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【金版学案】2013-2014学年度高中数学 3.4.1 基本不等式同步辅导与检测课件 新人教A版必修_图文

不等式
3.4 基本不等式: ab≤a+2 b 3.4.1 基本不等式(一)

1.通过实例探究抽象基本不等式,体会数学来源于生 活.
2.推导并掌握基本不等式,并从不同角度探索不等式 ab≤a+2 b 的证明过程.
3.理解基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等 号“≤”取等号的条件是:当且仅当这两个正数相等.
4.熟练掌握基本不等式 ab≤a+2 b (a,b∈R+),会 用基本不等式证明不等式.

基础梳理 1.两个正数的算术平均数与几何平均数.设a,b是任
意两个正数,称 a+b 为a,b的__________;称 ab 为a,b
2 的__________.

1和9的算术平均数是:____,而1和9的几何平均数是: ____.

2.重要不等式:设a,b∈R,∵a2+b2-2ab=(a- b)2≥0,

∴________________.当且仅当________时,等号成立.

答案:1.算术平均数 练习1:5 3 2.a2+b2≥2ab a=b

几何平均数

3.基本不等式: 设a,b是任意两个正数,那么 ab≤a+2 b .

当且仅当______时,等号成立.基本不等式可叙述为: 两个正数的____________________.

如果把

a+b 2

看作是正数a,b的等差中项,

ab

看作

是正数a,b的等比中项,那么基本不等式也可以叙述为:

两个正数的__________________.
4.基本不等式 ab≤a+2 b 几何意义是:________. 答案:3.a=b 算术平均数不小于它们的几何平均数 等差中项不小于它们的等比中项

4.“半径不小于半弦”

5.已知x,y都是正数,
(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和______有最 小值__________;
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积______有 最大值______________.

证明:∵x,y∈R+,∴x+2 y≥ xy. (1)当 xy=P(定值)时,x+2 y≥ P, ∴x+y≥2 P,当且仅当 x=y 时,上式取“=”, ∴当 x=y 时,(x+y)min=2 P.
(2)当 x+y=S(定值)时, xy≤S2∴xy≤14S2, 当且仅当 x=y 时,上式取“=”, ∴当 x=y 时,(xy)max=14S2. 答案:(1)x+y 2 P (2)xy 14S2

(3)已知x,y都是正数, ①如果xy=15,则x+y的最小值是________; ②如果x+y=15,则xy的最大值是________.

解析:(1)因为 x,y 都是正数,且 xy=15,

由基本不等式得 x+y≥2 xy=2 15,

当且仅当 x=y= 15时,取等号.

(2)因为 x,y 都是正数,且 x+y=15,

由基本不等式得 xy≤??x+2 y??2=??125??2=2425,
当且仅当 x=y=7.5 时,取等号.

答案:2 15

225 4

6.求函数最值的两个基本步骤:
(1)先证y≥m(m是与自变量无关的常数)或y≤M(M是 与自变量无关的常数);
(2)再证存在定义域中的x0,使f(x0)=m 或f(x0)=M. 有了这两步就可以下结论:y=f(x)的最小值是m或 y=f(x)的最大值是M.

自测自评

1.下列函数中,能取到最小值2的是( C )

A.y=x+1x(x<0)

B.y=sin2 x+sin2 x

C.y=e1x+ex(x∈R)

D.y=

x2+3 x2+2

2.如果a2+b2=4,则ab的最________值是 ________;如果ab=2,则a2+b2的最________值是 ________.
3.如果a>0,b>0,则 ba+ab 的最小值是 ________;如果ab>0,则 ba+ab 的范围是________.
答案:2.大 2 小 4 3. 2 [2,+∞)

不等式的证明
已知 x,y 都是正数,求证:yx+xy≥2.
证明:∵x,y 都是正数,∴xy>0,yx>0,
由基本不等式有xy+yx≥2 xy·yx=2, 当且仅当xy=yx即 x=y 时“=”成立. 即xy+yx≥2.

