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第3讲 函数与方程思想、数形结合思想


第三讲 函数与方程思想、数形结合思想

真题试做?——————————————————— 1.(2013· 高考浙江卷)已知 α∈R,sin α +2cos α = 4 A. 3 3 B. 4 10 ,则 tan 2α =( 2 )

3 4 C.- D.- 4 3 2.(2013· 高考浙江卷)

已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 该函数的图象是( )

3.(2012· 高考浙江卷)设 a>0,b>0,( ) A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b 4.(2013· 高考四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么, 不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 思想诠释?——————————————————— 1.函数与方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的 非数学特征, 用联系和变化的观点提出 抽象其数学特征, 建立各变 函数思 数学对象, 想 量之间固有的函数关系,通过函数形 式, 利用函数的有关性质, 使问题得到 解决.

函数与方程思想在 一定的条件下是可 以相互转化的,是 相辅相成的,函数 思想重在对问题进 行动态的研究,方

方程思 想

程思想则是在动中 方程思想的实质就是将所求的量设成 求静,研究运动中 未知数, 根据题中的等量关系, 列方程 的等量关系 (组), 通过解方程(组)或对方程(组)进行 研究, 以求得问题的解决. 如 1 题解题 思想

2.数形结合思想 借助形的生动性和直观性来阐述数 以形助数 形之间的关系, 把形转化为数, 即以 (数题形解) 形作为手段, 数作为目的的解决数学 问题的数学思想.如 4 题解题思想 借助于数的精确性和规范性及严密 以数辅形 性来阐明形的某些属性, 即以数作为 (形题数解) 手段, 形作为目的的解决问题的数学 思想.如 2 题的解题思想

数形结合思想通过“以形助数, 以数 辅形”, 使复杂问题简单化, 抽象问 题具体化, 能够变抽象思维为形象思 维, 有助于把握数学问题的本质, 它 是数学的规律性与灵活性的有机结 合

典例示范?——————————————————— 类型一 利用函数与方程思想解决方程、 不等式问题 (2013· 高考天津卷节选)已知函数 f(x)=x2ln x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,存在唯一的 s,使 t=f(s). 【思路点拨】 (1)利用导数解不等式,即可得到单调区间. (2)构造函数通过函数的单调性证明方程只有唯一解.

(1)本题第(2)问证明的关键是构造函数 h(x)=f(x)-t,利用第(1)问的结论, 判断函数值的符号,从而问题可以证明. (2)解决一些不等式恒成立问题,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函 数的图象和性质解决问题. 同时要注意在一个含多个变量的数学问题中, 需要确定合适的变 量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.一般地,已知存在范围的量为变量,而待 求范围的量为参数. 强化训练 1 已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有的实数 m,不等式 x2 +mx+4>2m+4x 恒成立,求 x 的取值范围.

类型二 利用函数与方程思想解决数列问题 (2013· 浙江省各校新高考研究联盟第一次联考)已知等比数列{an}满足 an+1+an= n-1 * 9· 2 ,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N*恒成立,求实数 k 的 取值范围. 【思路点拨】 (1)由 n=1,2 得出两特殊等式,可求得 a1 和 q,问题即可解决;(2)由 (1)可求出 Sn,进而求出 k 与 n 的不等关系,构造关于 n 的函数,利用函数性质求解.

(1)数列一般包含着多个基本量, 如首项、 公差(公比)、 项数、 前 n 项和等. 在 知道一些量求其他未知量时,通常用方程的思想考虑. (2)数列的通项公式、前 n 项和公式是特殊的函数,对于数列的最值问题往往需要构造 函数,利用函数的单调性来解决最值问题,这也是函数思想在数列中的具体应用. 强化训练 2 (1)(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+ 10a1,a5=9,则 a1=( ) 1 1 A. B.- 3 3 1 1 C. D.- 9 9 1?x (2)已知函数 f(x)=? ) ?3? ,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,则 an 的最小值为( A.-1 B.1 2 2 C. D.- 3 3 类型三 利用数形结合讨论方程的解 (2013· 高考天津卷)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】 将函数零点视为两个函数图象的交点,分别画出函数图象,利用数形结 合求解.

