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2019-2020年高中数学 1-2 第3课时等比数列的前n项和同步导学案 北师大版必修5

2019-2020 年高中数学 1-2 第 3 课时等比数列的前 n 项和同步导学

案 北师大版必修 5

1.掌握等比数列的前 n 项和公式的推导方法--错位相减法,并能用其思想方法求某类特殊数

列的前 n 项和.

2.掌握等比数列前 n 项和公式以及性质,并能应用公式解决有关等比数列前 n 项的问题.在

应用时,特别要注意 q=1 和 q≠1 这两种情况.

3.能够利用等比数列的前 n 项和公式解决有关的实际应用问题.

重点难点点拨

重点:掌握等比数列的求和公式,会用等比数列前 n 项和公式解决有关问题.

难点:研究等比数列的结构特点,推导等比数列的前 n 项和的公式及公式的灵活运用.

学习方法指导

1.等比数列的前 n 项和公式

(1)设等比数列{an},其首项为 a1,公比为 q,则其前 n 项和公式为

na1

(q=1)

Sn=

.

a1(1 ? qn ) (q≠1) 1? q

也就是说,公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值,分段的界 限是在 q=1 处.因此,使用等比数列的前 n 项和公式,必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是 不等于 1,如果 q 可能等于 1,则需分 q=1 和 q≠1 进行讨论.

(2)等比数列{an}中,当已知 a1,q(q≠1),n 时,用公式 Sn= a1(1 ? qn ) ,当已知 a1,q(q≠ 1? q

1),an 时,用公式 Sn= a1 ? anq . 1? q

2.等比数列前 n 项和公式的推导 除课本上用错位相减法推导求和公式外,还可以用下面的方法推导. (1)合比定理法

由等比数列的定义知: a2 = a3 =…= an =q.

a1 a2

an ?1

当 q≠1 时, a2 ? a3 ? ? ? an =q,即 Sn ? a1 =q.

a1 ? a2 ? ? ? an?1

Sn ? an

故 Sn= a1 ? anq = a1(1 ? qn ) . 1?q 1? q
当 q=1 时,Sn=na1. (2)拆项法 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)

当 q≠1 时,Sn= a1 ? anq = a1(1 ? qn ) . 1?q 1? q

当 q=1 时,Sn=na1. (3)利用关系式 Sn-Sn-1=an(n≥2) ∵当 n≥2 时,Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1 ∴Sn=a1+q(Sn-an) 即(1-q)Sn=a1(1-qn)

当 q≠1 时,有 Sn= a1(1 ? qn ) , 1? q

当 q=1 时,Sn=na1. 注意: (1)错位相减法,合比定理法,拆项法及 an 与 Sn 的关系的应用,在今后解题中要时常用到, 要领会这些技巧. (2)错位相减法适用于{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求{an·bn}的前 n 项和. 3.等比数列前 n 项和公式的应用 (1)衡量等比数列的量共有五个:a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知,解决等比数列问题时, 这五个量中只要已知其中的任何三个,就可以求出其他两个量. (2)公比 q 是否为 1 是考虑等比数列问题的重要因素,在求和时,注意分 q=1 和 q≠1 的讨 论. 4.等比数列前 n 项和公式与函数的关系

(1)当公比 q≠1 时,令 A= a1 ,则等比数列的前 n 项和公式可写成 Sn=-Aqn+A 的形式.由此 1? q

可见,非常数列的等比数列的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的,

而指数式的系数与常数项互为相反数.

当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1 是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数). (2)当 q≠1 时,数列 S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数 y=-Aqx+A 图像上的一群孤立的点.当 q=1

时,数列 S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数 y=a1x 图像上的一群孤立的点.

知能自主梳理

1.等比数列前 n 项和公式

(1)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,当公比 q≠1 时,Sn=

=

;当 q=1

时,Sn=

.

(2)推导等比数列前 n 项和公式的方法是

.

2.公式特点

(1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=p(1-qn)(p 为常数),且 q≠0,q≠1,则数列{an}为

.

(2)在等比数列的前 n 项和公式中共有 a1,an,n,q,Sn 五个量,在这五个量中知



.

