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红对勾理科数学7-5


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必考部分

必考部分·第七章

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第七章 立体几何

必考部分·第七章

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第五节 直线、平面垂直的判定及性质

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第七章·第五节

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考纲解读 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空 间中线面垂直的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论,证明一些有关空间图形的 位置关系的简单命题.

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第七章·第五节

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考情剖析 1.多以选择题、填空题的形式考查线面垂直、面面垂直的判定及 线面角的概念及求法. 2.围绕线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理设计解答题, 且多作为解答题中的某一问,是高考对本节的主要考查形式.

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第七章·第五节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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第七章·第五节

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自主回顾·打基础
强根基·固本源

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第七章·第五节

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1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直,则该直线和此平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个 平面,那么另一条直线也垂直 这个平面.

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第七章·第五节

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(2)直线与平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意 直线. ②垂直于同一个平面的两条直线 平行 . ③垂直于同一条直线的两平面平行 . 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面 所成的角.

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第七章·第五节

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1.命题“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线, 那么这条直线和这个平面垂直”是否正确?

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第七章·第五节

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提示:不正确.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中, 在棱AB上任取一点E,过点E作EF∥AD交CD于点F,则这 样的直线能作出无数条,显然AB垂直于平面ABCD内的无 数条直线,但AB?平面ABCD.不仅如此,直线A1B1也垂直 于平面ABCD内的无数条直线,因为A1B1∥AB,从而直线 A1B1∥平面ABCD.

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第七章·第五节

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2.如果两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条 直线一定平行吗? 提示:不一定.可能平行、相交或异面.

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第七章·第五节

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3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面 所组成的图 形叫做二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点, 在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.

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第七章·第五节

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4.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 一个平面 过另一个 判定 定理 平面的一 条垂线, 则这两个 平面互相 垂直
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符号语言

l?β? ? ??α⊥β l⊥α? ?

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文字语言 图形语言 两个平面 互相垂 直,则一 性质 个平面内 定理 垂直于交 线的直线 垂直于另 一个平面
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符号语言

α⊥β ? ? ? l?β ? α∩β=a? ? l⊥a ? ?l⊥α

第七章·第五节

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3.垂直于同一平面的两平面是否平行? 提示:不一定.可能平行,也可能相交. 4.垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗? 提示:平行.可由线面垂直的性质及面面平行的判定 定理推导出.

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1.直线l不垂直于平面α,则α内与l垂直的直线有 ( ) A.0条 C.无数条 B.1条 D.α内所有直线

解析:可以有无数条.

答案:C

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2.已知α、β表示两个不同的平面,m为平面α内的一 条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

m⊥β? ? ??α⊥β. 解析:α⊥β? / m⊥β,但 m?α? ?

答案:B

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3.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面 角,则AC的长为( )

A. 2az 3 C. 2 a

2 B. a 2 D.a

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解析:取BD的中点E,连接AE,EC则BD⊥AE, BD⊥EC,∠AEC是直二面角的平面角,即∠AEC=90° , 2a 在Rt△AEC中,AE=EC= ,于是AC= AE2+EC2=a. 2
答案:D

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4.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍,则AB 所在直线与平面α所成的角为________.
1 解析:由题意知cosα=2,又∵0° ≤α≤90° ,∴α=60° .

答案:60°

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5.设α、β、γ为彼此不重合的三个平面,l为直线,给 出下列命题: ①若α∥β,α⊥γ,则β⊥γ; ②若α⊥γ,β⊥γ,且α∩β=l,则l⊥γ; ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平 面α垂直; ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等,则平面α平 行于平面β. 上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真命 题的序号).
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解析:③中l∥α也满足,④中α与β可能相交.
答案:①②

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合作学习·速通关
抓重点·破疑难

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垂直关系的基本问题

【例1】

若m,n为两条不重合的直线,α,β为两

个不重合的平面,给出下列命题: ①若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直 线; ②若m、n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直 线;

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③已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若m⊥α,则 n⊥β; ④m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂 直. 其中的假命题的序号是________. 依据线面、面面垂直的判定与性质,必要时要 画出图形或列举反例.

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【解析】

①显然错误,因为平面α∥平面β,平面α内

的所有直线都平行β,所以β内的两条相交直线可同时平行 于α;②正确;如图1所示,若α∩β=l,且n∥l,当m⊥α 时,m⊥n,但n∥β,所以③错误;如图2显然当m′⊥n′ 时,m不垂直于n,所以④错误.

【答案】 ①③④
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解决此类问题常用的方法有:①依据定理条件才能得出结 论的,可结合符合题意的图形作出判断;②否定命题时只 需举一个反例.③寻找恰当的特殊模型?如构造长方体?进行 筛选.

