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圆锥曲线专题复习(文数教师版)


高三文科数学专题复习之圆锥曲线
知识归纳: 名 称 椭圆
y

双曲线
y

图 象

O

x

O

x

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为 平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝 常数(大于 F1 F2 )的动点的轨迹叫椭 圆 即 MF1 ? MF2 ? 2a
王新敞
奎屯 新疆

对值为常数(小于 F1 F2 )的动点的轨 迹叫双曲线 即 MF1 ? MF2 ? 2a
王新敞
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定 义

当 2 a ﹥2 c 时,轨迹是椭圆, 当 2 a =2 c 时,轨迹是一条线段

F1 F2
当 2 a ﹤2 c 时,轨迹不存在

当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在

x2 y2 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b
标 准 方 程 焦点在 y 轴上时:

焦点在 x 轴上时:

x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

焦点在 y 轴上时:

注:根据分母的大小来判断焦点在哪一 坐标轴上 常 数

a, b, c
的 关 系 渐 近 线

a2 ? c2 ? b2 , a ? b ? 0 ,

c2 ? a2 ? b2 , c ? a ? 0

a 最大, c ? b, c ? b, c ? b

c 最大,可以 a ? b, a ? b, a ? b
x y ? ?0 a b y x 焦点在 y 轴上时: ? ? 0 a b
焦点在 x 轴上时:

1 ______________________________________________________________________________________________________

抛物线:
y
y

图 形
l

O

F

x

F

O

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)

p ( ,0) 2
x?? p 2

(?

p ,0 ) 2 p x? 2

p (0, ) 2
y?? p 2

p (0,? ) 2 p y? 2

(一)椭圆 1. 椭圆的性质:由椭圆方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

(1)范围: ? a ? x ? a, - b ? x ? a ,椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中。 (2)对称性:图象关于 y 轴对称。图象关于 x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心, 简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距。 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
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椭圆共有四个顶点: A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b) 。加两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个 特殊点。 A1 A2 叫椭圆的长轴, B1 B2 叫椭圆的短轴。长分别为 2a,2b 。 a, b 分别为椭圆的长半轴长和短半 轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。 e ?

b c ? e ? 1 ? ( )2 。 0 ? e ? 1 。 a a

椭圆形状与 e 的关系:e ? 0, c ? 0 , 椭圆变圆, 直至成为极限位置圆, 此时也可认为圆为椭圆在 e ? 0 时 的特例。 e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1 F2 ,此时也可认为是椭圆在 e ? 1时的特例。 2. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ,那么这 个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程
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a2 x2 y2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 ,左准线 l1 : x ? ? ;右准线 l 2 : x ? c c a b
2 ______________________________________________________________________________________________________

对于

a2 y2 x2 a2 l : y ? ,下准线 ;上准线 ? ? 1 l : y ? ? 1 2 c c a2 b2 a2 a2 ? c2 b2 (焦参数) ?c ? ? c c c

焦点到准线的距离 p ?

(二)双曲线的几何性质: 1. (1)范围、对称性 由标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,从横的方向来看,直线 x=-a,x=a 之间没有图象,从纵的方向来看,随着 x a2 b2

的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不 封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心。 (2)顶点 顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b ? 实轴: A1 A2 长为 2a,a 叫做实半轴长。虚轴: B1 B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异。 (3)渐近线 过双曲线

x2 y2 b x y ? 2 ? 1 的渐近线 y ? ? x ( ? ? 0 ) 2 a b a a b
2c c ? ,叫做双曲线的离心率 范围:e>1 2a a
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(4)离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 双曲线形状与 e 的关系: k ?

b ? a

c2 ? a2 ? a

c2 ? 1 ? e 2 ? 1 ,e 越大,即渐近线的斜率的绝对 2 a

值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。 2. 等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直; (3)离心率 e ? 3. 共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?