[答案] 1.(1) a1(1 ? qn ) a1 ? anq na1 (2)错位相减法

1? q

1? q

2.(1)等比数列 (2)三 二 思路方法技巧

命题方向 等比数列前 n 项和公式的应用 [例 1] 设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数列的公比 q. [分析] 应用等比数列前 n 项和公式时,注意对公比 q 的讨论. [解析] 当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;
当 q≠1 时, a1(1 ? q3) =3a1q2, 1? q
因为 a1≠0,所以 1-q3=3q2(1-q), 2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0, 解得 q=- 1 .
2 综上所述,公比 q 的值是 1 或- 1 .
2 [说明] (1)在等比数列中,对于 a1,an,q,n,Sn 五个量,已知其中三个量,可以求得其
余两个量. (2)等比数列前 n 项和问题,必须注意 q 是否等于 1,如果不确定,应分 q=1 或 q≠1 两种 情况讨论.
(3)等比数列前 n 项和公式中,当 q≠1 时,若已知 a1,q,n 利用 Sn= a1(1 ? qn ) 来求;若已 1? q

知 a1,an,q,利用 Sn= a1 ? anq 来求. 1? q

变式应用 1 在等比数列{an}中,已知 S3= 7 ,S6= 63 ,求 an. 22
[解析] ∵S6= 63 ,S3= 7 , 22
∴S6≠2S3,∴q≠1.

a1(1 ? q3) = 7



1?q 2



a1(1 ? q6 ) = 63



1?q 2

②÷①得 1+q3=9,∴q=2.
将 q=2 代入①,得 a1= 1 , 2
∴an=a1qn-1=2n-2. 命题方向 等比数列前 n 项的性质 [例 2] 在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n. [分析] 利用等比数列前 n 项的性质求解. [解析] ∵{an}为等比数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列, ∴(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)

∴S3n= (S2n ? Sn )2 +S2n= (60 ? 48)2 +60=63.

Sn

48

[说明] 等比数列连续等段的和若不为零时,则连续等段的和仍成等比数列. 变式应用 2 等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求 S4. [解析] 解法一:∵{an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4 也为等比数列, ∴(S4-7)2=7×(91-S4),解得 S4=28 或-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0, ∴S4=28. 解法二:∵S2=7,S6=91,∴q≠1.

a1(1 ? q2 ) =7



1? q



a1(1 ? q6 ) =91



1? q

② 得 q4+q2-12=0,∴q2=3, ①

∴q=± 3 .

当 q= 3 时,a1= 7( 3 ?1) , 2
∴S4= a1(1 ? q4 ) =28. 1? q

当 q=- 3 时,a1=- 7( 3 ? 1) , 2
∴S4= a1(1 ? q4 ) =28. 1? q
探索延拓创新 命题方向 等比数列前 n 项和在实际问题中的应用 [例 3] 某公司实行股份制,一投资人年初入股 a 万元,年利率为 25%,由于某种需要, 从第二年起此投资人每年年初要从公司取出 x 万元. (1)分别写出第一年年底,第二年年底,第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和; (2)写出第 n 年年底,此投资人的本利之和 bn 与 n 的关系式(不必证明); (3)为实现第 20 年年底此投资人的本利和对于原始投资 a 万元恰好翻两番的目标,若 a=395, 则 x 的值应为多少?(在计算中可使用 lg2≈0.3) [解析] (1)第一年年底本利和为 a+a·25%=1.25a, 第二年年底本利和为(1.25a-x)+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,

第三年年底本利和为(1.252a-1.25x-x)+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x. (2)第 n 年年底本利和为 bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x. (3)依题意,有 395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x= 395 (1.2520 ? 4) 1.25(1.2519 ? 1) 1.25 ?1

= 0.25 ? 395 ? (1.2520 ? 4) .



