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重庆万州二中2016-2017学年高一上学期期中考试试题 数学 Word版含答案


重庆市万州第二中学高一上期质量检测 数学试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.若全集 U ? {?2, ?1,0,1, 2} , A ? {x ? Z | x ? 3} ,则 CU A ? (
2

) D. {?2, ?1, 0, 2}

A. {?2, 2} 2.下列函数中,与函数 y ? A. y ? x ?2x

B. {?2, 0, 2}

C. {?2, ?1, 2} ) C. y ? x )
2

?2 x3 相同的是(
B. y ? ? 2 x3

?2 x

D. y ? ?x ?2x

3.如下图所示,对应关系 f 是从 A 到 B 的映射的是(

4.设 a ? 50.3 , b ? 0.35 , c ? log5 0.3 ? log5 2 ,则 a , b, c 的大小关系是 ( A. b ? c ? a 5.函数 y ? a A. (0,1) 6.若函数 f ( x) ? lg( A. ? 1
x ?2



B. a ? b ? c

C. c ? a ? b ) C. ( 2,0) )

D. c ? b ? a

? 1(a ? 0, a ? 1) 的图像必过(
B. ( 2,2)

D. (1,1)

2 ? a) 为奇函数,则 a =( 1? x
B.

2 3

C. ?

2 3

D. 1

7. 定义在 R 上的偶函数 f ?x ? 在 (0, +∞)上是增函数, 且f ( A.(0,

1 ) 3

B.(

1 ,+∞) 3

1 )=0, 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集是( ) 3 1 1 1 1 C.(- ,0)∪( ,+∞) D.(-∞,- )∪(0, ) 3 3 3 3
) D. ?1,4?

8.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域是 ?? 1,3? ,则 y ? f ( x 2 ) 的定义域是( A. ?0,4? B. ?0,16? C. ?? 2,2?

9.如图,液体从一圆锥漏斗漏入一圆柱桶中,开始漏斗盛满液体,经过 3 分钟漏完,若圆柱中液面上升速度是
1

一常量, H 是圆锥漏斗中液面下落的距离. 则 H 与下落时间 t 分钟的函数关系表示的图象可能是(

)

H

H

H H H

O

A

3

t

O

B 3

t

O

C 3

t O

D3

t

10.函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 1 的图象总在 x 轴上方.则实数 m 的取值范围为( ) A. (1,5) B. (1,5] C. [1,5) D. [1,5] 满 足 对 任 意 实 数 x1 ? x2 , 都 有

11 . 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 函 数 f ( x) ? ?

?(a ? 1) x ? 3a ? 4, ( x ? 0)
x ?a , ( x ? 0)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 成立,则 a 的取值范围是 ( x2 ? x1
A.



? 0,1?

B. ?1, ?? ?

C. ?1, ? 3

? 5? ? ?

D. ? , 2 ?

?5 ?3

? ?

12.设函数 f ?x ? ?

2x ?x ? R ? ,区间 M ? ?a, b? (其中 a ? b ),集合 N ? ?y y ? f ?x?, x ? M ?,则使 x ?1
) C.1 个 D.无数个

M ? N 成立的实数对 ?a, b ? 共有(
A.3 个

B.2 个

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.幂函数经过点 P(2,4) ,则 f ( 2) ? .

14. f ( x) ? log1 ( x ? 2x ? 3) ,则 f ( x) 的单调减区间是
2 2

.

3 2 15. 函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 是实数集 R 上的偶函数,并且 f ( x) ? 0 的解为 (?2, 2) ,则

d 的值为 b

16.已知函数 f ? x ? 对任意实数 x, y 满足 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? 3, f ?3? ? 6 , 当 x ? 0 时, f ?x ? ? 3 , 那么,当 f ?2a ? 1? ? 5 时,实数 a 的取值范围是__________. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2

17.(本小题满分 10 分)已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2 ? x ? 9}, B ? ?x | ?2 ? x ? 5? . (1)求 A ? B ; B ? (C U A) ; (2)已知集合 C ? {x | a ? x ? a ? 2}, 若 C ? ?CU B? ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)化简或求值:

(1)

7 1 2 (2 )0 . 5 ? 0.1? ? ? ?0 ; 9 3
(lg 2) 2 ? lg 2 lg 5 ? (lg 2) 2 ? lg 4 ? 1 .

(2)

19. (本小题满分 12 分)如图,定义在 [?1, 2] 上的函数 f ? x ? 的图象为折线段 ACB , (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)请用数形结合的方法求不等式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集, 不需要证明.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

1 . x
3

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并加以证明; (2)用定义证明函数 f ( x ) 在区间 [1, ? ?) 上为增函数; (3)若函数 f ( x ) 在区间 [2, a] 上的最大值与最小值之和不小于

11a ? 2 ,求 a 的取值范围. 2a

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (log 2 x ? 2)(log 4 x ? ). (1)当 x∈[2,4]时.求该函数的值域; (2)若 f ( x) ? m log2 x对于x ? [4,16] 恒成立,求 m 的取值范围.

1 2

22. (本小题满分 12 分)对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x ) 的不动点. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ?1)(a ? 0) . (1)当 a ? 1, b ? 2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 f(x)的两个不动点为 x1 , x2 ,且 f ? x1 ? ? x2 ?

?a ,求实数 b 的取值范围. 2a 2 ? 1

数学试题答案

一、选择题:A D DD B

A CCBC
4

CA

二、填空题: 13. 2 三、解答题: 17.解: (1) 14. (3,??) 15. ?4 16. ? ? ?, ?

