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南海一中周末高二文科数学基础进阶练习01

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南海一中周末高二文科数学基础进阶练习 01(2013 年 3 月 2 日)
教师版答案
1-9、D B C A D C C B C 10、 2 11、

3

12、 1

13. (本小题满分 12 分)(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍 角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: f ( x) ? sin ?

?? ? ? x ? ? sin x ? cos x ? sin x … 1 分 ?2 ? ? ?? 2 sin ? x ? ? . 4? ?
?
… 3分

?

? 2 ? 2 2? sin x ? cos x ? ? ? 2 ? 2 ? ?
由?

?
2

? 2k ? ? x ?

?
4

?
2

? 2k ? ,

…………… 4 分

解得 ?

3? ? ? 2k ? ? x ? ? 2k ? , k ? Z. 4 4 3? ? ? 2k ? , ? 2k ? ],k ? Z. 4 4

…………… 5 分

∴ y ? f ( x) 的单调递增区间是[? (2)解:由(1)可知 f ( x) ? ∴ f (? ?

………… 6 分

2 sin( x ?

?
4

),
…………… 8 分

?
4

)?

2 sin ? ?

2 1 , 得 sin ? ? . 3 3

∴ f (2? ?

?

? ?? ) ? 2 sin ? 2? ? ? 2? 4 ?
? 2 cos 2?

…………… 9 分

…………… 10 分

?
?

2 1 ? 2 sin 2 ?
7 2 . 9

?

?

…………… 11 分

…………… 12 分

14. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识,考查数形结合、化 归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的正射影是线段 CD 的中点 E ,连接 PE , 则 PE ? 平面 ABCD . …………… 2 分 ∵ AD ? 平面 ABCD ,
1

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∴ AD ? PE . …………… 3 分 ∵ AD ? CD , CD ? PE ? E,CD ? 平面 PCD , PE ? 平面 PCD , ∴ AD ? 平面 PCD . …………… 5 分 ∵ PC ? 平面 PCD , ∴ AD ? PC . …………… 6 分 (2)解:依题意,在等腰三角形 PCD 中, PC ? PD ? 3 , DE ? EC ? 2 , 在 Rt△ PED 中, PE ?

PD2 ? DE 2 ?

5 ,…………… 7 分

P

过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F ,连接 PF , ∵ PE ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ AB ? PE . …………… 8 分 ∵ EF ? 平面 PEF , PE ? 平面 PEF , EF ? PE ? E , ∴ AB ? 平面 PEF . ∵ PF ? 平面 PEF , ∴ AB ? PF . 依题意得 EF ? AD ? 2 . 在 Rt△ PEF 中, PF ? ∴△ PAB 的面积为 S ? …………… 9 分 …………… 10 分 …………… 11 分

D F

E B

C

A

PE 2 ? EF 2 ? 3 ,

…………… 12 分

1 ?AB?PF ? 6 . 2
…………… 14 分

∴四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6 . 15. (本小题满分 14 分)

(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵ {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列, ∴ S n ? 1 ? ( S1 ? 1) ? 2 ∴ S n ? (a1 ? 1) ? 2
n ?1 n ?1

? (a1 ? 1) ? 2 n?1 .

…………… 1 分

? 1.
…………… 3 分

从而 a2 ? S 2 ? S1 ? a1 ? 1 , a3 ? S 3 ? S 2 ? 2a1 ? 2 . ∵ a 2 是 a1 和 a 3 的等比中项 ∴ (a1 ? 1) ? a1 ? (2a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?1 .
2

…………… 4 分 …………… 5 分

当 a1 ? ?1 时, S1 ? 1 ? 0 , {S n ? 1} 不是等比数列, ∴ a1 ? 1 . ∴ S n ? 2 ? 1.
n

…………… 6 分

2

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当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 ∵ a1 ? 1 符合 a n ? 2 ∴ an ? 2
n ?1 n ?1

n ?1

.