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设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面, 则下列四个命题: ①若a⊥b,a⊥α,b?α,则b∥α;②若a∥α,a⊥β,则 α⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a?α;④若a⊥b, a⊥α,b⊥β,则α⊥β. 其中正确命题的个数为( A.1 C.3
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)

B.2 D.4
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解析:对于①,由b不在平面α内知,直线b或者平行于 平面α,或者与平面α相交,若直线b与平面α相交,则直线b 与直线a不可能垂直,这与已知“a⊥b”相矛盾,因此①正 确.对于②,由a∥α知,在平面α内必存在直线a1∥a,又 a⊥β,所以有a1⊥β,所以α⊥β,②正确.对于③,若直线a 与平面α相交于点A,过点A作平面α、β的交线的垂线m, 则m⊥β,又α⊥β,则有a∥m,这与“直线a、m有公共点 A”相矛盾,因此③正确.对于④,过空间一点O分别向平

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面α、β引垂线a1、b1,则有a∥a1,b∥b1,又a⊥b,所以 a1⊥b1,所以α⊥β,因此④正确.综上所述,其中正确命题 的个数为4.

答案:D

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直线与平面垂直的判定与性质

【例2】

如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥

底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E是PC的中点.

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证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE. 第(1)问通过DC⊥平面PAC证明;也可通过 AE⊥平面PCD得到结论;第(2)问利用线面垂直的判定定理 证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.

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【证明】

(1)在四棱锥P—ABCD中,

∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE? 平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得AC=PA. ∵E是PC的中点,∴AE⊥PC. 由(1),知AE⊥CD,且PC∩CD=C, ∴AE⊥平面PCD.

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而PD?平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD=A, ∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.

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破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与 性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用, 这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面 垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明 过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直 关系难点的技巧所在.

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(2013· 湖南卷)如图,在直棱柱ABC-A1B1C1中, ∠BAC=90° ,AB=AC= 点E在棱BB1上运动. 2 ,AA1=3,D是BC的中点,

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(1)证明:AD⊥C1E; (2)当异面直线AC,C1E所成的角为60° 时,求三棱锥C1 -A1B1E的体积.

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解:(1)证明:∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC. 又在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,而 AD?平面ABC,∴AD⊥BB1. ∴AD⊥平面BB1C1C. 由点E在棱BB1上运动,得C1E?平面BB1C1C, ∴AD⊥C1E. (2)∵AC∥A1C1,∴∠A1C1E是异面直线AC与C1E所成 的角,由题设知∠A1C1E=60° .
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∵∠B1A1C1=∠BAC=90° ,∴A1C1⊥A1B1, 又 AA1⊥A1C1 , 从 而 A1C1⊥ 平 面 A1ABB1 , 于 是 A1C1⊥A1E. A1C1 2 故 C1E=cos60° =2 2,又 B1C1= A1C2 1+A1B1=2, ∴B1E= C1E2-B1C2 1=2. 1 从而 V 三棱锥 C1—A1B1E= S△A1B1E×A1C1 3 1 1 2 =3×2×2× 2× 2=3.

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平面与平面垂直的判定与性质

【例 3 】

(2013· 天津卷 ) 如下图,三棱柱 ABC -

A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等,D, E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点.

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(1)证明 EF∥平面 A1CD; (2)证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. (1)证明线面平行,可以利用线面平行的判定定 理进行证明, 也可以利用面面平行来得到线面平行; (2)通过 证明 CD⊥平面 AA1B1B,利用面面垂直的判定定理得到结 论;(3)找到线面角,利用线段间的关系得到其正弦值.

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【解析】

(1) 如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中 ,

AC∥A1C1,且 AC=A1C1,连接 ED,在△ABC 中,因为 D, 1 E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE= AC 且 DE∥AC,又 2 F 为 A1C1 的中点,可得 A1F=DE,且 A1F∥DE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EF∥DA1,又 EF?平面 A1CD, DA1?平面 A1CD,所以 EF∥平面 A1CD.

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(2)由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点,故 CD⊥AB,又侧棱 A1A⊥底面 ABC,CD?平面 ABC,所以 AA1⊥CD,又 AA1∩AB=A,因此 CD⊥平面 A1ABB1,而 CD?平面 A1CD,所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1.

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(3)在平面 A1ABB1 内,过点 B 作 BG⊥A1D 交直线 A1D 于点 G,连接 CG. 由于平面 A1CD⊥平面 A1ABB1,而直线 A1D 是平面 A1CD 与平面 A1ABB1 的交线,故 BG⊥平面 A1CD.由此得 ∠BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角. 5a 设棱长为 a,可得 A1D= 2 ,由△A1AD∽△BGD,易 5a BG 5 得 BG= 5 ,在 Rt△BGC 中,sin∠BCG=BC = 5 . 5 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 5 .
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面面垂直的性质应用技巧 (1)两平面垂直, 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直 于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运 用时要注意“平面内的直线”.

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(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面, 那么它们的交 线也垂直于第三个平面,此性质是在课本习题中出现的,在 不是很复杂的题目中,要对此进行证明.

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如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求 证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

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?题图?

?答图?

