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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.1.3四种命题间的相互关系课时作业 新人教A版选修2-1


四种命题间的相互关系

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·杭州高二检测)命题“如果 x≥a +b ,那么 x≥2ab”的等价命题是( A.如果 x<a +b ,那么 x<2ab B.如果 x≥2ab,那么 x≥a +b C.如果 x<2ab,那么 x<a +b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

D.如果 x≥a +b ,那么 x<2ab 【解析】选 C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选 C. 2.(2014·长春高二检测)若命题 p 的等价命题是 q,q 的逆命题是 r,则 p 与 r 是 ( A.互逆命题 C.互逆否命题 B.互否命题 D.不确定 )

【解析】 选 B.因为 p 与 q 的条件与结论既互换又否定,且 q 与 r 的条件与结论互换,所以 p 与 r 的条件与结 论是相互否定的,故 p 与 r 是互否命题. 【举一反三】本题中的条件“q 的逆命题是 r”若换为“q 的否命题是 r”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选 A.因为 p 与 q 是互逆否命题,q 与 r 是互否命题, 所以 p 与 r 是 互逆命题. 3.(2014·海口高二检测)在命题“若函数 f(x)是偶函数,则 f(x)的图象关于 y 轴对称”的逆命题,否命题, 逆否命题中结论成立的是( A.都真 C.否命题假,逆命题真 ) B.都假 D.逆否命题假

【解析】选 A.因为 f(x)是偶函数,与 f(x)的图象关于 y 轴对称是等价的,故四种命题均为真命题. 4.关于命题:“设 a,b 为实数,若 ab=0,则 a,b 至少有一个为 0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆

命题为真命题;③否命题为“设 a,b 为实数,若 ab≠0,则 a,b 不都为 0”;④逆否命题为“设 a,b 为实数,若 a,b 都不为 0,则 ab≠0”. 其中,说法不正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3
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【解析】选 B.①原命题为真命题;②逆命题为“设 a,b 为实数,若 a,b 至少有一个为 0,则 ab=0”,真命题; ③否命题为“设 a,b 为实数,若 ab≠0,则 a,b 都不为 0”,故③不正确;④正确. 5.关 于原命题“在△ABC 中,若 cosA=2sinBsinC,则△ABC 是钝角三角形”的叙述: ①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题. 其中,正确的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题 的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立. 【解析】选 C.在△ABC 中,若 cosA=2sinBsinC, 则-cos(B+C)=2sinBsinC,得 cosBcosC+sinBsinC=0, 得 cos(B-C)=0,故 B-C=90°或 B-C=-90°, 即 B=C+90°或 C=B+90°,故△ABC 是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题. 逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题, 如在钝角△ABC 中,A=15°,B=15°,C=150°, cosA=cos15°= sinB=sin15°= , ,sinC=sin150°= ,

2sinBsinC=

≠cosA.
2 2 2

6.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”的否命题的等价命题是 ( A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3 B.若 a+b+c=3,则 a +b +c <3 C.若 a+b+c≠3,则 a +b +c ≥3 D.若 a +b +c ≥3,则 a+b+c=3 【解析】选 D.由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选 D. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·成都高二检测)下列命题中是真命题的是 _______. ①命题“面积相等的三角形全等”的否命题;
-22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

②命题 “若 m≤1,则 x -2x+m=0 有实根”的逆否命题; ③命题“若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题. 【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题. 命题②的逆否命题:若 x -2x+m=0 无实根,则 m>1,是真命题. 命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题. 故真命题为①②. 答案:①② 8.在空间中,①若四点不共面 ,则这四点中任何三点都不共线 ;②若两条直线没有公共点 ,则这两条直线是 异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是 _________.
2

2

【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面. 我们用正方体 AC1 做模型来观察:上底面 A1B1C1D1 的顶点中任何三点都不共线,但 A1,B1,C1,D1 四点共面,所以 ①的逆命题不是真命题. ②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点. 由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点, 所以②的逆命题为真命题. 答案:② 【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是 【解析】命题②为假命题,因此它的逆否命题为假命题. 答案:② 9.命题“已知不共线向量 e 1,e2,若λ e1+μ e2=0,则λ =μ =0”的等价命题为 题(填真、假). 【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可. 【解析】命题“已知不共线向量 e1,e2,若λ e1+μ e2=0,则λ =μ =0”的等价命题为“已 知不共线向量 e1,e2, 若λ ,μ 不全为 0,则λ e1+μ e2≠0”,是真命题. 答案:已知不共线向量 e1,e2,若λ ,μ 不全为 0,则λ e1+μ e2≠0 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014· 周口高二检测)写出下面命 题的逆命题、 否命题、 逆否命题,并判断它们的真假.m> 时,mx -x+1=0 无实根. 【解析】将原命题改写成“若 p,则 q”的形式为“若 m> ,则 mx -x+1=0 无实根”.
2 2

.