? ?

1? 2?

A ? B ? {x | 2 ? x ? 5}

………. ……………………2 分

C U A ? {x | x ? 2或x ? 9}

B ? (C U A) ? {x | x ? 5或x ? 9} ………5 分

(2) CU B ? {x | x ? ?2或x ? 5} ,又 C ? CU B ………. ……..……6 分

a ? 2 ? ?2或a ? 5

………. …………. ………. ………8 分

? a的取值范围为(-?,-4)? (5, ??) …………. ………. …10 分
18.解:(1)原式= ( =

25 2 1 ) ? 100 ? 1 ? 9 3
=101

1

…………………

3分

5 1 ? 100 ? 1 ? 3 3

…………………

6 10

(2)解:原式= lg 2(lg 2 ? lg 5) ? = lg 2 ? (1 ? lg 2) ? 1

(lg 2 ? 1) 2
…………

………………… 12 分

?2 x ? 2,(?1 ? x ? 0) 19.解: (1)根据图像可知点 A(?1,0), B(0, 2), C (2,0) ,所以 f ? x ? ? ? ? ? x ? 2,(0 ? x ? 2)
(2)根据(1)可得函数 f ( x ) 的图像经过点(1,1) ,而函数 log 2 ( x ? 1) 也过点 (1,1) , 函 数 log 的 图 像 可 以 由 log 2 x 左 移 1 个 单 位 而 来 , 如 图 所 示 , 所 以 根 据 图 像 可 得 不 等 式 x ? 1) 2 (

f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集是 (?1,1] .
20.解: (1)函数 f ( x) ? x ? ∵函数 f ( x) ? x ?

1 是奇函数, x

1分 2分

1 的定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,在 x 轴上关于原点对称, x 1 1 ? ?( x ? ) ? ? f ( x ) , 且 f (? x) ? ? x ? ?x x 1 ∴函数 f ( x) ? x ? 是奇函数. 3分 x
(2)证明:设任意实数 x1 , x2 ? [1, ? ?) ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 4分

( x ? x )( x x ? 1) 1 1 ) ? ( x2 ? ) ? 1 2 1 2 , x1 x2 x1 x2
5

5分

∵ 1 ? x1 ? x2 ∴

∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 ,

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) <0 , x1 x2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴函数 f ( x ) 在区间 [1, ? ?) 上为增函数. (3)∵ [2, a] ? [1, ??) , ∴函数 f ( x ) 在区间 [2, a] 上也为增函数. ∴ f ( x) max ? f (a) ? a ? 9分 10 分 8分

1 3 , f ( x) min ? f (2) ? , a 2

若函数 f ( x ) 在区间 [2, a] 上的最大值与最小值之和不小于 则a?

11a ? 2 , 2a

1 3 11 1 ? ? ? , a 2 2 a 1 8

∴a ? 4, 12 分

∴ a 的取值范围是[4,+∞).

21. (1)函数的值域为 [ ? ,0] ;(2) g (t )min ? g (1) ? 0,? m ? 0. (1)因为 f ( x) ? (2 log 4 x ? 2)(log 4 x ? ) , 令t ? log 4 x, x ? [2,4]时, t ? [ ,1] ,化简为关于 t 的一 元二次函数,然后求解值域。 (2) f ( x) ? m log2 x 对于 x ? ?4,16? 恒成立
2 ? m ? 2t ? ? 3对t ? [1,2]恒成立 ,转换分离参数法得到结论。 即 2t ? 3t ? 1 ? mt 对t ? [1,2]恒成立,

1 2

1 2

1 t

解: (1) f ( x) ? (2 log 4 x ? 2)(log 4 x ? )

1 2

………………………………2 分

1 令t ? log 4 x, x ? [2,4]时, t ? [ ,1] ………………………………3 分 2 1 3 2 1 2 此时, y ? (2t ? 2)( t ? ) ? 2t ? 3t ? 1 ? 2(t ? ) ? . , 2 4 8 1 1 1 ? t ? [ ,1] ? y ? [? ,0] 所以函数的值域为 [ ? ,0] ………6 分 2 8 8
(2) f ( x) ? m log2 x 对于 x ? ?4,16? 恒成立
2 ? m ? 2t ? ? 3对t ? [1,2]恒成立 ,………8 分 即 2t ? 3t ? 1 ? mt 对t ? [1,2]恒成立,

1 t

易知 g (t ) ? 2t ? ? 3在t ? [1,2]上单调递增,

1 t

………………10 分 … …12 分

? g (t ) min ? g (1) ? 0,? m ? 0.

6

2 22. 解: (1) f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ,因为 x0 为不动点,因此 f ( x0 ) ? x0 ? 3x0 ?1 ? x0 所以 x0=-1,

所以-1 为 f(x)的不动点. ……………… 4 分 (2)因为 f(x)恒有两个不动点,f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x, ax2+bx+(b-1)=0(※) , 2 由题设 b -4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以(4a)2-4(4a)<0 ?a2-a<0,所以 0<a<1. ………………8 分 (3)因为 f ? x1 ? ? x2 ? x1 ? x2 ? ?
2

a2 b ?a ? 2 ,所以 b ? , a 2a ? 1 2a 2 ? 1
1 t , 0 ? t ? 1 ? 0 ? b ? . ……………… 12 分 3 2t ? 1

令 t ? a ? ? 0,1? ,则 b ?

7


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