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第一章 集合与函数概念(学生用书)

第一章 集合与函数概念 § 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示(一)
1.体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程,了解集合的含义以及集合中元素的 特性,培养自己的抽象、概括能力. 2.掌握“属于”关系的意义,知道常用数集及其记法,初步体会集合语言和符号语言 表示数学内容的简洁性和准确性. 1.元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母表示. (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母表示. 2.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 3.集合相等:只有构成两个集合的元素是一样的,才说这两个集合是相等的. 4.元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A. (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A. 5.实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母 R、Q、Z、N、N* 或 N+来表示.

对点讲练
集合的概念 【例 1】 考查下列每组对象能否构成一个集合: (1)著名的数学家; (2)某校 2007 年在校的所有高个子同学; (3)不超过 20 的非负数; (4)方程 x2-9=0 在实数范围内的解; (5)直角坐标平面内第一象限的一些点; (6) 3的近似值的全体. 规律方法 判断指定的对象能不能形成集合, 关键在于能否找到一个明确标准, 对于任 何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、 无序性. 变式迁移 1 下列给出的对象中,能构成集合的是( ) A.高个子的人 B.很大的数 C.聪明的人 D.小于 3 的实数 集合中元素的特性 【例 2】 已知集合 A 是由 a-2,2a2+5a,12 三个元素组成的,且-3∈A,求 a. 分析 考查元素与集合的关系,体会分类讨论思想的应用.

规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考, 特别关注元素在集合 中的互异性. 分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想, 我们一定要在以后 的学习中熟练掌握. 变式迁移 2 已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,求实 数 m 的值.

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元素与集合的关系 【例 3】 若所有形如 3a+ 2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合 A,判断 6-2 2是不是集合 A 中的元素.

规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素, 就是判断这个元素是否具有这个集合 的元素的共同特征. 像此类题, 主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具 有的形式. 1 变式迁移 3 集合 A 是由形如 m+ 3n(m∈Z, n∈Z)的数构成的, 判断 是不是集合 2- 3 A 中的元素.

1.充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础. 2.两集合中的元素相同则两集合就相同,与它们元素的排列顺序无关. 3.解集合问题特别是涉及求字母的值或范围,把所得结果代入原题检验是不可缺少的 步骤.特别是互异性,最易被忽视,必须在学习中引起足够重视.

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课时作业
一、选择题 1.下列几组对象可以构成集合的是( ) A.充分接近 π 的实数的全体 B.善良的人 C.某校高一所有聪明的同学 D.某单位所有身高在 1.7 m 以上的人 2.下列四个说法中正确的个数是( ) ①集合 N 中最小数为 1;②若 a∈N,则-a ? N; ③若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2;④所有小的正数组成一个集合. A.0 B. 1 C.2 D.3 3.由 a2 ,2-a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,则实数 a 的取值可以是( ) A.1 B.-2 C.6 D.2 4.已知集合 S 的三个元素 a、b、c 是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 x y z |xyz| 5.已知 x、y、z 为非零实数,代数式 + + + 的值所组成的集合是 M,则下列 |x| |y| |z| xyz 判断正确的是( ) A.0 ? M B.2∈M C.-4 ? M D.4∈M 二、填空题 6.用“∈”或“ ? ”填空 1 1 (1) - 3______N ; (2)3.14______Q ; (3) ______Z ; (4) - ______R ; (5)1______N* ; 3 2 (6)0________N. 7.集合 A={1,2,3,5},当 x∈A 时,若 x-1 ? A,x+1 ? A,则称 x 为 A 的一个“孤立元 素”,则 A 中孤立元素的个数为________. 8.由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号). ①不超过 π 的正整数;②高一数学课本中所有的难题;③中国的大城市; ④平方后等于自身的数;⑤某校高一(2)班中考试成绩在 500 分以上的学生. 三、解答题 9.已知集合 M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若 2∈M,求 x.

10.设 P、Q 为两个非空实数集合,P 中含有 0,2,5 三个元素,Q 中含有 1,2,6 三个元素, 定义集合 P+Q 中的元素是 a+b,其中 a∈P,b∈Q,则 P+Q 中元素的个数是多少?

【探究驿站】 1 11.设 A 为实数集,且满足条件:若 a∈A,则 ∈A (a≠1). 1-a 求证:(1)若 2∈A,则 A 中必还有另外两个元素; (2)集合 A 不可能是单元素集.

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1.1.1 集合的含义与表示(二) 自主学习
1.掌握集合的表示方法,能在具体问题中选择适当的方法表示集合. 2.通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点,培养自主探究 意识和自学能力. 1.把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举 法. 2.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 例如 1.不等式 x-7<3 的解集为{x|x<10}. 2.所有偶数的集合可表示为{x∈Z|x=2k,k∈Z}。 3.方程(x+1)(x-3)=0 的所有实数根组成的集合为{-1,3}

对点讲练
用列举法表示集合 【例 1】 用列举法表示下列集合:
?x+y=2 6 ? ? ? (1)已知集合 M=?x∈N|1+x∈Z?,求 M; (2)方程组? 的解集; ? ? ? ?x-y=0 |a| b (3)由 + (a,b∈R)所确定的实数集合. a |b|

规律方法

(1)列举法表示集合,元素不重复、不计次序、不遗漏,且元素与元素之间

用“,”隔开.(2)列举法适合表示有限集,当集合中元素的个数较少时,用列举法表 示集合较为方便,而且一目了然. 变式迁移 1 用列举法表示下列集合: (1)A={x||x|≤2,x∈Z}; (2)B={x|(x-1)2(x-2)=0}; (3)M={(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*};
? 6 ? (4)已知集合 C=?1+x∈Z|x∈N?,求 C. ? ?

用描述法表示集合 【例 2】 用描述法表示下列集合: (1)所有正偶数组成的集合; (2)方程 x2+2=0 的解的集合; (3)不等式 4x-6<5 的解集; (4)函数 y=2x+3 的图象上的点集.

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规律方法 用描述法表示集合时, 要注意代表元素是什么?同时要注意代表元素所具有 的性质. 变式迁移 2 用描述法表示下列集合: (1)函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象上所有点的集合; (2)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合; (3)不等式 x-3>2 的解集.

列举法和描述法的灵活运用 【例 3】 用适当的方法表示下列集合: (1)比 5 大 3 的数; (2)方程 x2+y2-4x+6y+13=0 的解集; (3)二次函数 y=x2-10 图象上的所有点组成的集合.