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证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中 点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD.所以直线 EF∥ 平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD.又因为 BF? 平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.
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1.在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定 理成立的条件. 同时抓住线线、 线面、 面面垂直的转化关系,

即:

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2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找 平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线 来解决,如有平面垂直时,一般要用性质定理. 3.几个常用的结论: (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

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提升素养·破难点
研经典·明考向

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答题模板构建(九) 空间位置关系的证明规范答题 【典例】 (2013· 北京卷)如右图,在三棱柱

ABC—A1B1C1 中, AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC ⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.

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(1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1—BC1—B1 的余弦值; (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B.并求 BD BC1的值.

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满分展示 答题模板:(1)证明:∵AA1C1C 为正方形,∴AA1⊥AC,∴ 平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,∴AA1⊥平面 ABC.(3 分)

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满分展示 (2)由(1)知 AA1⊥AC,AA1⊥AB. 又由题知 AB=3,BC=5,AC=4,∴AB⊥AC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A—xyz,则 B(0,3,0),A1(0,0,4), → → B1(0,3,4),C1(4,0,4),故A1B=(0,3,-4),A1C1=(4,0,0).(6 分) → ? ?n· A1B=0, 设 平 面 A1BC1 的 法 向 量 为 n = (x , y , z) , 则 ? → ? A1C1=0, ?n·
?3y-4z=0, ? ?4x=0.



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满分展示 令 z=3,则 x=0,y=4,∴n=(0,4,3). 同理可得,平面 B1BC1 的一个法向量为 m=(3,4,0), n· m 16 ∴cos〈n,m〉=|n||m|=25.由题知二面角 A1—BC1—B1 为锐 角, 16 ∴二面角 A1—BC1—B1 的余弦值为25.(10 分)

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满分展示 → → (3)证明:设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且BD=λBC1. ∴(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).解得 x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. → → → ∴AD=(4λ,3-3λ,4λ).由AD· A1B=0,即 9-25λ=0,解 9 得 λ=25. 9 ∵25∈[0,1], ∴在线段 BC1 上存在点 D, 使得 AD⊥A1B.此时, BD 9 =λ= .(14 分) BC1 25
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名师支招 第一步:由面面垂直性质定理证明线面垂直; 模 第二步:求平面 A1BC1 与平面 B1BC1 的法向量,利用 板 法向量求二面角; BD 构 第三步: 利用向量垂直确定 D 点位置, 并求 的值; BC1 建 第四步:回顾检查,查漏补缺.

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名师支招 点 拨 提 升 本题考查线面垂直的证明,二面角的求解等.求二面 角,要先求两平面的法向量,由两法向量的夹角得到 二面角.在一般情况下,证明平行与垂直应用传统法 较易,计算量也较小,而求角问题用向量法减少了抽 象的思维,但运算量较大.

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(2013· 辽宁卷)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的 平面,C 是圆上的点.

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(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求二面角 C—PB—A 的 余弦值.

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解:(1)由 AB 是圆的直径,得 AC⊥BC, 由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC?平面 PBC,所以平面 PBC⊥平面 PAC. (2)解法 1:过 C 作 CM∥AP,则 CM⊥平面 ABC.

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如图,以点 C 为坐标原点,分别以直线 CB,CA,CM 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 因为 AB=2,AC=1,所以 BC= 3. 因为 PA=1,所以 A(0,1,0),B( 3,0,0),P(0,1,1). → → 故CB=( 3,0,0),CP=(0,1,1). 设平面 BCP 的法向量为 n1=(x,y,z), ?→ ?CB· n1=0, 则? → ? CP n1=0, ? ·
? ? 3x=0, 所以? ? ?y+z=0,

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不妨令 y=1,则 n1=(0,1,-1). → → 因为AP=(0,0,1),AB=( 3,-1,0), 设平面 ABP 的法向量为 n2=(x,y,z), ?→ ?AP· n2=0, 则? → ? n2=0, ?AB·
? ?z=0, 所以? ? ? 3x-y=0,

不妨令 x=1,则 n2=(1, 3,0). 3 6 于是 cos〈n1,n2〉= = , 2 2 4 6 所以由题意可知二面角 C—PB—A 的余弦值为 . 4
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解法 2:过 C 作 CM⊥AB 于 M, 因为 PA⊥平面 ABC,CM?平面 ABC,所以 PA⊥CM, 故 CM⊥平面 PAB.

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过 M 作 MN⊥PB 于 N,连接 NC, 由三垂线定理得 CN⊥PB, 所以∠CNM 为二面角 C—PB—A 的平面角. 在 Rt△ABC 中,由 AB=2,AC=1, 3 3 得 BC= 3,CM= 2 ,BM=2. 在 Rt△PAB 中,由 AB=2,PA=1,得 PB= 5. 3 MN 2 因为 Rt△BNM∽Rt△BAP,所以 1 = , 5

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3 5 故 MN= 10 . 30 6 又在 Rt△CNM 中,CN= 5 ,故 cos∠CNM= 4 . 6 所以二面角 C—PB—A 的余弦值为 4 .

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温 馨 提 示

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