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正弦定理,余弦定理解题方法专题设计论文


正弦定理,余弦定理解题方法专题设计 【摘要】余弦定理和正弦定理一样,都是揭示三角形边角之间的 数量关系的重要定理..然而余弦定理的应用远不止这些,如能将余 弦定理的表达式,从不同的角度观察分析,将它和正弦定理整合、 变形后再应用,则其应用将非常广泛,对一部分题目的求解会有意 想不到的效果. 【关键词】正弦定理 余弦定理 变换 应用 一、教学设计 1、教学背景 提倡情境式教学,认为多数学习应与具体情境有关,只有在解决 与现实世界相关联的问题中,所建构的知识才将更丰富、更有效。 我们在 2010 级进行了“5315”教学实验,通过一段时间的教学实 验,多数同学已能适应这种学习方式,平时能主动思考,敢于提出 自己关心的问题和想法、索取知识,增强了学习数学的兴趣。2、 教材分析 “正余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书数学必 修 5 的第一章第二节的主要内容,是解决有关斜三角形问题的两个 重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的直接延拓,它是三角 函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化 为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工 具,因此具有广泛的应用价值。不仅能复习巩固旧知识,使学生掌 握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生 的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学 习的能力。3、设计思路 引导学生从原有的知识经验中“生长”出 新的知识经验。为此我们根据“情境 --问题”教学模式,沿着“设 置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线,把从情境中 探索和提出数学问题作为教学的出发点,以“问题”为红线组织教 学, 形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的 “情境--问题” 学习链,使学生真正成为提出问题和解决问题的主体,成为知识的 “发现者”和“创造者” ,使教学过程成为学生主动获取知识、发 展能力、体验数学的过程。根据上述精神,做出了如下设计:①创 设一个现实问题情境作为提出问题的背景;②启发、引导学生提出 自己关心的现实问题,逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问 题,解决问题时需要使用正余弦定理,借此引发学生的认知冲突, 揭示解斜三角形的必要性,并使学生产生进一步探索解决问题的动 机。然后引导学生抓住问题的数学实质,引伸成一般的数学问题: 已知三角形的两条边和他们的夹角,求第三边。③ 为了解决提出 的问题,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验, 通过作边 bc 的垂线得到两个直角三角形,然后利用勾股定理和锐 角三角函数得出正余弦定理的表达式,进而引导学生进行严格的逻 辑证明。 二:专题设计 1.题型分析 题型一:余弦定理的基本应用; 例 1:δ abc 三个顶点坐标为(6,5)(-2,8)(4,1) 、 、 ,求 a 解法一:∵ |ab| =[6-(-2)]2+(5-8)2=73 |bc| =(-2-4)2+(8-1)2=85 |ac| =(6-4)2+(5-1)2=25 cosa=|ab|2+|ac|2-|bc|22|ab|·|ac|=2365 ∴ a≈84° 点评:解题时利用三角形在坐标系中的位置关系和边长余弦定理 计算 解法二:∵ ab=(–8,3) ,ac=(–2,–4) ∴ cosa=ab· ac|ab|· |ac|= (-8) (-2) (-4) × +3× 73×25=2365, ∴ a≈84° 点评:解题时利用向量知识巧解三角形的边角关系 题型二:正、余弦定理的综合应用 正、余弦定理的巧用; 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理

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