规律方法 用列举法与描述法表示集合时, 一要明确集合中的元素; 二要明确元素满足 的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合. 变式迁移 3 用适当的方法表示下列集合: (1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; (2)由所有周长等于 10 cm 的三角形组成的集合; (3)从 1,2,3 这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合; ?y=x ? (4)二元二次方程组? 2 的解集. ?y=x ?

1.在用列举法表示集合时应注意以下四点: (1)元素间用“,”分隔; (2)元素不重复; (3)不考虑元素顺序; (4)对于含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法
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但是须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号. 2.使用描述法时应注意以下四点: (1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号); (2)说明该集合中元素的特征; (3)不能出现未被说明的字母; (4)用于描述的语句力求简明、确切.

课时作业
一、选择题 1.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( ) A.{x|x 是不大于 9 的非负奇数} B.{x|x≤9,x∈N} C.{x|1≤x≤9,x∈N} D.{x|0≤x≤9,x∈Z} 2.在直角坐标系内,坐标轴上的点的集合可表示为( ) A.{(x,y)|x=0,y≠0} B.{(x,y)|x≠0,y=0} C.{(x,y)|xy=0} D.{(x,y)|x=0,y=0} 3.下列语句: ①0 与{0}表示同一个集合;②由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ③方程(x-1)2(x-2)2=0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}; ④集合{x|4<x<5}可以用列举 法表示. 正确的是( ) A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上语句都不对 ? ? 6 ? ? 4.已知集合 A=?a?5-a ∈N*?,则 A 为( ) ? ? ? ? ? A.{2,3} B.{1,2,3,4} C.{1,2,3,6} D.{-1,2,3,4} 5.下列集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={(1,2)} 二、填空题 ? ?x+y=3 6.下列可以作为方程组? 的解集的是__________(填序号). ?x-y=-1 ? (1){x=1,y=2}; (2){1,2}; (3){(1,2)}; (4){(x,y)|x=1 或 y=2}; (5){(x,y)|x=1 且 y=2}; (6){(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0}. 7.已知 a∈Z,A={(x,y)|ax-y≤3}且(2,1)∈A,(1,-4)? A,则满足条件的 a 的值为 ________. 8.已知集合 M={x∈N|8-x∈N},则 M 中的元素最多有________个. 三、解答题 9.用另一种方法表示下列集合. (1){绝对值不大于 2 的整数}; (2){能被 3 整除,且小于 10 的正数}; (3){x|x=|x|,x<5 且 x∈Z}; (4){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*}; (5){-3,-1,1,3,5}. 10.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合.

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3 1 ? ? 解 ??x,y?|-1≤x≤2,-2≤y≤1,且xy≥0?.
? ?

【探究驿站】 11.对于 a,b∈N+,现规定: ? ?a+b ?a与b的奇偶性相同? a*b=? . ?a×b ?a与b的奇偶性不同? ? 集合 M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+} (1)用列举法表示 a,b 奇偶性不同时的集合 M; (2)当 a 与 b 的奇偶性相同时集合 M 中共有多少个元素?

§1.1.2

集合间的基本关系
自主学习

了解子集、真子集、空集的概念,掌握用 Venn 图表示集合的方法,通过子集理解两集 合相等的意义. 1.一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素, 我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A?B(或 B?A),读 作“A 含于 B”(或“B 包含 A”). 2.如果集合 A 是集合 B 的子集(A?B),且集合 B 是集合 A 的子集(B?A),此时,集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. 3.如果集合 A?B,但存在元素 x∈B,且 x ? A,我们称集合 A 是集合 B 的真子集,记 作 A B(或 B A). 4.不含任何元素的集合叫做空集,记作?. 5.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.

对点讲练
写出给定集合的子集 【例 1】 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题. 原集合 子集 子集的个数 ? {a} {a,b} {a,b,c} 由此猜想:含 n 个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个 数及非空真子集的个数呢? 规律方法 (1)分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来

划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏. (2)集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,有(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子 集,(2n-2)个非空真子集. 变式迁移 1 已知集合 M 满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},写出集合 M. 集合基本关系的应用 【例 2】 (1)已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A.求实数 m 的 取值范围; (2)本例(1)中,若将“B?A”改为“A?B”,其他条件不变,则实数 m 的取值范围是什 么?

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规律方法

(1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合.

(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定 数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用 空心点表示. (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,初学者 会想当然认为非空集合而丢解,因此分类讨论思想是必须的. 变式迁移 2 已知 A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx=1},若 B A,求实数 m 所构成的 集合 M.

集合相等关系的应用 【例 3】 已知集合 A={2,x,y},B={2x,2,y2}且 A=B,求 x,y 的值.

规律方法 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解. b ? ? 变式迁移 3 含有三个实数的集合可表示为?a,a,1?,也可表示为{a2,a+b,0},求 a, ? ? b.

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1. 元素、 集合间的关系用符号“∈”或“ ? ”表示, 集合、 集合间的关系用“?”、 “=” 或“ ”等表示. 2.在特定的情况下集合也可以作为元素,如集合 B={?,{0},{1},{0,1}},则此时{1} ∈B,而不能是{1} B. B. 3.解集合关系的问题时还需注意以下几个方面: (1)当 A?B 时,A=B 或 A (2)判断两个集合间的关系:①先用列举法表示两个集合再判断;②分类讨论. (3)解数集问题学会运用数轴表示集合. (4)集合与集合间的关系可用 Venn 图直观表示.

课时作业
一、选择题 1.下列命题 ①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若? A 时,则 A≠?. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使 A?B 成立的实数 a 的取值 范围是( ) A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4} C.{a|3<a<4} D .? 3.设 B={1,2},A={x|x?B},则 A 与 B 的关系是( ) A.A?B B.B?A C.A∈B D.B∈A n ? ? 4.若集合 A={x|x=n,n∈N},集合 B=?x|x=2,n∈Z?,则 A 与 B 的关系是( ) ? ? A.A B B.A B C.A=B D.A∈B 5.在以下六个写法中:①{0}∈{0,1};②? {0};③{0,-1,1}?{-1,0,1};④0∈?; ⑤Z={正整数};⑥{(0,0)}={0},其中错误写法的个数是( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 二、填空题 6.满足{0,1, A?{0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数是________. 2 7.设 M={x|x -1=0},N={x|ax-1=0},若 N?M,则 a 的值为________. 8 . 若 {x|2x - a = 0 , a ∈ N} ? {x| - 1<x<3} , 则 a 的 所 有 取 值 组 成 的 集 合 为 ________________. 三、解答题 9.设集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,求实数 a、b 的值.

10.已知集合 A={x|-2k+3<x<k-2},B={x|-k<x<k},若 A B,求实数 k 的取值范 围.
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【探究驿站】 1 n 1 p 1 11.已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= - ,n∈Z},P={x|x= + ,p∈ 6 2 3 2 6 Z},请探求集合 M、N、P 之间的关系.

