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高中数学奥林匹克竞赛训练题(30)


数学奥林匹克高中训练题(30) 第一试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) b 是由 1998 个 8 组成的 1998 位数, 1. (训练题37) a 是由 1998 个 9 组成的 1998 位数, 则a ?b 的各位数字之和为(C). (A) 19980 (B) 19971 (C) 17982 (D) 17991 2.(训练题37)已知 x ? (0,2? ) ,则方程 3ctg 2 x ? 8ctgx ? 3 ? 0 的所有根的和为(C). (A) 3? (B) 4? (C) 5? (D) 6? 3. (训练题37)已知三个正数 a 、b 、c 之和为10, 如果它们之中没有一个大于其余数的 2 倍, 那么 abc 的最小值是(B). (A) 32 4.(训练题37)已知 x n ? 位数字为(B). (A) 1 (B) 31 1 4 (C) 27 7 9 (D) 7 13 16 1 [( 2 ? 3 ) n ? (2 ? 3 ) n ] (n ? N ) , xn 为正整数,则 x19981999 的个 2 (B) 2 (C) 6 (D) 7 A B C lg tg , lg tg , lg tg 成等差数列, 5. (训练题37)已知 ?ABC 中, 则 ? B 的取值范围是(B). 2 2 2 ? ? ? 2? ? ?B ? (A) 0 ? ?B ? (B) 0 ? ?B ? (C) 6 3 3 3 2? ? ?B ? ? (D) 3 6.(训练题37)一只小球放入一长方形容器内,且与共点的三个面相接触,小球上有一点到 这三个面的距离分别是 3cm , 3cm , 6cm ,则这只小球的半径(D). (A)只为 3cm (B)只为 6cm (C)只为 9cm (D)以上说法不 对 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题37)已知 1998 | 1999 ! ,则正整数 n 的最大值为 n 55 . 2 . ( 训练题 37) 已知 ? O0 是正 ?ABC 的内切圆, ? O1 与 ? O0 外切且与 ?ABC 的两边相 切,…, ? On?1 与 ? On 外切且与 ?ABC 两边相切 (n ? N ) .那么,在 ?ABC 内所有这些可 能 的 圆 ( 包 括 ? O0 , ? On (n ? N ) ) 的 面 积 之 和 与 ?A B C的 面 积 之 比 为 11? 24 3 . 3.(训练题37) P 是边长为 2 的正 ?ABC 所在平面上的一动点, 且 PA ? PB ? PC ? 16 , 2 2 2 则动点 P 的轨迹为 以正 ?ABC 的中心为圆心,2为半径的圆 . 4.(训练题37)已知方程 x ? 8 y ? 8 z ? n(n ? N ) 有 666 组正整数解 ( x, y, z ) .那么 n 的最大 值是 304 . 5.(训练题37)已知正四面体 ABCD 的六条棱的长分别为 4cm , 7cm , 20cm , 22cm , 28cm , xcm 。则 [ x ] 的最小值为 8 . 6. (训练题37)已知对于每一个实数 x 和 y , 函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? xy . 若 f (1) ? m ,则满足 f (n) ? 1998的正整数对 (m, n) 共有 16 个. 三、(训练题37)(本题满分20分)已知不等式组 求 a 的取值范围?( 1 ? a ?

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