用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂 方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个 熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中 作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数. ?x2+bx+c,x≤0, ? 强化训练 3 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x ? x>0. ?2, 的方程 y=x 的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 类型四 运用数形结合思想求解参数的范围 及最值问题 (1)(2013· 高考重庆卷)设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点, Q 是直线 x=-3 上 的动点,则|PQ|的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 ?x2+4x,x≥0 ? (2)(2013· 梅州模拟)已知函数 f(x)=? ,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范 2 ?4x-x ,x<0 ? 围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

【思路点拨】 (1)求|PQ|的最小值,转化为求圆心到直线的距离. (2)作函数 f(x)的图象,结合图象进行求解.

(1)数形结合的基本思路是:根据数的结构特征,构造出与之相应的几何 图形,并利用图形的特性和规律,解决数的问题;或将图形信息全部转化为代数信息,使解 决形的问题转化为数量关系的讨论. (2)在解含有参数的不等式时,由于涉及到参数,往往需要讨论,导致演算过程繁琐冗 长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会被快速解决. 强化训练 4 设 x0 是函数 f(x)=a|x|-logb|x|的一个零点,其中 0<a<1,b>1,则有( ) A.x0∈(-1,1) B.x0∈(0,b) C.x0∈(-b,-1)∪(1,b) D.x0∈(-b,-1)∪(0,1) 方法感悟?——————————————————— 1.函数与方程思想在高考试题中主要以六个方面思考和切入 (1)构造等式关系,从函数或方程角度,选择主从变量,直接找到函数性质或利用二次 方程探求出函数性质,再利用函数性质和图象解题;(2)函数与不等式也可以相互转化,对 于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x)>0,借助于函数图象与性质可以解决;(3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数 n 的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要; (4)函数 f(x)=(ax+b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数,结合赋值法和比 较系数法可以解决很多二项式定理的问题;(5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲 线的位置关系问题, 需要通过解二元方程组才能解决, 涉及二次方程与二次函数的有关理论; (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式 的方法加以解决. 2.数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 (1)集合的运算及 Venn 图;(2)函数及其图象;(3)数列通项及求和公式的函数特征及函 数图象;(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线;(5)对于研究距离、角或面积的问题,可直接 从几何图形入手进行求解即可;(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数 的图象求解(函数的零点、顶点是关键点),做好知识的迁移与综合运用. 3.运用以上两种数学思想解题时的注意事项 (1)运用函数思想时注意函数的定义域;(2)运用方程思想时注意方程解的合理性;(3)在 解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的, 不可使用形的直观代替相关的计算和推 理论证.

体验真题· 感悟思想_ 5 1. 【解析】选 C.把条件中的式子两边平方,得 sin2α +4sin α cos α +4cos2α = ,即 2 3 3 3cos2α +4sin α cos α = ,所以 3cos2α +4sin α cos α = (sin2α +cos2α ),即 3tan2α - 2 2 2tan α 1 3 8tan α -3=0,解得 tan α =3 或 tan α =- ,所以 tan 2α = 2 =- . 3 4 1-tan α 2. 【解析】选 B.从导函数的图象可以看出,导函数值先增大后减小,x=0 时最大,所 以函数 f(x)的图象的变化率也先增大后减小,在 x=0 时变化率最大.A 项,在 x=0 时变化 率最小,故错误;C 项,变化率是越来越大的,故错误;D 项,变化率是越来越小的,故错 误.B 项正确. 3. 【解析】 选 A.当 0<a≤b 时, 显然 2a≤2b, 2a≤2b<3b, ∴2a+2a<2b+3b, 即 2a+2a≠2b a b +3b 成立. ∴它的逆否命题: 若 2 +2a=2 +3b, 则 a>b 成立, 故 A 正确, B 错误. 当 0<a≤b 时, ∴由 2a≤2b,2a<3b,知 2a-2a 与 2b-3b 的大小关系不确定,∴C 不正确,同理 D 不 正确. 4. 【解析】

设 x<0,则-x>0. ∵当 x≥0 时,f(x)=x2-4x, ∴f(-x)=(-x)2-4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)=x2+4x(x<0), ?x2-4x,x≥0, ? ∴f(x)=? 2 ? ?x +4x,x<0. ?x2-4x=5 ? ?x2+4x=5, ? 由 f(x)=5 得? 或? ?x≥0 ?x<0, ? ? ∴x=5 或 x=-5. 观察图象可知由 f(x)<5,得-5<x<5. ∴由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,∴-7<x<3. ∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}. 【答案】{x|-7<x<3} _典例展示· 解密高考_ 【例 1】 【解】(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令 f′(x)=0,得 x= 1 . e