1.1.3

集合的基本运算(一)

1.理解并集、交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 2.体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程,培养学生的自 学阅读能力和自主探究能力. 3.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 1.一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并 集,记作 A∪B(读作“A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 2.一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交 集,记作 A∩B(读作“A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 3.A∩A=__A__,A∪A=__A__,A∩?=__?__,A∪?=A. 4.若 A?B,则 A∩B=__A__,A∪B=__B__. 5.A∩B?A,A∩B?B,A?A∪B,A∩B?A∪B.

对点讲练
求两个集合的交集与并集 【例 1】 求下列两个集合的并集和交集. (1)A={1,2,3,4,5}, B={-1,0,1,2,3}; (2)A={x|x<-2}, B={x|x>-5}.

规律方法

求两个集合的交集、并集依据它们的定义,借用 Venn 图或结合数轴分析两

个集合的元素的分布情况,有利于准确写出交集、并集. 变式迁移 1 (1)若集合 A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则 A∪B 等于( ) A.{x|x>-2} B.{x|x>-1} C.{x|-2<x<-1} D.{x|-1<x<2} (2)若将(1)中 A 改为 A={x|x>a},求 A∪B,A∩B.

已知集合的交集、并集求参数 【例 2】 已知 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5}.
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(1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)若 A∪B=R,求 a 的取值范围.

规律方法

出现交集为空集的情形, 应首先考虑集合中有没有空集, 即分类讨论. 其次,

与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直观清晰,应重点考虑.

变式迁移 2 已知集合 A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}. (1)若 A∩B=?,试求 a 的取值范围; (2)若 A∩B={x|3<x<4},试求 a 的取值范围.

交集、并集性质的运用 【例 3】 已知集合 A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},且满足 A∪B=B,求实数 a 的取值范 围.

规律方法 明确 A∩B=B 和 A∪B=B 的含义,根据问题的需要,将 A∩B=B 和 A∪B= B 转化为等价的关系式 B?A 和 A?B 是解决本题的关键.另外在 B?A 时易忽视 B=? 时的情况.

变式迁移 3 设集合 A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值.

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1.A∪B 的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别,它们是“相 容”的.求 A∪B 时,相同的元素在集合中只出现一次. 2.A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B,这两个性质非常重要.另外,在解决有条件 A ?B 的集合问题时,不要忽视 A=?的情况.

课时作业
一、选择题 1.设集合 A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于( ) A.{x|-5≤x<1} B.{x|-5≤x≤2} C.{x|x<1} D.{x|x≤2} 2.下列四个推理: ①a∈(A∪B)?a∈A; ②a∈(A∩B)?a∈(A∪B);③A?B?A∪B=B; ④A∪B=A?A∩B=B.其中正确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.设 A={x|1≤x≤3},B={x|x<0 或 x≥2},则 A∪B 等于( ) A.{x|x<0 或 x≥1} B.{x|x<0 或 x≥3} C.{x|x<0 或 x≥2} D.{x|2≤x≤3} 4. 已知 A={x|x≤-1 或 x≥3}, B={x|a<x<4}, 若 A∪B=R, 则实数 a 的取值范围是( ) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 5.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.已知 A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则 A∩B=________. 7. 设集合 A={x|-1≤x<2}, B={x|x≤a}, 若 A∩B≠?, 则实数 a 的取值范围为________. 8.已知集合 A={x|x<1 或 x>5},B={x|a≤x≤b},且 A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6}, 则 2a-b=________. 三、解答题 9.已知集合 A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若 A∪B={1,2,3,5},求 x 及 A∩B.

10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0},若 A∪B=A,求实数 a 的取 值范围.

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【探究驿站】 11.求满足 P∪Q={1,2}的集合 P,Q 共有多少组?

1.1.3

集合的基本运算(二)
自主学习

1.理解在给定集合中一个集合的补集的含义,会求给定子集的补集. 2.能运用 Venn 图及补集知识解决有关问题. 1.一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合 为全集,通常记作 U. 2.对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对 于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集,记作?UA,即?UA={x|x∈U,且 x ? A}. 3.补集与全集的性质 (1)?UU=?;(2)?U?=U;(3)?U(?UA)=A; (4)A∪?UA=U;(5)A∩?UA=?. 4. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5}, B={1,3,5,7}, 则 A∩(?UB)={2,4}; (?UA)∩(? UB)={6}.

对点讲练
补集定义的应用 【例 1】 已知全集 U,集合 A={1,3,5,7,9},?UA={2,4,6,8},?UB={1,4,6,8,9},求集合 B.

规律方法 根据补集定义,借助 Venn 图,可直观地求出全集,此类问题,当集合中元 素个数较少时,可借助 Venn 图;当集合中元素无限时,可借助数轴,利用数轴分析法 求解. 变式迁移 1 设 U=R,A={x|a≤x≤b},?UA={x|x>4 或 x<3},求 a,b 的值.
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交、并、补的综合运算 【例 2】 已知全集 U={x|x≤4}, 集合 A={x|-2<x<3}, B={x|-3<x≤3}. 求?UA, A∩B, ?U(A∩B),(?UA)∩B.

规律方法 求解用不等式表示的数集间的集合运算时, 一般要借助于数轴, 此法的特点 是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否. 变式迁移 2 已知全集 U={x|-5≤x≤3}, A={x|-5≤x<-1}, B={x|-1≤x<1}. 求?UA, ?UB,(?UA)∩(?UB),(?UA)∪(?UB),?U(A∩B),?U(A∪B),并指出其中相等的集合.

利用集合间的关系求参数 【例 3】 (1)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x|x2-5x+q=0,x∈U},求?UA; (2)设 U={2,3,a2+2a-3},A={b,2},?UA={5},求实数 a 和 b 的值.

规律方法 符号?UA 存在的前提是 A?U,这也是解有关补集问题的一个隐含条件,充 分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口,若 x∈U,则 x∈A 和 x∈?UA 二者 必居其一,不仅如此,结合 Venn 图及全集与补集的概念,不难得到如下性质:A∪(?UA) =U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A.

变式迁移 3 已知 U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若(?UA)∩B= {2},(?UB)∩A={4},求 A∪B.

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1.补集与全集是两个密不可分的概念,同一个集合在不同的全集中补集是不同的,不 同的集合在同一个全集中的补集也不同.另外全集是一个相对概念. 2.符号?UA 存在的前提是 A?U,这也是解有关补集问题的一个隐含条件,充分利用题 目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口. 3.补集的几个性质: ?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A.