2。

b kb x ? ? x(k ? 0) , 那 么 此 双 曲 线 方 程 就 一 定 是 : ka a

x y x2 y2 ? ? ?1(k ? 0) 或写成 2 ? 2 ? ? 。 2 2 (ka) (kb) a b
4. 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别:三 量 a,b,c 中 a,b 不同(互换)c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确
3 ______________________________________________________________________________________________________

2

2

定双曲线的共轭双曲线的方法:将 1 变为-1。 5. 双曲线的第二定义:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e ?

c (c ? a ? 0) 的点的轨迹是 a

双曲线。其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线。常数 e 是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程: 对于

x2 y2 a2 F ( ? c , 0 ) 来说, 相对于左焦点 对应着左准线 , 相对于右焦点 F2 (c,0) 对 ? ? 1 l : x ? ? 1 1 c a2 b2 a2 ; c b2 (也叫焦参数) 。 c

应着右准线 l 2 : x ?

焦点到准线的距离 p ?

y2 x2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 来说, 相对于下焦点 F1 (0,?c) 对应着下准线 l1 : y ? ? ; 相对于上焦点 F2 (0, c) 对 c a b
应着上准线 l 2 : y ?

a2 。 c

(三)抛物线的几何性质 (1)范围 因为 p>0,由方程 y ? 2 px? p ? 0?可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不等式 x≥0,所
2

以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 (2)对称性 以-y 代 y,方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做 抛物线的轴。 (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 中,当 y=0 时,x=0,因此抛物 线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点。 (4)离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示。由抛物线的 定义可知,e=1。 【典型例题】 例 1. 根据下列条件,写出椭圆方程 (1)中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8; (2)和椭圆 9x2+4y2=36 有相同的焦点,且经过点(2,-3) ;
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4 ______________________________________________________________________________________________________

(3)中心在原点,焦点在 x 轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的 距离是 10- 5 。 分析:求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据 a2=b2+c2 及已知条件 确定 a2、b2 的值进而写出标准方程。 解: (1)焦点位置可在 x 轴上,也可在 y 轴上 因此有两解:

x 2 y2 y2 x 2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12 y 2 x2 ,由已知条件有 ? ? 1 , ( a>b>0 ) a 2 b2

(2)焦点位置确定,且为(0, ? 5 ) ,设原方程为

?a 2 ? b 2 ? 5 y2 x 2 ? 2 2 ? a ? 15 , b ? 10 ? ? 1。 ,故方程为 ?9 4 15 10 ? ? 1 ? 2 b2 ?a
(3)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0) a2 b2
及 a2=b2+c2,解得 b= 5 , a ? 10

由题设条件有 ?

?b ? c ?a ? c ? 10 ? 5

故所求椭圆的方程是

x 2 y2 ? ? 1。 10 5

例 2. 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲线的同一支
2 2

上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解:把 y ? kx ? 1 代入 3x ? y ? 1
2 2

整理得: (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 ……(1)
2 2

当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a 2 由 ? >0 得 ? 6 ? a ? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点 若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x 2 ? 故当 ? 6 ? a ? ? 3 或 3 ? a ? 双曲线的两支上。

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新疆

2 >0,所以 a?? 3 或 a ? 3 。 a ?3
2

6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3 ? a ? 3 时,A、B 两点在

5 ______________________________________________________________________________________________________

例 3. 已知抛物线方程为 y ? 2p( x ? 1) (p>0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得
2

的弦长为 3,求 p 的值。 解:设 l 与抛物线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式|AB|= (x 1 - x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 1 ?
2 2

1 | y1 ? y 2 |? 2 | y1 ? y 2 | k2

则有 ( y1 ? y2 )2 ? 9 .
2

p ? ? x ? y ? ?1 ? 由? 2 , 消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0 ? y 2 ? 2 p( x ? 1) ?
? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0. ? y1 ? y 2 ? ?2 p, y1 y 2 ? ? p 2 .

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 即 (?2 p) 2 ? 4 p 2 ?