,是





-3-

逆命题:“若 mx -x+1=0 无实根,则 m> ”,是真命题; 否命题:“若 m≤ ,则 mx -x+1=0 有实根”,是真命题; 逆否命题:“若 mx -x+1 =0 有实根,则 m≤ ”,是真命题. 11.(2014·大连高二检测)已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有实数根; 命题 q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实数根, 若命题 p,q 中有且仅有一个为真命题,求实数 m 的取值范围. 【解题指南】解答本题可先根据命题 p,q 为真命题分别求出 m 的取值范围,然后分 p 真 q 假与 p 假 q 真两 种情况分别求 m 的取值范围. 【解析】方程 x +mx+1=0 有实数根, 所以Δ 1=m -4≥0, 所以 p:m≥2 或 m≤-2; 方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实数根, 所以Δ 2=16(m-2) -16<0, 所以 q:1<m<3. ①p 真 q 假:所以
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2

所以 m≥3 或 m≤-2. ②p 假 q 真: 所以 所以 1<m<2,

所以实数 m 的取值范围为 1<m<2 或 m≥3 或 m≤-2.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·福州高二检测)给出命题:已知 a,b 为实数,若 a+b=1,则 ab≤ .在它的逆命题、否命题、逆否命 题三个命题中,真命题的个数是( A.3 C.1 B.2 D.0 )

【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题
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的真假可判断其逆否命题的真假. 【解析】选 C.由 ab≤ 得:a+b=1,则有 ab≤ ,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若

ab≤ ,则 a+b=1 不成立,反例 a=b=0 满足 ab≤ 但不满足 a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题. 2.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1,则原命题与其逆命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 【解题指南】 若原命题的真假 情况不易判断时,可通过判断其逆否命题的真假来确定原命题的真假,若要说 明某一 命题是假命题,只需举一反例即可. 【解析】 选 A.原命题 “若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1” 的逆否命题为 “若 a,b 都小于 1,则 a+b<2” , 是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若 a,b 中至少有一个不小于 1,则 a+b≥2”,是假命题,如 a=3,b=-2,满 足条件,可是结论不成立. 3.(2014· 上海高二检测)已知命题α :如果 x<3,那么 x<5;命题β :如果 x≥3,那么 x≥5;命题γ :如果 x≥5, 那么 x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( ①命题α 是命题β 的否命题,且命题γ 是命题β 的逆命题 ②命题α 是命题β 的逆命题,且命题γ 是命题β 的否命题 ③命题β 是命题α 的否命题,且命题γ 是命题α 的逆否命题 A.①③ B.② C.②③ D.①②③ ) )

【解析】选 A.根据逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定, 逆否命题是把原命题中的条件与结论 先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确. 4.(2013·咸阳高二检测)已知下列三个命题:①“若 x =4,则 x=2”的逆命题;②“正方形是菱形”的否命题; ③“若 m>2,则不等式 x -2x+m>0 的解集为 R”.其中真命题的个数为( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
2 2

)

【解析】 选 C.对①,逆命题正确.对②,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正 确.对于③,Δ =4-4m,当 m>2 时,Δ <0,所以二次函数 f(x)=x -2x+m 开口向上,与 x 轴无交点,所以 x -2x+m>0 的解集为 R,正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·新乡高二检测)给定下列命题:
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①若 k>0,则方程 x +2x-k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ③“菱形的对角线垂直”的逆命题. 其中真命题的序号是 .

2

【解析】①因为Δ =4-4(-k)=4+4k>0, 所以是 真命题. ②否命题:“若 a≤b,则 a+c≤b+c”是真命题. ③逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题. 答案:①② 6.设有两个命题: ①关于 x 的不等式 mx +1≥0 的解集是 R; ②函数 f(x)=logmx 是减函数(m>0 且 m≠1). 如果这两个命题中有且只有一个真命题,则 m 的取值范围是 【解析】若①真,②假,则 若①假,②真,则 故 m>1. 无解. .
2

综上所述,m 的取值范围是 m>1. 答案:m>1 【举一反三】本题中若两命题均为真命题,则 m 的取值范围是 【解析】若①②均真,则 答案:0<m<1 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.若方程 x +2px-q=0(p,q 是实数)没有实数根,则 p+q< . (1)判断上述命题的真假,并说明理由. (2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由. 【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ =4p +4q<0,得 q<-p , 所以 p+q<p-p =所以 p+q< . (2)逆命题:如果 p,q 是实数,p+q< ,则方程 x +2px-q=0 没有实数根.
-62 2 2 2 2

.

故 0<m<1.

+ ≤ ,

逆命题是假命题,如当 p=1,q=-1 时,p+q< ,但原方程有实数根 x=-1. 8.有甲、乙、丙三个人,命题 p:“如果乙的年龄不是最大,那么甲的年龄最小”和命题 q:“如果丙不是年 龄最小,那么甲的年龄最大”都是真命题,则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定?请说明理由. 【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为 a,b,c,显然命题 p 和 q 的结论是矛盾的,因此应从它的逆否命题 来看. 由命题 p 可知,乙不是最大时,则甲最小. 所以丙最大,即 c>b>a,而它的逆否命题也为真. 即“甲不是最小,则乙最大”,为真, 即 b>a>c,同理由命题 q 为真可得:a>c>b 或 b>a>c, 又命题 p 与 q 均为真,可得 b>a>c. 故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.

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