课时作业
一、选择题 1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩?NB 等于( ) A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3} 2.已知 U 为全集,集合 M、N 是 U 的子集,若 M∩N=N,则( ) A.(?UM)?(?UN) B.M?(?UN) C.(?UM)?(?UN) D.M?(?UN) 3.已知 U={x|-1≤x≤3},A={x|-1<x<3},B={x|x2-2x-3=0},C={x|-1≤x<3}, 则下列关系正确的是( ) A.?UA=B B.?UB=C C.?UA?C D.A?C 4.图中阴影部分可用集合 M、P 表示为( )

A.(M∩P)∪(M∪P) B.[(?UM)∩P]∪[M∩(?UP)] C.M∩?U(M∩P) D.P∪?U(M∩P) 5. 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪(?RB)=R, 则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤2 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 二、填空题 6.若 A={x∈Z|0<x<10},B={1,3,4},C={3,5,6,7},则?AB=______,?AC=______. ? y-3 ? =1?,N={(x,y)|y≠x+1},则 7.若全集 I={(x,y)|x,y∈R},集合 M=??x,y?| x-2 ? ? (?IM)∩(?IN)=________. 8.设全集 U={x||x|<4 且 x∈Z},S={-2,1,3},若?UP?S,则这样的集合 P 共有___个. 三、解答题 9.已知全集 U=R,集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|4x+p<0},且 B??UA,求实数 p 的取值范围.
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10.已知全集 U=R,集合 A={x|x<1,或 x>2},集合 B={x|x<-3,或 x≥1},求?RA, ?RB,A∩B,A∪B.

【探究驿站】 11.(1)若实数集 R 为全集,集合 P={x|f(x)=0},Q={x|g(x)=0},H={x|h(x)=0},则 f2?x?+g2?x? 方程 =0 的解集是( ) h?x? A.P∩Q∩(?RH) B.P∩Q C.P∩Q∩H D.P∩Q∪H (2)50 名学生中,会讲英语的有 36 人,会讲日语的有 20 人,既不会讲英语也不会讲日 语的有 8 人,则既会讲英语又会讲日语的人数为( ) A.20 B.14 C.12 D.10

§ 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念
自主学习
1.理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念 中的作用. 2.通过实例领悟构成函数的三要素;会求一些简单函数的定义域. 3.了解区间的概念,体会用区间表示数集的意义和作用. 设 A、 B 是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义 域,与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 2.函数的三要素是定义域、值域和对应关系. 3.由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对 应关系完全一致,则称这两个函数相同. 4.(1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]. (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b). (3)满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分别表示为[a, b), (a,b]. (4)实数集 R 用区间表示为(-∞,+∞). (5)把满足 x≥a.,x>a,x≤b,x<b 的实数 x 的集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(- ∞,b],(-∞,b).

对点讲练
判断对应是否为函数
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【例 1】 判断下列对应是否为函数: 2 (1)x ? ,x≠0,x∈R; (2)x ?y,这里 y2=x,x∈N,y∈R; x (3)集合 A=R,B={-1,1},对应关系 f:当 x 为有理数时,f(x)=-1;当 x 为无理数 时,f(x)=1,该对应是不是从 A 到 B 的函数? 分析函数是一种特殊的对应, 要检验给定两个变量之间是否具有函数关系, 只要检验: (1)定义域和对应关系是否给出; (2)根据给出的对应关系,自变量 x 在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函 数值 y 与之对应.

规律方法 判断函数的标准可以简记成:两个非空数集 A、B,一个对应关系 f,A 中 任一对 B 中唯一(即多对一或一对一). 变式迁移 1 判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数: 2 (1)A=R,B=R,对任意的 x∈A,x→x ; (2)A={(x,y)|x,y∈R},B=R,对任意的(x,y)∈A, (x,y)→x+y; (3)A=B=N*,对任意的 x∈A,x→|x-3|. 已知解析式求函数的定义域 【例 2】 求下列函数的定义域: -x 3 1 1 (1)y= ; (2)y= 2 ; (3)y= 2x+3- + . 2x -3x-2 1- 1-x 2-x x 分析 求函数定义域,其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围. 规律方法 求函数定义域的原则: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次根式的被开方数(式) 为非负数;(3)零指数幂的底数不等于零等. 变式迁移 2 求下列函数的定义域: 6 (1)f(x)= 2 ; (2)f(x)= 3x-1+ 1-2x+4; x -3x+2

(3)f(x)=

?x+1?0 . |x|-x

两函数相同的判定 【例 3】 下列各题中两个函数是否表示同一函数: (1)f(x)=x,g(x)=( x)2; (2)f(x)=x,g(x)= x2; 3 (3)f(t)=t,g(x)= x3; (4)f(x)= x2-4 ,g(x)=x+2. x-2

分析 要判断两个函数是否为同一函数, 关键在于看函数的两要素: 定义域和对应关系 是否相同,两者只要有一个不同,两个函数就不是同一函数.

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求函数的值域 【例 4】 (1)已知函数 f(x)=x2-2x,定义域 A={0,1,2,3},求这个函数的值域; 1 (2)求函数 f(x)= 2 ,x∈R,在 x=0,1,2 处的函数值及该函数的值域. x +1

规律方法

(1)求函数的值域问题首先必须明确两点: 一是值域的概念, 即对于定义域 A

上的函数,其值域是指集合 C={y|y=f(x),x∈A};二是函数的定义域和对应关系.对应 关系相同,而定义域不同,其值域肯定不同,如 f(x)=x2-2x,x∈[0,2]与 f(x)=x2-2x, x∈R. (2)求函数的值域没有固定的方法和模式,就目前阶段主要用观察法求值域,但函数的 图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用. 变式迁移 4 (1)函数 f(x)= x-1(x≥1)的值域为________(用区间表示); 2 (2)函数 y= (1≤x≤2)的值域为______(用区间表示). x 1.函数符号 y=f(x)是难以理解的抽象符号,它的内涵是“对于定义域中的任意 x,在 对应关系 f 的作用下即可得到 y”.在学习过程中,不容易认识到函数概念的整体性, 而将函数单一地理解成函数中的对应关系,甚至认为函数就是函数值. 2.正确理解函数的三要素,其中对应关系是函数的核心,而函数的定义域就是指能使 这个解析式有意义的所有实数的集合, 在实际问题中, 还必须考虑自变量的取值应符合 实际意义. 3.区间是某些数集的一种重要表示形式,具有简单直观的优点,因此是表示函数的定 义域、值域及不等式解集的重要工具.