9 2

由于 p>0,解得 p ?

3 4
2 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直 2

例 4. 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 线 y= 程. 解法一:由 e=
c 2 a2 ? b2 1 ,得 ? ? ,从而 a2=2b2,c=b. a 2 2 a2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方 2

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得, (x12-x22)+2(y12-y22)=0,
y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 , 2 y0
B

y y= 1 2 x

又(x0,y0)在直线 y= 于是-

1 1 x 上,y0= x0, 2 2

x0 =-1,kAB=-1, 2 y0

F2

o

F1 A

x

设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),

6 ______________________________________________________________________________________________________

? y? ?1 ? ?x? ? 1 ? x? ? b 则? 解得? ? y? ? 1 ? b ? y? ? ? x? ? b ? 1 ? 2 ?2

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为 解法二:由 e=

9 2 9 ,a ? . 16 8

8 x 2 16 2 ? y =1,l 的方程为 y=-x+1. 9 9

c 2 a2 ? b2 1 ? ,得 ? ,从而 a2=2b2,c=b. a 2 2 a2

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0, 则 x1+x2=
4k 2 1 ? 2k
2

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k 1 ? 2k 2

.

x ? x2 y1 ? y 2 ?k 1 2k 2 1 x 过 AB 的中点( 1 ),则 , ? ? , 2 2 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 解得 k=0,或 k=-1.
直线 l:y= 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍 去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一. 解法 3:设椭圆方程为
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) (1)

直线 l 不平行于 y 轴,否则 AB 中点在 x 轴上与直线 y ? 故可设直线 l的方程为y ? k ( x ? 1) (2)

1 x过AB 中点矛盾。 2

(k 2 a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2k 2 a 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0 (3) (2)代入(1)消y整理得:

设A( x1,y1 ) B( x 2,y 2 ) , 知:x1 ? x 2 ?

2k 2 a 2 k 2a2 ? b2

又y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2k代入上式得:

k?

2 2k 1 k 2a 2 ? b2 1 b2 1 , ? ? k ? k ? ? , 又e ? ? , ? k ? 2k ? 2 2 2 2 2 x1 ? x 2 2 2 2k a ka
2b 2 a
2

?k ? ?

??

2(a 2 ? c 2 ) a
2

? ?2 ? 2e 2 ? ?1 ,?直线l的方程为y ? 1 ? x ,

此时a 2 ? 2b 2 , 方程(3)化为3x 2 ? 4 x ? 2 ? 2b 2 ? 0 , ? ? 16 ? 24(1 ? b 2 ) ? 8(3b 2 ? 1) ? 0

?b ?

3 , 椭圆C的方程可写成: x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 (4) , 又c 2 ? a 2 ? b 2 ? b 2 , 3

? 右焦点F (b, 0) , 设点F关于直线l的对称点( x0,y 0 ) ,

7 ______________________________________________________________________________________________________

? y0 ?x ? b ?1 ? 则? 0 ? x 0 ? 1,y 0 ? 1 ? b , ? y 0 ? 1 ? x0 ? b ? 2 ?2
1 ? 2(1 ? b) ? 2b 2 ,? b ? 又点(1 , 1 ? b)在椭圆上,代入 (4)得:
3 3 , ? 4 3

?b 2 ?

9 , 16

a2 ?

9 8
x2 y2 ? ?1 9 9 8 16

所以所求的椭圆方程为:

例 5. 如图,已知△P1OP2 的面积为 过点 P 的离心率为

27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐近线且 4

13 的双曲线方程. 2
y2 b2

解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为
c
2

x2 a2

?

