

2kx1 x2 ? m( x1 ? x2 ) 4k . ?? k ( x1 ? x2 ) ? 2m m
4k ? 4. m

由 k ? m ? 0 ,得 ?

即直线 P?Q 与 x 轴交于一定点 ( 4,0) .???????????????????? (13 分)

22.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? ln(x ? 1) .

1 2x ? 1 ? ( x ? ?1) . x ?1 x ?1 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ,因此函数 f ( x) 的单调递增区间为 (? ,?? ) . 2 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? 1 ? x ? ? ,因此函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( ?1,? ) .???(4 分) 2 2 f ?( x) ? 2 ?
(Ⅱ)依题意,当 x ??0, ??? 时, f ? x ?min ? 0 .

1 ax ? a ? 1 ? ( x ? 0) . x ?1 x ?1 ax ? a ? 1 ?0. (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ?1 f ?( x) ? a ?
? f ( x) 在 [0,??) 上是减函数,此时无最小值;即 a ? 0 不可能有 f ( x) ? 0 恒成立.

(2)当 a ? 0 时, f ?( x) ?

a( x ?

1? a ) a . x ?1 a( x ? 1? a ) a ? 0 , f ? x ? 在 [0,??) 上是增函数, x ?1

1? a ? 0 ,即 a ? 1 时 f ?( x) ? ①当 a

所以, f ( x) min ? f (0) ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) min ? 0 ,不等式 f ? x ? ? 0 恒成立.

1? a ? 0 ,即 a ? 1 时, a 1? a 1? a ,?? ) 上递增;令 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 在 (0, ) 上递 令 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 在 ( a a
②当 减.

1? a 1 ) ? 1 ? a ? ln ? 1 ? a ? ln a , ? f ( x) min ? f ( a a
但此时 1 ? a ? ln a ? 0 ,不可能有 f ? x ?min ? 0 ,即不可能有 f ? x ? ? 0 恒成立. 综合上述, a 的取值范围是 a ? 1 . ?????????????????(8 分) (Ⅲ)由(Ⅱ) ,取 a ? 1 ,有 f ? x ? ? x ? ln ? x ?1? ? 0 ,得 x ? ln ? x ?1? . 取x?

1 1 ? n ?1? ,有 ? ln ? ?, n n ? n ?

?1?

1 ? 2

?

1 ?2? ?3? ? ln ? ? ? ln ? ? ? n ?1? ?2?
x ?? 1 1 ? n ?? ? ? n 2 ? ? x1 x2

? n ?1 ? ? ln ? ? ? ln ? n ? 1? . ? n ?
? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? 2
2

又由柯西不等式,有

? x1 x2 ? 2? 2? ?1 2

1 ? xn

1? ? ? . n?

即?

? x1 x2 ? 2? 2 ?1 2

1? ? 1 1? ? ? ? ? x ? ? 2 n? . ? n ? 2 ? n ? ?1 1 1? ? ? ? ? ? xn ? ? x1 x2

2

x1 , x2 ,


, xn 是互不相等的正整数,
? 1 1 ? 1? ? xn 2
? 1 1 1? ? 2 1 ? n

1 1 ? ? x1 x2
1 1 1 ? ? x1 x2

1 ? . n
.

?

1 ? xn

1? ? 1 1? ? ? ? ? x ? 1 1 2 n? ? x1 x2 ? 2? ? n ? ? ? 1? ? ? , ?? 2 2 ? n ? ?1 1 2 n 1? ?1 2 ? ? ? ? ? xn ? ? x1 x2 1 1 又由上已证 1 ? ? ? ? ln ? n ? 1? , 2 n xn x1 x2 ????????????????(14 分) ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ln ? n ? 1? . 1 2 n

2


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