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课时作业
一、选择题 1.下列集合 A,B 及对应关系不能构成函数的是( A.A=B=R,f(x)=|x| ) 1 B.A=B=R,f(x)= x D.A={x|x>0},B={1},f(x)=x0

C.A={1,2,3},B={4,5,6,7},f(x)=x+3 x2-1 f?2? 2.设 f(x)= 2 ,则 等于( ) 1? x +1 f? ?2? 3 3 A.1 B.-1 C. D.- 5 5 ?x-1?0 3.函数 y= 的定义域是( ) |x|+x A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞) 4.下列各组函数表示同一函数的是( ) 2 x -9 A.y= 与 y=x+3 B.y= x2-1 与 y=x-1 x-3 C.y=x0(x≠0)与 y=1(x≠0) D.y=2x+1,x∈Z 与 y=2x-1,x∈Z

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5.给出四个命题: ①函数就是定义域到值域的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素, 则值域也只 含有一个元素;③因 f(x)=5(x∈R),这个函数值不随 x 的变化而变化,所以 f(0)=5 也 成立;④定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定了. 以上命题正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题 6.将集合{x|2≤x≤8}表示成区间为____________. 5x 7.若 f(x)= 2 ,且 f(a)=2,则 a=________. x +1 8.函数 y=x2-2 的定义域为{-1,0,1,2},则其值域为________. 三、解答题 9.求下列函数的定义域: 5-x x2-1+ 1-x2 (1)f(x)= ; (2)y= . |x|-3 x-1

x2 10.已知函数 f(x)= . 1+x2 1? ?1?; (1)求 f(2)与 f? , f (3) 与 f 2 ? ? ?3? 1? (2)由(1)中求得结果,你能发现 f(x)与 f? ? x?有什么关系?并证明你的发现; 1? ?1? ? 1 ? (3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 010)+f? ?2?+f?3?+…+f?2 010?. 【探究驿站】 11.已知 f(x)的定义域为(0,1],求 g(x)=f(x+a)· f(x-a) (a≤0)的定义域.

第一章 § 1.2 函数及其表示

集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法(一)

自主学习
1.掌握函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法,体会三种表示方法的特点. 2.掌握函数图象的画法及解析式的求法. 表示函数的方法常用的有: (1)解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; (2)图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系; (3)列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

对点讲练
函数的表示法 【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人数 x 之间适合关系式 t= b a.x+ ,当 x=2 时,t=100;当 x=14 时,t=28,且参加此项任务的人数不能超过 20 x
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人. (1)写出函数 t 的解析式; (2)用列表法表示此函数; (3)画出函数 t 的图象; (4)根据(2)(3)分析:随着工作人数的增加,工作效率的变化情况. 解 (1)由题设条件知:当 x=2 时,t=100,

当 x=14 时,t=28,得方程组

解此方程组得 196 所以 t=x+ ,又因为 x≤20,x 为正整数, x 所以函数的定义域是{x|0<x≤20,x∈N*}. (2)x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,共取 20 个值,列表如下: x t 11 28.8 1 197 12 28.3 2 100 3 68.3 13 28.1 14 28 4 53 5 44.2 15 28.1 6 38.7 16 28.25 7 35 17 28.5 8 32.5 18 28.9 9 30.8 19 29.3 10 29.6 20 29.8

注:表中的部分数据是近似值. (3)函数 t 的图象是由 20 个点组成的一个点列. 如图所示.

(4)自变量 x 共取 1~20 之间的 20 个正整数,从表中的函数值可以看出完成任务的时 间与参加任务的人数之间的关系,一开始,完成任务的时间随着人数的增加而减少,而 当人数增加到一定的数量,完成工作的时间减少得很慢,人数在达到 7 人以后,至 14 人之间, 完成工作的时间基本上变化不大; 再增加人数, 完成工作的时间反而有所增加. 由函数的图象的变化也可以看出上面分析的结果. 可以再设想,假设工作的人数没有限制,x 再增大时,比如,x=50,100,196,392 等数值, 则完成工作的时间 t=53.92,101.96,197,392.5, 由此可见, 工作效率随着人数的增加反而 降低. 规律方法 在实际研究一个函数时, 通常是将上述三种表示法结合起来使用, 即解析式 →列表→描点,画出图象,然后再总结出函数的性质.三种方法相互兼容和补充,各有
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优缺点,在实际操作中,仍以解析法为主. 变式迁移 1 客车从甲地以 60 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半 小时,然后以 80 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经 过乙地,最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是( )

函数解析式的求法 【例 2】 求下列函数的解析式. (1)已知 f( x+4)=x+8 x,求 f(x2); (2)已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=4x-1,求 f(x). 规律方法 对于已知 f[g(x)]的表达式,求 f(x)的表达式的问题,解决这类问题的一般方 法是换元法,即设 g(x)=t,解出用 t 表示 x 的表达式,代入求得 f(x)的表达式.在用换 元法解这类题时,特别要注意正确确定中间变量 t 的取值范围. 题目中已知函数 f(x)的函数类型, 一般采用待定系数法, 如第(2)小题, 由于已知函数 f(x) 是一次函数,故可设 f(x)=a.x+b(a≠0). 变式迁移 2 (1)已知 f(2x+1)=x2+1,求 f(x)的解析式. (2)已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,求 f(x)的解析式.

1.函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法. 2.画函数图象的方法:(1)列表、描点、连线;(2)图象变换. 3.求函数解析式的方法有:换元法、配凑法、待定系数法等.

课时作业
一、选择题 1.下图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( )

2.下列表格中的 x 与 y 能构成函数的是(

)

22

1-x2 1? 3.若 f(1-2x)= 2 (x≠0),那么 f? ) ?2?等于( x A.1 B.3 C.15 D.30 4.已知 f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则( ) A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3 5.为悼念四川汶川地震中遇难同胞,在全国哀悼日第一天,某校升旗仪式中,先把国 旗匀速升至旗杆顶部, 停顿 3 秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部. 能正确反映这一过 程中, 国旗上升的高度 h(米)与升旗时间 t(秒)的函数关系的大致图象是[设国旗的起始位 置为 h=0(米)]

二、填空题 6.一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点 到 6 点不进水不出水.则一定能确定正确论断的序号是________.

7.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出. x f(x) 1 2 2 1 3 1

x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则 f[g(1)]的值为____________;当 g[f(x)]=2 时,x=__________. 三、解答题 8.(1)已知 f(2x+1)=3x-2 且 f(a.)=4,求 a.的值. (2)已知 f(x)=a.x2+bx+c,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x)的解析式.

23

§ 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法(二)
自主学习
1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题. 2.了解映射的概念及含义,会判断给定的对应关系是否是映射. 1.分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应关 系的函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各
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段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象. 2.映射的概念 设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射。 3.映射与函数 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成 函数的两个集合 A,B 必须是非空数集.