=1(a>0,b>0)

y

P2

b 3 b 13 2 由 e2= 2 ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) ,得 ? . a 2 a 2 a

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2
o

P x P1

3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0), 2 2
P1 P =2, PP2

则由点 P 分 P1 P2 所成的比λ = 得 P 点坐标为(

x1 ? 2 x 2 x1 ? 2 x 2 ), , 3 2
x2 a2 ? ? 4y2 9a 2 9a 2

又点 P 在双曲线 所以
( x1 ? 2 x 2 ) 2 9a 2

=1 上, =1, ①
13 x2 2

( x1 ? 2 x 2 ) 2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
9 2 13 9 x1 ? x1 , | OP |? x 2 2 ? x 2 2 ? 4 2 4 3 2? 2 tan P1Ox 2 ? 12 sin P1OP2 ? ? 2 9 13 1 ? tan P1Ox 1 ? 4 1 1 13 12 ? S ?P1OP2 ? | OP ? x1 x 2 ? ? 1 | ? | OP2 | ? sin P 1OP2 ? 2 2 4 13
2 又 | OP 1 |? x1 ?

27 , 4

即 x1x2=

9 2




______________________________________________________________________________________________________

由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为
x2 y2 =1. ? 4 9

例 6. 已知点 B(-1,0) ,C(1,0) ,P 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB. (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE,判断:直线 DE 是否过 定点?试证明你的结论. (3) 已知点 A (m,2) 在曲线 C 上, 过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD, AE, 且 AD, AE 的斜率 k1、 k2 满足 k1· k2=2. 求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点. 解: (1)设 P( x, y )代入 | PC | ? | BC |? PB ? CB得 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? x, 化简得 y 2 ? 4 x.
(2)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1,? 点A的坐标为(1,2). 设直线AD的方程为y ? 2 ? k ( x ? 1)代入y 2 ? 4 x, 得y 2 ? 由y1 ? 2可得y 2 ? 4 8 y ? ? 4 ? 0, k k

4 4 4 ? 2,? D ( 2 ? 1, ? 2). k k k 1 同理可设直线AE : y ? 2 ? ? ( x ? 1), 代入y 2 ? 4 x得E ( 4k 2 ? 1,?4k ? 2). k 4 ? 4k k 则直线DE方程为 : y ? 4k ? 2 ? ( x ? 4k 2 ? 1), 化简得 4 k 2 ? 4k k 2 ( y ? 2) ? k ( x ? 5) ? ( y ? 2) ? 0, 即y ? 2 ? ? k k 2 ?1 ( x ? 5), 过定点(5,?2).

(3)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1, 设直线DE的方程为y ? kx ? b, D( x1, y1 ), E ( x1, y1 ) ? ? y ? kx ? b 由? 2 得k 2 x 2 ? 2(kb ? 2) x ? b 2 ? 0, ? y ? 4 x ? y ? 2 y2 ? 2 ? k AD ? k AE ? 2,? 1 ? ? 2( x1, x2 ? 1), x1 ? 1 x2 ? 1

且y1 ? kx1 ? b, y 2 ? kx2 ? b ? (k 2 ? 2) x1 x 2 ? (kb ? 2k ? 2)(x1 ? x 2 ) ? (b ? 2) 2 ? 2 ? 0, 将x1 ? x 2 ? ? 2(kb ? 2) k2 , x1 x 2 ? b2 k2 代入化简得b 2 ? (k ? 2) 2 ,? b ? ?(k ? 2).

? b ? ?(k ? 2). 将b ? k ? 2代入y ? kx ? b得y ? kx ? k ? 2 ? k ( x ? 1) ? 2, 过定点(?1,?2). 将b ? 2 ? k代入y ? kx ? b得y ? kx ? 2 ? k ? k ( x ? 1) ? 2, 过定点(1,2), 不合, 舍去, ? 定点为(?1,?2)

9 ______________________________________________________________________________________________________

【模拟试题】 (答题时间:50 分钟) 一、选择题 1.