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 ?0, 1 ? ? 1 ,+∞? x e? e ? ? e ? 0 f′(x) - + f(x) ↘? 极小值 ↗? 1 1 所以函数 f(x)的单调递减区间是?0, ?,单调递增区间是? ,+∞?. e? ? ? e ? (2)证明:当 0<x≤1 时,f(x)≤0.

t>0,令 h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞). 由(1)知,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增. h(1)=-t<0,h(et)=e2tln et-t=t(e2t-1)>0. 故存在唯一的 s∈(1,+∞),使得 t=f(s)成立. [强化训练 1]【解】∵t∈[ 2,8], 1 1 ∴f(t)∈[ ,3],从而 m∈[ ,3]. 2 2 原题可转化为 m(x-2)+(x-2)2>0 恒成立. 当 x=2 时,不等式不成立,∴x≠2. 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2 为 m 的一次函数. 1 问题转化为 g(m)在 m∈[ ,3]上恒大于 0. 2 1 ? ?g( )>0, ∴? 2 解得 x>2 或 x<-1.

? ?g(3)>0,

故 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞). 【例 2】 【解】(1)设等比数列{an}的公比为 q, - ∵an+1+an=9· 2n 1,n∈N*, ∴a2+a1=9,a3+a2=18, a3+a2 18 ∴q= = =2, a2+a1 9 ∴2a1+a1=9,∴a1=3. - ∴an=3· 2n 1,n∈N*. a1(1-qn) 3(1-2n) (2)由(1)知,Sn= = =3(2n-1), 1-q 1-2 1 - ∴3(2n-1)>k· 3· 2n 1-2,∴k<2- - . 3·2n 1 1 令 f(n)=2- - ,则 f(n)随 n 的增大而增大, 3·2n 1 1 5 5 ∴f(n)min=f(1)=2- = ,∴k< . 3 3 3 5 ∴实数 k 的取值范围为(-∞, ). 3 [强化训练 2]【解析】(1)选 C.设公比为 q,∵S3=a2+10a1,a5=9, ?a1+a2+a3=a2+10a1, ? ?a1q2=9a1, ? ∴? 4 ∴? 4 ?a1q =9, ?a1q =9, ? ? 1 解得 a1= ,故选 C. 9 1 (2)选 D.由题设,得 a1=f(1)-c= -c; 3 2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- ; 9 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- . 27 又数列{an}是等比数列, 2 2 1 2 - ? =? -c?×?- ?,∴c=1. ∴? ? 9? ?3 ? ? 27? a3 1 又∵公比 q= = , a2 3 1?n 2?1?n-1 * 所以 an=- ?3? =-2? ?3? ,n∈N . 3 因此,数列{an}是递增数列,

2 ∴n=1 时,an 有最小值 a1=- . 3 【例 3】

【解析】令 f(x)=2x|log0.5x|-1=0, 1?x 可得|log0.5x|=? ?2? . 1?x 设 g(x)=|log0.5x|,h(x)=? ?2? ,在同一坐标系下分别画出函数 g(x),h(x)的图象,可以发 现两个函数图象一定有 2 个交点,因此函数 f(x)有 2 个零点. 【答案】B [强化训练 3]【解析】选 C.

? ?f(-4)=f(0) ? ? ?f(-2)=-2 ? ? ? ?16-4b+c=c ?b=4, ? ?? ?4-2b+c=-2 ? ?c=2. ? 2 ? x + 4 x + 2 ,x≤0, ? ∴f(x)=? 这个函数的图象如图所示: ? x>0. ?2,

可知直线 y=x 与 f(x)的图象有三个交点,故选 C. 【例 4】 【解析】(1)如图,圆心 M(3,-1)与定直线 x=-3 的最短距离为|MQ|=3-(- 3)=6,又圆的半径为 2,故所求最短距离为 6-2=4.

(2)

?x2+4x,x≥0 ? 作出 f(x)=? 的图象,如右图实线部分,由图象可知 f(x)在定义域内是增函 2 ? ?4x-x ,x<0 数. 于是,由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a?-2<a<1,故选择 C. 【答案】(1)B (2)C [强化训练 4]【解析】选 C.f(x)的零点即两个函数 y=a|x|,y=logb|x|的图象的交点,画出 图象简图,可知答案为 C.


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