对点讲练
分段函数的求值问题 x+2 ?x≤-1?, ? ?2 【例 1】 已知函数 f(x)=?x ?-1<x<2?, ? ?2x ?x≥2?. (1)求 f[f( 3)]的值; 的值. 分析 (2)若 f(a.)=3,求 a.

本题给出的是一个分段函数,函数值的取得直接依赖于自变量 x 属于哪一个区

间,所以要对 x 的可能范围逐段进行讨论. 规律方法 对于 f(a.),究竟用分段函数中的哪一个对应关系,与 a. 所在范围有关,因此要对 a.进行讨论.由此我们可以看到: (1)分段函数的函数值要分段去求; (2)分类讨论不是随意的,它是根据解题过程中的需要而产生的.

?2x-1 ?x≥0?, 变式迁移 1 设 f(x)=? 1 ?x ?x<0?,

1

若 f(a.)>a., 则实数 a.的取值范围是________.

分段函数的图象及应用 |x|-x 【例 2】 已知函数 f(x)=1+ (-2<x≤2). 2 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 化简f?x?的解析式 → 化简f?x?的解析式 → 把f?x?表示为分段函数形式 → 画出f?x?的图象 → 求f?x?的值域 规律方法 对含有绝对值的函数, 要作出其图象, 首先应根据绝对值的意义去掉绝对值 符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.由于分段函数在定义域的不同 区间内解析式不一样,因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
?|x+1| ?x<1? ? 变式迁移 2 设函数 f(x)=? ,使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围是 ?-x+3 ?x≥1? ? ______________________. 25

映射概念及运用 【例 3】 判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射,哪些不是,为什么? (1)A={x|x 为正实数},B={y|y∈R[},f:x→y=±

x

?1, x≥0; ? (2)A=R,B={0,1},对应关系 f:x,→y=? ?0, x<0; ? 1 (3)A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y= ; x

(4)A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,64},对应关系 f:a→b= ? a ? 1?

2

规律方法 判断一个对应是不是映射,应该从两个角度去分析:(1)是否是“对于 A 中 的 每一个元素”;(2)在 B 中是否“有唯一的元素与之对应”. 一个对应是映射必须是这两个方面都具备; 一个对应对于这两点至少有一点不具备就不 是映射.说明一个对应不是映射,只需举一个反例即可. 变式迁移 3 下列对应是否是从 A 到 B 的映射,能否构成函数? 1 (1)A=R,B=R,f:x ?y= ; x+1 1 1 ? ? (2)A={a.|a.=n,n∈N+},B=?b|b=n,n∈N+?,f:a.→b= ; ? ? a (3)A= ?0, ??? ,B=R,f:x→y2=x; (4)A={x|x 是平面 M 内的矩形},B={x|x 是平面 M 内的圆},f:作矩形的外接圆.

1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函 数的定义域、值域的并集. 2.判断一个对应是不是映射,主要利用映射的定义: (1)集合 A 到 B 的映射,A、B 必须是非空集合(可以是数集,也可以是其他集合); (2)对应关系有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关 系一般是不同的; (3)与 A 中元素对应的元素构成的集合是集合 B 的子集.

课时作业
一、选择题 1.下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是( ) A.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数开方 C.A=Z,B=N*,f:a.→b=(a.+1)2
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D.A=R,B={正实数},f:A 中的数取绝对值 2. 设集合 A={x|0≤x≤6}, B={y|0≤y≤2}, 从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( 1 1 A. f:x→y= x B. f:x→y= x 2 3 1 1 C. f:x→y= x D. f:x→y= x 4 6 ?x-5 ?x≥6? ? 3.已知 f(x)=? (x∈N),那么 f(3)等于( ) ? ?f?x+2? ?x<6? A.2 B.3 C.4 D.5 2 ?x ?x ?x≥0? ?x≥0? ? ? 4.已知 f(x)=? ,g(x)=? 2 ,则当 x<0 时,f[g(x)]等于( ?x ?x<0? ? ?x<0? ? ?-x A.-x B.-x2 C.x D.x2 二、填空题 0 ?x<0? ? ? 5.已知 f(x)=?π ?x=0? ,则 f(f(f(-1)))的值是__________. ? ?x+1 ?x>0?
? ?1,x≥0 6.已知 f(x)=? ,则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是__________. ?0,x<0 ? 三、解答题 7.若[x]表示不超过 x 的最大整数,画出 y=[x] (-3≤x<3)的图象.

)

)

8.已知函数 y=f(x)的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析 式.

§ 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值(一)
自主学习
1.理解单调性的定义. 2.运用单调性的定义判断函数的单调性.
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1.定义域为 I 的函数 f(x)的增减性:

思考讨论 在增、减函数定义中,能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”? 答案 不能 2.如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? 3. 设 x1, x2∈[a, b], 如果 >0, 则 f(x)在[a, b]上是单调递增函数, 如果 x1-x2 x1-x2 <0,则 f(x)在[a,b]上是单调递减函数. 利用图象求单调区间 【例 1】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|. 分析 由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、 简单的方法, 若图象从左向右连 续上升(下降),则称函数在该区间上是单调递增(减)的.

规律方法

函数的单调区间可以是开的,也可以是闭的,也可以是半开半闭的,对于闭

区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也单调.因此,只要单调 区间端点使 f(x)有意义,都可以使单调区间包括端点.但要注意,不连续的单调区间必 须分开写,不能用“∪”符号连接它们. ax2 变式迁移 1 写出函数 f(x)= +1(a≠0)的单调区间. |x| 解

? ?ax+1 f(x)=? ? ?-ax+1

?x>0? ?x<0?
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当 a>0 时,如图①所示, ∴单调递增区间为(0,+∞),递减区间为(-∞,0). 当 a<0 时,如图②所示. ∴单调递增区间为(-∞,0),递减区间为(0,+∞).





利用定义证明函数的单调性 1 【例 2】 证明:函数 f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x 分析 式. 证明的关键是对 f(x1)-f(x2)进行变形,尽量变形成几个最简单的因式的乘积形

规律方法 证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义.其步骤为(1)取值 (注意 x1、x2 的任意性);(2)作差变形(目的是便于判断符号);(3)判断差的符号;(4)写出 结论. 1 变式迁移 2 利用单调性的定义证明函数 y=x- 在(0,+∞)上是增函数. x

函数单调性的应用 【例 3】 已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,求实数 a 的取 值范围. 分析 解答本题可先将函数解析式配方, 然后找出图象的对称轴, 再考虑对称轴与所给 区间的位置关系,利用数形结合求解.