1.2520 ?1.25

设 1.2520=t,∴lgt=20lg( 10 )=20(1-3lg2)=2. 8
∴t=100,代入①解得 x=96. 变式应用 3 某大学张教授年初向银行贷款 2 万元用于购房,银行货款的年利息为 10%,按 复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分 10 年等额还清,每年年初还 一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元? [解析] 第 1 次还款 x 元之后到第 2 次还款之日欠银行 20000(1+10%)-x=20000×1.1-x, 第 2 次还款 x 元后到第 3 次还款之日欠银行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x =20000×1.12-1.1x-x, … 第 10 次还款 x 元后,还欠银行 20000×1.110-1.19x-1.18x-…-x, 依题意得,第 10 次还款后,欠款全部还清,故可得 20000×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0,

解得 x= 20000 ?1.110 ? 0.1 ≈3255(元). 1.110 ?1

名师辨误做答

[例 4] 求数列 1,a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前 n 项和.

[误解]

所求数列的前

n

项和

Sn=1+a+a2+a3+…+a

n(n ?1) 2

?1

n ( n ?1)
=1? a 2 . 1? a

[辨析] 所给数列除首项外,每一项都与 a 有关,而条件中没有 a 的范围,故应对 a 进行

讨论. [正解] 由于所给数列是在数列 1,a,a2,a3,…中依次取出 1 项,2 项,3 项,4 项,……的 和所组成的数列.因而所求数列的前 n 项和中共含有原数列的前(1+2+…+n)项.所以

Sn=1+a+a2+…+a

n(n?1) ?1 2

.①当

a=0

时,Sn=1.②当

a=1

时,Sn=

n(n

? 1)

.③当

a≠0



a≠1

时,

2

n ( n ?1)
Sn= 1 ? a 2 . 1? a
一、选择题

课堂巩固训练

1.等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 S4 =( ) a2

A.2

B.4

[答案] C

C. 15 2

D. 17 2

[解析]

a1 ? (2 ? 24 )

由题意得 S4 = 1 ? 2 = 15 .故选 C.

a2

a1 ? 2

2

2.等比数列{an}的前 3 项和等于首项的 3 倍,则该等比数列的公比为( )

A.-2

B.1

C.-2 或 1

D.2 或-1

[答案] C

[解析] 由题意可得,a1+a1q+a1q2=3a1, ∴q2+q-2=0,∴q=1 或 q=-2.

3.等比数列{2n}的前 n 项和 Sn=( )

A.2n-1

B.2n-2

C.2n+1-1

D.2n+1-2

[答案] D

[解析] 等比数列{2n}的首项为 2,公比为 2.

∴Sn= a1(1 ? qn ) = 2(1 ? 2n ) =2n+1-2,故选 D.

1? q

1? 2

二、填空题 4.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N+),则 a5=
.(用数字作答) [答案] 16 255 [解析] 考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式.

;前 8 项的和 S8=

q= an?1 =2,a5=a1·q4=16, an

S8= a1(1 ? q8 ) =28-1=255. 1? q

5.在等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q=

.

[答案] 3

[解析] ∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,

两式相减,得 a3-a4=-2a3,

∴a4=3a3,∴q=3.

三、解答题

6.在等比数列{an}中,已知 a6-a4=24,a3·a5=64,求数列{an}的前 8 项和.

[解析] 解法一:设数列{an}的公比为 q,根据通项公式 an=a1qn-1,由已知条件得

a6-a4=a1q3(q2-1)=24,



a3·a5=(a1q3) 2=64,



∴a1q3=±8.

将 a1q3=-8 代入①式,得 q2=-2,没有实数 q 满足此式,故舍去.

将 a1q3=8 代入①式,得 q2=4,∴q=±2.

当 q=2 时,得 a1=1,所以 S8= a1(1 ? q8 ) =255; 1? q

当 q=-2 时,得 a1=-1,所以 S8= a1(1 ? q8 ) =85. 1? q
解法二:因为{an}是等比数列,所以依题意得 a24=a3·a5=64, ∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.
因为{an}是实数列,所以 a6 >0, a4

故舍去 a4=-8,而 a4=8,a6=32,从而 a5=± a4 ? a6 =±16.