…………… 7 分

, …………… 8 分

.
n ?1

(2)解:∵ nan ? n? 2


1 2 n ?1

∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n? 2

.



…………… 9 分 …………… 10 分 …………… 11 分

2n .② 2 Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n?
① ? ②得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

? n?2n

?

1 ? 2n ? n?2n 1? 2

…………… 12 分

? ?1 ? n ??2n ? 1 .
∴ Tn ? n ? 1 ? 2 ? 1.
n

…………… 13 分 …………… 14 分

?

?

16.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合 的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解法 1:∵ f ∴可设 f
/

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ?
? ax ? x ? 5? , a ? 0 .

? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,
…………… 1 分 …………… 2 分

? x?

∴ f ( x) ? 2ax ? 5a . ∵函数 f ∴f
/

? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与直线 6x ?
? ?6 .

y ? 1 ? 0 平行,
…………… 3 分 …………… 4 分 …………… 5 分

?1?

∴ 2a ? 5a ? ?6 ,解得 a ? 2 . ∴f

? x?

? 2 x ? x ? 5? ? 2 x 2 ? 10 x .

解法 2:设 f

? x?

? ax 2 ? bx ? c ,
? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,

∵不等式 f
2

? x?

∴方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根为 0,5 .

3

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∴ c ? 0,25a ? 5b ? 0 . ∵ f /( x) ? 2ax ? b . 又函数 f



…………… 2 分

? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与直线 6x ?


y ? 1 ? 0 平行,

∴ f / 1 ? ?6 . ∴ 2a ? b ? ?6 . 由①②,解得 a ? 2 , b ? ?10 . ∴f …………… 3 分 …………… 4 分 …………… 5 分

??

? x?

? 2 x 2 ? 10 x .

(2)解:由(1)知,方程 f

? x ? ? 37 x

? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ? 0 .
…………… 6 分

设h x 则h
/

? ?
? ?

? 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ,
? 6 x 2 ? 20 x ? 2 x ? 3x ? 10 ? .
…………… 7 分

? x?

当 x ? ? 0,

? 10 ? 10 ? / ? 时, h ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减; ……… 8 分 3? ? 3?

当x ? ?

? 10 ? ? 10 ? , ?? ? 时, h/ ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增. … 9 分 ? 3 ? ? 3 ? ? 10 ? 1 ? 0,h ? 4 ? ? 5 ? 0 , ? ? ? 27 ?3?
…………… 12 分

∵ h 3 ? 1 ? 0,h ?

??

∴方程 h x

? ?

? 10 ? ? 10 ? ? 0 在区间 ? 3, ? , ? ,4 ? 内分别有唯一实数根,在区间 ? 0,3? , ? 3? ? 3 ?
…………… 13 分

? 4,?? ? 内没有实数根.
∴存在唯一的自然数 t ? 3 ,使得方程 f 有两个不等的实数根. 17. (本题满分 14 分) 解析: (1)法 1:设所求圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2 2

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t,t ? 1? 内有且只
…………… 14 分

4

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? 4 ? 2D ? F ? 0 ? 由题意可得 ? 4 ? 2 D ? F ? 0 ,解得 D ? E ? 0, F ? ?4 , ? ?1 ? 3 ? D ? 3E ? F ? 0
∴ ?ABC 的外接圆方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,即 x ? y ? 4 .-----------------6 分
2 2 2 2

法 2:线段 AC 的中点为 (?

1 3 3 , , ) ,直线 AC 的斜率为 k1 ? 2 2 3 3 1 ? ? 3( x ? ) , 2 2

∴线段 AC 的中垂线的方程为 y ? 线段 AB 的中垂线方程为 x ? 0 ,

∴ ?ABC 的外接圆圆心为 (0, 0) ,半径为 r ? 2 , ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x ? y ? 4 .-----------------6 分
2 2

法 3:? | OC |? (1 ? 0) ? ( 3 ? 0) ? 2 ,而 | OA |?| OB |? 2 ,
2 2

∴ ?ABC 的外接圆是以 O 为圆心, 2 为半径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x ? y ? 4 .-----------------6 分
2 2

法 4:直线 AC 的斜率为 k1 ?