跟踪训练 1.已知x,y都是正数,
求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 分析:用基本不等式 ab≤a+2 b 时,注意条件a,b均 为正数,并结合不等式的性质,进行推证.
证明: ∵x,y都是正数, ∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0,由基本不等式有 x+y≥2>0,x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0. 再由不等式的性质有(x+y)(x2+y2)(x3+y3) ≥2·2·2=8x3y3. 即 (x + y)(x2 + y2)(x3 + y3)≥8x3y3.( 当 且 仅 当 x = y 时 取 “=”).

利用基本不等式求最值

(1)若x>0,求f(x)= +3x的最小值;

(2)已知x>2,求x+

的最小值.

解析:(1)∵x>0,由基本不等式得

f(x)=1x2+3x≥2

12 x ·3x

=2 36=12.

当且仅当 3x=1x2,即 x=2 时,

f(x)取最小值 12.

(2)∵x>2,∴x-2>0, ∴x+x-4 2=x-2+x-4 2+2
≥2 ?x-2?·x-4 2+2=6. 当且仅当 x-2=x-4 2, 即 x=4 时,等号成立. 所以 x+x-4 2的最小值为 6.

跟踪训练 2.(1)已知0<x< ,求函数y=x(1-3x)的最大值;

(2)已知x>1,求y=

的最小值;

(3)已知x>0,y>0,

=1,求2x+3y的最小值.

解析:(1)∵0<x<13,∴1-3x>0, ∴y=x(1-3x)=13·3x(1-3x)
≤13??3x+?21-3x???2=112,
当且仅当 3x=1-3x,即 x=16时,等号成立. ∴当 x=16时,函数取最大值112.

(2)y=x-x21=x2-x-1+1 1=x+1+x-1 1
=x-1+x-1 1+2≥2+2=4,
当且仅当x-1 1=x-1, 即(x-1)2=1 时,等式成立, ∵x>1,∴当 x=2 时,ymin=4.
(3)2x+3y=1·(2x+3y)=??1x+6y??(2x+3y)
=2+3xy+1y2x+18≥2+2 36+18 =2+12+18=32, 当且仅当 y=2x 取等号,且1x+6y=1, 即 x=4,y=8 时成立, ∴2x+3y 的最小值为 32.

利用基本不等式解决应用问题
某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到 车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距 离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和 y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓 库应建在离车站多少公里处?
解析:由已知 y1=2x0;y2=0.8x(x 为仓库与车站距离), 费用之和 y=y1+y2=0.8x+2x0≥2 0.8x·2x0=8. 当且仅当 0.8x=2x0即 x=5 时“=”成立. 答:仓库应建在离车站 5 公里处.

跟踪训练

3.一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达 B市.已知两地路线长400 km,为了安全,两列货车的间距

不得小于 ???2v0???2 km(货车长度忽略不计),那么这批货物全部运 到B市最快需要多少小时?

解析:这批货物从A市全部运到B市的时间至少为

t=400+1v6??2v0??2=4v00+1460v0≥2

4v00·1460v0=8(h),

等号成立的条件是4v00=1460v0,即 v=100.

故这批货物全部运到B市最快需要8小时.

一、选择填空题 1.已知x,y均为正数,xy=8x+2y,则xy有( )

A.最大值64

B.最大值

C.最小值64

D.最小值

解析:∵x、y 均为正数,
∴xy=8x+2y≥2 8x·2y=8 xy, 当且仅当 8x=2y 时等号成立. ∴xy≥64. 答案:C

2.若 a>b>0,则下列不等式成立的是( ) A.a>b>a+2 b> ab B.a>a+2 b> ab>b C.a>a+2 b>b> ab D.a> ab>a+2 b>b
解析:主要是理解算术平均数和几何平均数的意义, 作差比较即可.
答案:B

1.基本不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不 等式表明两正数a,b的和与两正数a,b的积之间的大小关系, 运用该不等式可作和与积之间的不等变换.
2.“当且仅当a=b时,等号成立”的含义: (1)当a=b时等号成立的含意是:a=b? a+2 b= ab ; (2)仅当a=b时等号成立的含意是:a+2 b= ab ?a=b ; 综合起来,其含意是:a+2 b= ab ?a=b.

3.设 a,b∈R,不等式 a2+b2≥2ab?ab≤a2+2 b2?
ab≤??a+2 b??2.
4.基本不等式的几种变式:设 a>0,b>0,则 a+1a≥2, ba+ab≥2,ab2≥2a-b.


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