规律方法 已知函数的单调性求参数的取值范围, 要注意数形结合思想, 采用逆向思维. 变式迁移 3 本例中,若将函数“在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减
29

区间为(-∞,4]”,则 a 为何值?

1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时,必须先确定函数 的定义域. 1 2.研究函数的单调性,必须注意无意义的特殊点,如函数 f(x)= 在(-∞,0)和(0,+ x 1 ∞)上都是减函数,但不能说函数 f(x)= 在定义域上是减函数. x 3.求单调区间的方法:(1)图象法;(2)定义法;(3)利用已知函数的单调性. 4. 用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤: 取值——作差变形——定号—— 判断. 若 f(x)>0, 则判断 f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决, 即“取值——作比变形—— 与 1 比较——判断”.

30

课时作业
一、选择题 1.下列说法中正确的有( ) ①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数;②函数 y=x2 在 R 1 1 上是增函数;③函数 y=- 在定义域上是增函数;④y= 的单调区间是(-∞,0)∪(0, x x +∞). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D .3 个 2.设(a,b),(c,d)都是函数 f(x)的单调增区间,且 x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定 3.下列函数在区间(2,+∞)上为减函数的为( ) 1 A.y=2x-7 B.y=- x C.y=-x2+4x+1 D.y=x2-4x-3 4.若函数 f(x)=x2+2(a-2)x+2 在区间[4,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤-2 B.a≥-2 C.a≥-6 D.a≤-6 5.设函数 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( ) A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) 二、填空题 1? 6.已知函数 f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足 f(x)<f ? ?2?的实数 x 的取值范围为 ________. 7.函数 f(x)=2x2-3|x|的单调递减区间是___________ . b 8.若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则函数 y=ax2+bx 在(0,+∞) x 上是单调______函数. 三、解答题 x+2 9.证明:函数 y= 在(-1,+∞)上是减函数. x+1

x+a 10.设函数 f(x)= (a>b>0),求 f(x)的单调区间,并证明 f(x)在其单调区间上的单调 x+b 性.

31

§1.3

第一章 集合与函数概念 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值(二)
自主学习

1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析,理解函数最大值、最小值的定义. 2.会利用函数的单调性求函数的最值. 1.函数的最大值、最小值的定义 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M); (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(最小值). 2.函数 f(x)=x2+2x+1 (x∈R)有最小值,无最大值.若 x∈[0,1],则 f(x)最大值为 4, 最小值为 1. 1 3.函数 f(x)= 在定义域上无最值.(填“有”或“无”) x

对点讲练
利用单调性求函数最值 x2+2x+3 【例 1】 已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)), x (1)求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围. 分析 求最值问题往往依赖于函数的单调性,由于这个函数并不是我们所熟悉的函数, 可考虑先判断一下单调性,再求最值.

规律方法

运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法, 特别是当函数图象不好作

或作不出来时,单调性几乎成为首选方法.另外 f(x)>a 恒成立,等价于 f(x)min>a,f(x)<a 恒成立,等价于 f(x)max<a. x 变式迁移 1 求函数 f(x)= 在区间[2,5]上的最大值与最小值;若 f(x)<a 在[2,5]上恒成 x-1 立,求 a 的取值范围.

32

闭区间上二次函数的最值问题 【例 2】 函数 f(x)=x2-4x-4 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值. 分析 系. 本题需要先求 f(x)的最小值,关键是分析其对称轴 x=2 与区间[t,t+1]的位置关

变式迁移 2 求 f(x)=x2-2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小值.

1.求函数的最值,若能作出函数的图象,由最值的几何意义不难得出. 2.运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法,特别是函数图象作不出来时,单调 性几乎成为首选方法.
33

3.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y=f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求 解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.

课时作业
一、选择题 1.函数 f(x)=2x2-6x+1 在区间[-1,1]上的最小值为( ) 7 11 A.9 B.-3 C. D. 4 4 2.函数 f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值,最小值分别为(

)

A.f(2),f(-2)

1? B.f? ?2?,f(-1)

1? ? 3? C.f? ?2?,f?-2?

1? D.f? ?2?,f(0)

?2x+6, x∈[1,2], ? 3.函数 f(x)=? 则 f(x)的最大值与最小值分别为( ) ?x+7, x∈[-1,1? ? A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对 1 4.函数 f(x)= 的最大值是( ) 1-x?1-x? 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3 5.函数 y=|x-3|-|x+1|的( ) A.最小值是 0,最大值是 4 B.最小值是-4,最大值是 0 C.最小值是-4,最大值是 4 D.没有最大值也没有最小值 二、填空题 6.函数 y=-x2+6x+9 在区间[a,b](a<b<3)有最大值 9,最小值-7,则 a=________, b=__________. 7 .已知 f(x) = x2 + 2(a - 1)x + 2 在区间 [1,5] 上的最小值为 f(5) ,则 a 的取值范围为 ________. ? ?b,a≥b 8.若定义运算 a⊙b=? ,则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域是________. ?a,a<b ? 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

x2+2x+a 10.已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x

34

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

§ 1.3

第一章 集合与函数概念 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性(一)
自主学习

1.掌握函数的奇偶性的定义和判断方法. 2.理解奇函数和偶函数的图象的特点. 1.阅读课本内容填写下表: 奇函数 f(x) 定义域 的特点 图象特点 解析式的特点 关于原点对称 关于原点成中心对称 图形 f(-x)=-f(x) 偶函数 g(x) 关于原点对称 关于 y 轴成轴对称 图形 f(-x)=f(x)

2.(1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)等于 0. (2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数?举例说明. f(x)=0,x∈[-1,1].

对点讲练
函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性: 2x2+2x (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)= ; x+1 (3)f(x)= 1-x2+ x2-1; 规律方法 4-x2 (4)f(x)= . |x+2|-2

(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为: ①先求定义域,考查定义域是否关于原点对称; ②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简,再找 f(-x)与 f(x) 的关系;判断函数奇偶性可用的变形形式:若 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)为奇函数;若 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)为偶函数.

(2)奇(偶)函数的性质 ①f(x)为奇函数,定义域为 D,若 0∈D,则必有 f(0)=0; ②在同一个关于原点对称的定义域上,奇函数+奇函数=奇函数; 偶函数+偶函数=偶函数; 奇函数×奇函数=偶函数; 偶函数×偶函数=偶函数. 变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x2-|x|; (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)= x-1+ 1-x.

35

分段函数奇偶性的证明 ?x2+2x+3 ?x<0? ? 【例 2】 已知函数 f(x)=? 2 ,判断 f(x)的奇偶性. ? ?-x +2x-3 ?x>0?