? 是任意实数,则方程 x 2 ? y 2 sin ? ? 4 所表示的曲线不可能是(
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆



2. 已知椭

x2 ( y ? t )2 ? ? 1 的一条准线方程是 y ? 8 ,则实数 t 的值是( ) 12 21
B. 4 或 12 C. 1 或 15 D. 0 )

A. 7 或-7 3. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,则 k 的取值范围为( 4 k
B. (-12,0) C. (-3,0)

A. (??,0)

D. (-60,-12)

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4. 以 4 12
A.



x2 y2 ? ?1 16 12 x2 y2 ? ?1 16 4
2

B.

x2 y2 ? ?1 12 16 x2 y2 ? ?1 4 16
) C. (0,?

C.

D.

5. 抛物线 y ? 8mx 的焦点坐标为( A. (

1 ,0 ) 8m

B. (0,

1 ) 32 m

1 ) 32 m

D. ( ?

1 ,0) 32 m

2 2 6. 已知点 A(-2,1) , y ? ?4 x 的焦点为 F,P 是 y ? ?4 x 的点,为使 PA ? PF 取得最小值, P 点

的坐标是( A. ( ?

) B. (?2,2 2 ) C. (?

1 ,1) 4

1 ,?1) 4

D. (?2,?2 2 ) )

7. 已知双曲线的渐近线方程为 3x ? 4 y ? 0 ,一条准线方程为 5 y ? 9 ? 0 ,则双曲线方程为(

y2 x2 ? ?1 A. 9 16
C.

x2 y2 ? ?1 B. 9 16
D.

y2 x2 ? ?1 9 25
2

x2 y2 ? ?1 9 25


8. 抛物线 y ? x 到直线 2 x ? y ? 4 距离最近的点的坐标为(

10 ______________________________________________________________________________________________________

A. ( , )

3 5 2 4

B. (1,1)
2

C. ( , )

3 9 2 4

D. (2,4) )

9. 动圆的圆心在抛物线 y ? 8 x 上,且动圆与直线 x ? 2 ? 0 相切,则动圆必过定点( A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,-2)

10.中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为 则椭圆方程为(
A. C. 2x 2 2 y 2 ? ?1 25 75 x2 y2 ? ?1 25 75

1 , 2

)
B. 2x 2 2 y 2 ? ?1 75 25 x2 y2 ? ?1 75 25

D.

二、填空题 11. 到定点(2,0)的距离与到定直线 x ? 8 的距离之比为
2 2

2 的动点的轨迹方程为______________。 2

12.双曲线 2mx ? my ? 2 的一条准线是 y ? 1 ,则 m ? ___________。 13. 已知点(-2,3)与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点距离是 5, p ? ____________。 14.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x -4y =3 的焦点作椭圆的焦点, 那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。 三、解答题 15. 已知双曲线的中心在原点, 过右焦点 F (2, 0) 作斜率为 =4,求双曲线方程。
2 2

3 的直线, 交双曲线于 M、 N 两点, 且 MN 5

16. 过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F 作直线 l 交椭圆于 P 、 Q , F2 为右焦点。 4 3

QF2 的最值 求: PF2 .

17. 已知椭圆的一个焦点为 F 对应的准线方程为 y ? ? ( 0 , ? 22 ), 1 成等比数列。 (1)求椭圆的方程。

2 4 9 2 e、 , 且离心率 e 满足 , 3 3 4

11 ______________________________________________________________________________________________________

(2)试问是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 求出 l 的倾角的取值范围,若不存在,请说明理由。

1 平分?若存在, 2

18. 如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, 点 A 的坐标为(5, 0), 倾斜角为

? 的直线 l 与线段 OA 相交(不 4

经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积.

12 ______________________________________________________________________________________________________

【试题答案】 1. C 6. A 11.

