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第2讲-定义域、值域及解析式


高一数学

第二讲
姓名:

定义域与值域及解析式
学校: 年级:

【知识要点】
1.求函数的定义域 (1)当 f ( x) 是分式时,定义域是使分母不等于 0 的 x (2)当 f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负值的 x 取值的集合 (3)当 f ( x) 是零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数非零或大于 0 的 x 取值范围 (4)当 f ( x) 是对数式时,定义域是使真数大于 0 的 x 取值的集合 (5)正切函数 y ? tan x 的定义域是{ x | x ? k? ? { x | x ≠kπ ,k∈Z} 2.求函数的值域 求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等. 3、判断两个函数是否同一个函数 定义域和对应关系“为 y 是 x 的函数”的两个基本条件,缺一步可,只有当两个函数的定义 域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函数 4、求函数的解析式 求函数的常用方法有换元法、配变量法、解方程组法

?
2

, k ? Z };余切函数 y ? cot x 的定义域是

【典型例题】
例 1、判断以下各组函数中,哪些表示同一函数?

(1). f ( x) ?| x |, g ( x) ? x 2 (2). f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 2 x2 ?1 (3). f ( x) ? , g ( x) ? x ? 1 x ?1 x ? 1, x ? 0 (4). f ( x) ? , g ( x) ? ? x ??1, x ? 0
例 2、函数 f ( x) ? 3x ? x 2 的定义域为( ) 3 A.[0,2 ] B.[0,3] C.[ ? 3,0]
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1

D. (0,3)
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高一数学 例 3、已知 f ( x ? 2) 的定义域为[-2,3) ,求 f (4 x ? 3) 的定义域

例 4、已知函数 y= f ( x) 的定义域是 1≤x≤2,求 y= f ( x ? ) + f ( x ? ) 的定义域

1 4

1 4

例 5、已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,分别求它在下列区间上的值域。
2

( 1) x ? R

(2) x ? [0, ??) ;

(3) x ? [?2, 2] ;

(4) x ? [1, 2]

例 6、函数 y= x + 1 ? 2 x 的值域

例 7、若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x)

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2

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高一数学 例 8、 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? 4 x ,求 f ( x) 的解析式.

1 x

例 9、已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) -2 f ( x ? 1) =2x+17,求 f ( x)

【经典练习】
1、下列各组函数表示同一函数的是( )

A、f ( x) ?

x2 ?1 与g ( x) ? x ? 1 x ?1

B、f ( x) ? ? 2 x 3 与g ( x) ? x ? 2 x C、f ( x) ? x与g ( x) ? ( x ) 2 D、f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1与g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1
2、求下列函数的定义域 ( 1) f ( x ) ?

1 x?2
x ?1 ? 1 2? x

(2) f ( x) ? 3x ? 2 (4) y ?

( 3) f ( x ) ?

1 1? 1 x ?1

(3)y=

1 ? 4 ? x2 | x | ?1

(4) y ? 1 ?

x ?3 ? 3? x

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3

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高一数学 3、已知 f ( x) 的定义域是[0,5],求 f ( x ? 1) 的定义域

4、已知函数 y ? f ( x) )的定义域是 0≤x≤4,求 y ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 的定义域

5、求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在下面给定闭区间上的值域: (1) ? ??, ??? (2)[-4,1]; (3)[-2,1]; (4)[0,1].

6、求函数 y ? x ? x ?1 的值域

1 1 7、已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) 的解析式 x x

8、已知 f ( x) 是一次函数,且 f ? f ( x)? =4x-1,求 f ( x) 的解析式

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【课后作业】
1、已知 f ( x ? 1) 的定义域是[0,5],求 f ( x) 的定义域

2、若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[-2,3],求 y ? f (2 x ?1) 的定义域

3、求二次函数 (1) ? ??, ???

f ( x) ? x 2 ? 3x ? 6 在下列区间的值域
(2) ? ?2,3? (3) ? 4,6?

3x 2 ? 1 4、求函数 y ? 2 的值域 x ?2

5、已知的 f ( x) 值域为[ ,

3 4 ] ,求函数 g ( x) ? f ( x) + 1 ? 2 f ( x) 的值域. 8 9

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5

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高一数学 6、已知 2 f ( x) ? f ? ? ? 3x ,求 f ( x) 的解析式

?1? ? x?

2 7、已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ,求 f ( x) 。

2 ? x ,x ? 0 x )? 2 x ? 1 ,gx ( )? 8、已知函数 f( ,求 f( gx () ) 和 gf (( x ) )的解析式。 ? ? 1 ,x ? 0 ?

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