公比 q 的值为 q= a5 =±2, a4
当 q=2 时,a1=1,a9=a6q3=256, ∴S8= a1 ? a9 =255;
1? q

当 q=-2 时,a1=-1,a9=a6q3=-256, ∴S8= a1 ? a9 =85.
1? q

课后强化作业

一、选择题

1.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( )

A.81

B.120

C.168

[答案] B

[解析] 公式 q3= a5 = 243 =27,q=3,a1= a2 =3,

a2 9

q

D.192

S4= 3(1 ? 34 ) =120. 1?3
2.已知等比数列的前 n 项和 Sn=4n+a,则 a=( )

A.-4

B.-1

C.0

[答案] B

[解析] 设等比数列为{an},由已知得 a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12, a3=S3-S2=48,∴a22=a1·a3, 即 144=(4+a)×48,∴a=-1.

3.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于(

A.31

B.33

C.35

[答案] B

D.1
) D.37

[解析] 解法一:S5= a1 (1? q5) = a1(1 ? 25 ) =1

1? q

1? 2

∴a1= 1 31

∴S10=

a1(1 ?

q10 )

=

1 (1? 31

210 )

=33,故选

B.

1? q

1? 2

解法二:∵a1+a2+a3+a4+a5=1 ∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)·q5=1×25=32

∴S10=a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.

4.已知等比数列{an}中,公比 q 是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和为( )

A.514

B.513

C.512

D.510

[答案] D

a1+a1q3=18

[解析] 由已知得



a1q+a1q2=12

解得 q=2 或 1 . 2
∵q 为整数,∴q=2.∴a1=2.

∴S8= 2(1 ? 28 ) =29-2=510. 1? 2

5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( )

A. 15 2

B. 31 4

C. 33 4

D. 17 2

[答案] B

[解析] 设公比为 q,则 q>0,且 a23=1,



a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=

1 q2

+

1 q

+1=7,

即 6q2-q-1=0,

∴q= 1 或 q=- 1 (舍去),

2

3

∴a1=

1 q2

=4.

∴S5=

(4 1? 1?

1
25 1


=8(1-

1 25

)=

31 . 4

2

6.在等比数列{an}(n∈N+)中,若 a1=1,a4= 1 ,则该数列的前 10 项和为( 8

A.2- 1 28

B.2- 1 29

C.2- 1 210

[答案] B

[解析] ∵a1=1,a4= 1 , 8

∴q3= a4 = 1 ,∴q= 1 .

a1 8

2


D.2- 1 211

[1 1 ?(1)10]

∴S10=

2 1? 1

=2[1-(

1 2

)10]=2-

1 29

,故选

B.

2

7.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比 q 等于( )

A.2

B.-2

C. 1 2

D.- 1 2

[答案] A

S3= a1(1 ? q3) =3,



1? q

[解析]

S6= a1(1 ? q6 ) =27, ② 1? q

② 得 1? q6 =9,解得 q3=8. ① 1? q3

∴q=2,故选 A.

8.正项等比数列{an}满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前 10 项和是( )

A.65

B.-65

C.25

D.-25

[答案] D

[解析] ∵{an}为正项等比数列,a2a4=1, ∴a3=1,又∵S3=13,∴公比 q≠1.

又∵S3= a1 (1? q3) =13,a3=a1q2, 1? q

解得 q= 1 . 3

∴an=a3qn-3=( 1 )n-3=33-n, 3

∴bn=log3an=3-n.

∴b1=2,b10=-7.

∴S10= 10(b1 ? b10) = 10? (?5) =-25.

2

2

二、填空题

9.等比数列 1 ,-1,3,…的前 10 项和为

.

3

[答案] - 14762 3

[解析]

S10=

1[1 ? 3

(?3)10]
=-

14762

.

1? 3

3

10.(2011·北京文,12)在等比数列{an}中,若 a1= 1 ,a4=4,则公比 q= 2

;a1+a2+…+an=

.

[答案] 2,2n-1- 1 2

[解析] 本题主要考查等比数列的基本知识,利用等比数列的前 n 项和公式可解得.

a4 a1

=q3=

4 1

=8,所以 q=2,所以

a1+a2+……+an=

1 2

(1 ?