2. C 7. A

3. B 8. B

4. A 9. B

5. B 10.C

( x ? 4) 2 y 2 ? ?1 72 36
4 3
13. 4 14.
x2 y2 =1 ? 5 4

12. -

15. 解:设所求双曲线方程为

x 2 y2 ,由右焦点为(2,0) 。知 c=2,b2=4-a2 ? ? 1 (a>0,b>0) a 2 b2

则双曲线方程为

3 x2 y2 ( x ? 2) ,代入双曲线方程整理得: ? ? 1 ,设直线 MN 的方程为: y ? (20- 2 2 5 a 4?b

8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0

? 12 a 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 ? x2 ? 20 ? 8a 2 x1 x2 ? 5a 4 ? 32 a 2 20 ? 8a 2
2

? 3? ? ? ? MN ? 1 ? ? ? 5? ? ?

?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2
2

8 ? ? 12a 2 ? 5a 4 ? 32a 2 ? ? 4? ? ? ? ?4 2 ? 5 ? 20 ? 8a 2 ? 20 ? 8a ?
解得: a 2 ? 1 ,? b 2 ? 4 ? 1 ? 3 故所求双曲线方程为: x ?
2

y2 ?1 3

16. 解:直线 l : ?

cos? ? x ? ?1 ? t. ? 为参数 sin ? ? y ? 0 ? t.

P 、 Q 为 l 与椭圆的交点


( ? 1 ? tan? ) 2 ( t. sin ? ) 2 ? ?1 4 3

∴ t1 ? t 2 ?

6 cos? 4 ? cos2 ?

t1. t2 ?

?9 4 ? cos2 ?

13 ______________________________________________________________________________________________________

z ? PF2 . QF2 ? ( 4 ? PF1 )( 4 ? QF1 ) ? 16 ? 4 ( PF ? QF ) ? PF . QF
1 1 1 1

? 16 ? 4 t1 ? t 2 ? t1 .t 2 12 9 39 ? 16 ? 4. ? ? 16 ? 2 2 4 ? cos ? 4 ? cos ? 4 ? cos2 ?
∴ cos ? ? 1 时 z min ? 3; cos 2 ? ? 0 时 z max ?
2

25 4

17. 解: (1)依题意,

2 4 ,e, 成等比数列, 3 3

可得 e ?

2 2 3

设 P( x , y )是椭圆上任一点 依椭圆的定义得

x2 ? (y ? 2 2)2 |y? 9 2 | 4
2 2

?

2 2 3

化简得 9 x ?y ?9

y2 ? 1 为所求的椭圆方程 即x ? 9
2

(2)假设 l 存在 因 l 与直线 x ? ?

1 相交,不可能垂直 x 轴 2

所以设 l 的方程为: y?k x?m

由?

? y ? kx ? m
2 2 ?9 x ? y ? 9

x? ( k x ? m )? 9 消去 y 得, 9
2 2

? ( k 2 ? 9) x 2 ? 2 kmx ? (m 2 ? 9) ? 0 有两个不等实根
2 2 2 2 ? ? 4 km ? 4 ( k ? 9 ) ( m ? 9 ) ? 0 2 2 ? m ? k ? 9 ? 0

x , y ) , ( x , y ) 设两交点 M、N 的坐标分别为 ( 1 1 2 2

14 ______________________________________________________________________________________________________

? 2 k m ? x x 1? 2? 2 k ?9
? 线段 MN 恰被直线 x ? ?

1 x ?x ? ? ? 1 2 2 2 2km ? ?1 即? 2 k ?9 ? k ?0
?m ? k2 ?9 2k
2 2

1 平分 2

代入 m 得 ? k ?? 90

? k2 ? 9? ? ? ? 2k ? ? k ? k
2 2

2

? (k

2

? 9) ? 0

? 9 ? 0 ? 9
2

4k
2

? 1 ? 0

? k

? 3 3或 k ? ? 3

? k ?

?? ?? 2? ? ?? ? 直线倾角的范围为 ? , ? ?? , ? ?3 2? ? 2 3?
解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0. 由方程组 ?
? ?y ? x ? m ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0……………① 2 ? ? y ? 4x

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m )3=128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号.
15 ______________________________________________________________________________________________________

故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 .

16 ______________________________________________________________________________________________________


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