3 ,直线 BC 的斜率为 k2 ? ? 3 , 3

∴ k1 ? k2 ? ?1 ,即 AC ? BC , ∴ ?ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x ? y ? 4 .-----------------6 分
2 2

(2)由题意可知以线段 AB 为直径的圆的方程为 x ? y ? 4 ,设点 R 的坐标为 (2, t ) ,
2 2

∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR ,----------------8 分 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ) ,-----------------10 分 m?2 m?2
n? 2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

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而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ?n ,
2 2 2 2

∴k ?

mn m ? ? ,-----------------12 分 2 ?n n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n
4 m ?n
2 2

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所 切. 以 直

?

4 ?2?r, 4
与 圆 O -----------------14 分 相

线

CD

18. (本题满分 14 分) 解析: (1) f ?( x) ?
x

xe x ? (e x ? 1) ( x ? 1)e x ? 1 , ? x2 x2
x x x

-----2 分

令 h( x) ? ( x ? 1)e ? 1 ,则 h?( x) ? e ? e ( x ? 1) ? xe , 当 x ? 0 时, h?( x) ? xe ? 0 ,∴ h( x) 是 ? 0, ?? ? 上的增函数,
x

∴ h( x) ? h(0) ? 0 , 故 数. (2) f ( x) ? 1 ?

f ?( x) ?

h( x ) ?0 x2









f ( x)



? 0, ?? ?









-----------------6 分

ex ?1 ex ? x ?1 ?1 ? , x x
, 令



x?0



g(

? x) x

? e

, ?1 x



g ?(

? x) x

? e

, 1?

0

-----------------8 分 故 g ( x) ? g (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? 1 ?

ex ? x ?1 , x

原不等式化为
x

ex ? x ?1 ? a ,即 e x ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 ,-----------------10 分 x
x

令 ? ( x) ? e ? (1 ? a) x ? 1 ,则 ? ?( x) ? e ? (1 ? a) , 由 ? ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,
x

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 .

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故当 x ? ln(1 ? a) 时,? ( x) 取最小值 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ,-----------------12 分 令 s(a) ?

a 1 1 a ? ln(1 ? a), a ? 0 ,则 s?(a) ? ? ?? ?0. 2 1? a (1 ? a) 1 ? a (1 ? a)2

故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a)ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.----------------14 分

19.解: f '( x) ?

1 ? x ? (a ? x) 1 a x ? a ? ? ? 2 ? 2 (x ?0) x x2 x x x

………………… 2 分

(1)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ?

1 , x ? 1 垂直, 2

所以 f '(1) ? -2 ,即 1 ? a ? ?2, 解得a ? 3. ……………………………………4 分 (2)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f ( x) 在[1,2]上为增函数

? f ( x) min ? f (1) ? a ? 1

………………………………………6 分

当 1 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1, 2)

? 对于 x ? (1, a ) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[1,a]上为减函数,
对于 x ? (a, 2) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[a,2]上为增函数,

? f ( x) min ? f (a ) ? ln a

…………………………………8 分

当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f ( x) 在[1,2]上为减函数,

? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ?

a ? 1 .…………………………………10 分 2

于是,①当 0 ? a ? 1 时, f ( x) min ? a ? 1 ? 0 ②当 1 ? a ? 2 时, f ( x) min ? ln a ,令 ln a ? ③当 2 ? a 时, f ( x) min 综上, a ?

1 ,得 a ? e …11 分 2 a 1 ? ln 2 ? ? 1 ? ln 2 ? …12 分 2 2

e

……………………………14 分
7


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