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2018年人教A版数学必修5 必修5 第1章 1.1.2 余弦定理_图文

阶 段 一 阶 段 三 1.1.2 余弦定理 阶 段 二 学 业 分 层 测 评 1.掌握余弦定理及其推论.(重点) 2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点) 3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 余弦定理及其变形 阅读教材 P5~P6 完成下列问题. 1.三角形中任何一边的 平方 等于其他两边的 平方 的和减去这两边与它们 的 夹角 的余弦的积的 两倍 . 2 2 b + c -2bccosA 即a = 2 2 2 a + c -2accos B , ,b = 2 2 2 a + b -2abcos C . c= 2 2.余弦定理的变形 b2+c2-a2 2bc cos A= a2+c2-b2 cos B= 2ac a2+b2-c2 2ab cos C= ; ; . 1.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120° ,则边 c=________. 【解析】 根据余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120° =76,c=2 19. 【答案】 2 19 2.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B=________. 【解析】 c2+a2-b2 4+1-3 1 cos B= 2ac = 4 =2,B=60° . 【答案】 60° 教材整理 2 余弦定理及其变形的应用 阅读教材 P6~P7,完成下列问题. 1.利用余弦定理的变形判定角 在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为 直角 ;c2>a2+b2?C 为 钝角 ;c2<a2+b2?C 为 锐角 . 2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. (1)已知三边,求 三角 . (2)已知 两边 和它们的 夹角 ,求第三边和其他两个角. 1.在△ABC 中,若 a2=b2+bc+c2,则 A=________. 【解析】 ∵a2=b2+bc+c2, ∴b2+c2-a2=-bc, b2+c2-a2 -bc 1 ∴cos A= 2bc = 2bc =-2, 又∵A 为△ABC 的内角, ∴A=120° . 【答案】 120° 2.以下说法正确的是________(填序号). ①在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形,但不能用 余弦定理去解; ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系, 因此, 它适应于任何三角形; ③利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题; ④在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例. 【解析】 ①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已知两边及一 边的对角,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理求解. ②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. ③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确. ④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广. 【答案】 ②③④ [小组合作型] 已知两边及一角解三角形 在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30° ,求角 A,角 C 和边 a. 【精彩点拨】 解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和 角.也可以由余弦定理列出关于边长 a 的方程,首先求出边长 a,再由正弦定理 求角 A,角 C. 【自主解答】 法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30° , ∴a2-9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30° ,∴C=120° . 1 6×2 asin B 当 a=6 时,由正弦定理 sin A= b = 3 =1. ∴A=90° ,∴C=60° . 1 3 3 法二:由 b<c,B=30° ,b>csin 30° =3 3×2= 2 知本题有两解. 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C= b = 3 = 2 , ∴C=60° 或 120° ,当 C=60° 时,A=90° , 由勾股定理 a= b2+c2= 32+?3 3?2=6, 当 C=120° 时,A=30° ,△ABC 为等腰三角形, ∴a=3. 已知三角形的两边与一角解三角形, 必须先判断该角是给出两边中一边的对 角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若 是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第 三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边.) [再练一题] 1.在△ABC 中,边 a,b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根,C=60° ,求 边 c. 【解】 由题意:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19, ∴c= 19. 已知三边解三角形 在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sin C. 【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角? (2)求 sin C 能否应用余弦定理? 【自主解答】 ∵a>c>b,∴A 为最大角, 由余弦定理的推论,得: b2+c2-a2 32+52-72 1 cos A= 2bc = =-2, 2×3×5 3 ∴A=120° ,∴sin A=sin 120° =2. a c 由正弦定理sin A=sin C,得: 3 5× 2 csin A 5 3 sin C= a = 7 = 14 , 5 3 ∴最大角 A 为 120° ,sin C= 14 . 1.本题已知的是三条边,根据大边对大角,找到最大角是解题的关键. 2.已知三边解三角形的方法:先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或 余弦定理求出另一角,最后用三角形的内角和定理求第三角. [再练一题] 2.在△ABC 中,a2-c2+b2=ab,求角 C. 【解】 ∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴a2-c2+b2=2

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