2n

)

=2n-1-

1

1? 2

2

.

2

2n-1 (n 为正奇数)

11.已知数列{an}中,an=

,则 a9=

.

2n-1 (n 为正偶数)

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9=

.

[答案] 256 377

[解析] a9=28=256, S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377. 12.在等比数列{an}中,已知对于任意 n∈N+,有 a1+a2+…+an=2n-1,则 a21+a22+…+a2n=

.

[答案] 1 ×4n- 1 33
[解析] ∵a1+a2+…+an=2n-1, ∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2), 两式相减,得 an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1, ∴a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-1,

∴a21+a22+…+a2n= 1 ? 4n = 1 ×4n- 1 . 1?4 3 3

三、解答题

13.在等比数列{an}中,已知 a3=1 1 ,S3=4 1 ,求 a1 与 q.

2

2

S3= a1(1 ? q3) =4 1 1?q 2

[解析] (1)若 q≠1,则



从而解得 q=1 或 q=- 1 . 2

q=- 1 2

∵q≠1,∴

.

a3=a1q2=1 1 2

a1=6

S3=3a1=4 1

q=1

2

(2)若 q=1,则

,∴

.

a3=a1=1 1 2

q=- 1

q=1

2

综上所述得

,或

a1=1 1 2
.

a1=6

a1=1 1

2

14.(2011·大纲文科,17)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn.

[分析] 设出公比根据条件列出关于 a1 与 q 的方程.求得 a1 与 q 可求得数列的通项公式和

前 n 项和公式.

[解析] a1q=6

设{an}的公比为 q,由已知有:

a1=3

a1=2

.解得



6a1+a1q2=30

q=2

q=3

(1)当 a1=3,q=2 时,

an=a1·qn-1=3×2n-1

Sn= a1(1 ? qn ) = 3? (1 ? 2n ) =3×(2n-1)

1? q

1? 2

(2)当 a1=2,q=3 时,an=a1·qn-1=2×3n-1

Sn= a1(1 ? q n ) = 2 ? (1 ? 3n ) =3n-1.

1? q

1?3

综上,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或 an=2×3n-1,Sn=3n-1. 15.已知实数列{an}是等比数列,其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3,…). [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q(q∈R 且 q≠1), 由 a7=a1q6=1,得 a1=q-6,从而 a4=a1q3=q-3, a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1, 因为 a4,a5+1,a6 成等差数列, 所以 a4+a6=2(a5+1) 即 q-3+q-1=2(q-2+1), q-1 (q-2+1)=2(q-2+1).

所以 q= 1 . 2
故 an=a1qn-1=q-6·qn-1=qn-7=( 1 )n-7. 2

(2)证明:Sn=

a1(1 ? qn 1? q

)

=

6[4 1?(1)n] 2
1? 1

2

=128[1-( 1 )n]<128. 2
16.2011 年暑期人才招聘会上,A、B 两家公司分别开出了工资标准:

A 公司

B 公司

第一年月工资为 1500 元,以后每一年月工资 第一年月工资为2000 元,以后每一年月工资

比上一年月工资增加 230 元.

比上一年月工资增加 5%.

大学生王明被 A、B 两家公司同时录取,而王明只想选择一家连续工作 10 年,经过一番思考,

他选择了 A 公司,你知道为什么吗?.

[解析]

A 公司

B 公司

第一年月工资为 1500 元,以后每一年月工资 第一年月工资为2000 元,以后每一年月工资

比上一年月工资增加 230 元.

比上一年月工资增加 5%.

第 n 年月工资为 an

第 n 年月工资为 bn

王明 首项为 1500,公差为 230 的等差数列 首项为 2000,公比为 1+5%的等比数列

的选 择过 程

an=230n+1270 S10=12(a1+a2+ … +a10) =12 × [ 10 × 1500+ 10? (10 ?1) ×230]=304200
2

bn=2000(1+5%)n-1 T10=12(b1+b2+…+b10)
=12× 2000 (1?1.0510) ≈301869 1 ? 1.05

结论

显然 S10>T10,故王明选择了 A 公司


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