规律方法

(1)对于分段函数奇偶性的判断,须特别注意 x 与-x 所满足的对应关系,如

x>0 时,f(x)满足 f(x)=-x2+2x-3,-x<0 满足的不再是 f(x)=-x2+2x-3,而是 f(x) =x2+2x+3. (2)要对定义域内的自变量都要考察,如本例分为两种情况,如果本例只有(1)就说 f(- x)=-f(x),从而判断它是奇函数是错误的、不完整的. (3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断. x-1 ?x>0? ? ? 变式迁移 2 判断函数 f(x)=?0 ?x=0? ? ?x+1 ?x<0? 的奇偶性.

抽象函数奇偶性的判断 【例 3】 已知函数 f(x),x∈R,若对任意实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x) 为奇函数.

规律方法

抽象函数奇偶性的判定是根据定义,即寻求 f(x)与 f(-x)的关系,需根据这

样的目标,认真分析函数所满足的条件式的结构特征,灵活赋值. 变式迁移 3 函数 f(x), x∈R, 且 f(x)不恒为 0.若对于任意实数 x1, x2, 都有 f(x1+x2)+f(x1 -x2)=2f(x1)· f(x2).求证:f(x)为偶函数.

36

1.在奇函数与偶函数的定义域中,都要求 x∈D,-x∈D,这就是说,一个函数不论是 奇函数还是偶函数, 它的定义域都一定关于坐标原点对称. 如果一个函数的定义域关于 坐标原点不对称,那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件. 2.解题中可以灵活运用 f(x)± f(-x)=0 对奇偶性作出判断. 3.奇函数 f(x)若在 x=0 处有意义,则必有 f(0)=0.

课时作业
一、选择题 1 (x≠0),则这个函数( ) x2 A.是奇函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 2.奇函数 y=f(x) (x∈R)的图象必过点( ) 1.已知函数 f(x)= A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a)) C.(-a,-f(a)) ) D.2

?1?? D.? a , f ? ?a??

3.函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a 等于( A.-2 B.-1 C.1 4.

如图是一个由集合 A 到集合 B 的映射,这个映射表示的是( ) A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 2 5.若 f(x)=ax +bx+c (a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 二、填空题 6.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 a=________, b=________. 7.下列四个结论:①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点; ③既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0 (x∈R);④偶函数的图象关于 y 轴对 称,其中正确的命题有________个. 8.已知 f(x)=ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=__________. 三、解答题 9.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 2x-1+ 1-2x; (2)f(x)=x4+x; x +2 ?x>0? ? ? (3)f(x)=?0 ?x=0? ? ?-x2-2 ?x<0?
2



x3-x2 (4)f(x)= . x-1

37

第一章 § 1.3

集合与函数概念 1.3.2 奇偶性(二)

函数的基本性质
自主学习

1.巩固函数奇偶性的性质,并能熟练应用. 2.能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题. 1.定义在 R 上的奇函数,必有 f(0)=0. 2.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值 M,则 f(x)在[-b,-a]上是增函数, 且有最小值-M. 3.若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 4.下列论断正确的为________(填序号). (1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称; (3)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数为偶函数. 答案 (2)(4) 5 .函数 f(x) = |x| 的奇偶性为 ________ ,单调递增区间为 ________ ,单调递减区间为 __________. 答案 偶函数 [0,+∞) (-∞,0] 6.函数 f(x)=x|x|的奇偶性为__________,单调递增区间为____________. 答案 奇函数 (-∞,+∞)

对点讲练
奇、偶函数的图象的性质 【例 1】 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示, 则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

分析 利用奇函数图象的性质,画出函数在[-5,0]上的图象,直接从图象中读出信息.

38

规律方法

利用函数的奇偶性作图, 其依据是奇函数图象关于原点对称, 偶函数图象关

于 y 轴对称,画图象时,一般先找出一些关键点的对称点,然后连点成线.

变式迁移 1 已知 y=f(x)和 y=g(x)都是定义在[-π,π]上的函数,y=f(x)是偶函数,y= f?x? g(x)是奇函数,x∈[0,π]上的图象如图所示, 则不等式 <0 的解集为______________. g?x? 利用奇偶性求函数解析式 【例 2】 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2+3x-1,求 f(x)的解析 式.

规律方法

(1)在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间里.

(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性把 f(-x)写成-f(x)或 f(x),从而解出 f(x). 变式迁移 2 已知 f(x)是偶函数,且当 x∈[-1,0]时,f(x)=x+1,试求函数 f(x)在 x∈[- 1,1]上的表达式.

函数奇偶性与单调性的综合运用 【例 3】 设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0, 求实数 m 的取值范围.

39

规律方法 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件, 把已知不等式转化成 f(x1)>f(x2) 或 f(x1)<f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数的单调性相反, 列出不等式或不等式组,同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响. 变式迁移 3 设定义在[-2,2]上的偶函数 g(x), 当 x≥0 时, g(x)单调递减, 若 g(1-m)<g(m) 成立,求 m 的取值范围.

奇偶函数的主要性质 1.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,故可直接根据函数图象 的对称性来判断函数的奇偶性.画函数图象时首先判断奇偶性,作图比较方便. 2.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即 f(0)有意义,那么一定 有 f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨 论. 3.具有奇偶性的函数的单调性的特点: (1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性. (2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性.

40

课时作业
一、选择题 1.对于定义在 R 上的任何奇函数 f(x)都有( ) A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)· [-f(-x)]≤0 D.f(x)· [-f(-x)]≥0 2 3-x 2.函数 f(x)= 的图象关于( ) x A.x 轴对称 B.原点对称 C.y 轴对称 D.直线 y=x 对称 3.若奇函数 f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值 0,则它在[-3,-1]上( ) A.是减函数,有最小值 0 B.是增函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0 D.是增函数,有最大值 0 4.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π), f(-3)的大小关系是( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 1? 5.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值范围 是( ) 1 2 1 2? 1 2? 1 2? ? A.? B.? C.? D.? ?3,3? ?3,3? ?2,3? ?2,3? 二、填空题 x+m 6.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)= 2 ,则常数 m、n 的值分别为________. x +nx+1 3? 2 7.若 f(x)是偶函数,其定义域为 R 且在[0,+∞)上是减函数,则 f? ?-4?与 f(a -a+1) 的大小关系是________. 三、解答题 8.已知函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x)=x2-x+2,求 f(x),g(x)的解析 式.

41

ax+b ?1?=2. 9.函数 f(x)= 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f ?2? 5 1+x (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t-1)+f(t)<0.

42


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