tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

201502雷勇平面几何


平面几何培训讲义 四点共圆问题
例 1:给定锐角 ? ABC ,以 AB 为直径的圆与边 AB 上的高线 CC ? 及其延长线交 于点 M、N,以 AC 为直径的圆与边 AC 上的高线 BB? 及其延长线交于点 P、Q, 证明 M、P、N、Q 四点共圆。 例 2:已知 O 为锐角 ? ABC 内一点,点 O 在 BC、AC、AB 上的投影分别为 A1 、

B1 、 C1 ,过点 A、B 分别作 B1C1 、 A1C1 的垂线交于点 P,记 P 在 AB 上的投影为
H.证明 A1 、 B1 、 C1 、H 四点共圆。 例 3:ABCD 是圆内接四边形,AC 是圆的直径, BD ? AC ,AC 与 BD 的交点为 E,点 F 在 DA 的延长线上,联结 BF,点 G 在 BA 的延长线上,使得 DG / / BF , 点 H 在 GF 的延长线上, CH ? GF ,证明:B、E、F、H 四点共圆。 例 4:在等腰 ? ABC 中,P 为底边 BC 上任意一点,过点 P 做两腰的平行线分别 与 AB、AC 相交与点 Q、R,又点 P ? 是点 P 关于直线 QR 的对称点。求证:点 P ? 在 ? ABC 的外接圆上。 例 5:求满足下列性质的三角形各个角度数:若 K、M 分别为边 AB、AC 上的 点,BM 与 CK 交于点 L,则四边形 AKLM 的外接圆与四边形 KBCM 的外接圆 相等。 例 6:已知圆内接四边形 ABCD,CB 与 DA 的延长线交于 P,延长 BP 到点 Q, 使得 PQ=BP, 且四边形 CAQR 及四边形 DBCS 均为平行四边形。 证明 C、 R、 Q、 S 四点共圆。 例 7:已知 S 是锐角 ? ABC 内一点,满足 ?SAB ? ?SBC ? ?SCA ,AS、BS、CS 分别与 ? SBC,? SCA,? SAB 的外接圆交于点 A1 、 B1 、 C1 (皆异于 S) 。 证明 ? A1CB,? B1 AC,?C1 BA 的面积和大于等于 ? ABC 面积的 3 倍。 例 8:已知在 ? ABC 内有一点 X,直线 AX、BX、CX 分别与 ? ABC 的外接圆交 于点 P、Q、R,在线段 XP 上取一点 U,过 U 做平行于 AB、CA 的两条直线分 别与 XQ、XR 交于点 V、W,证明:R、W、V、Q 四点共圆。

A

例 1.凸四边形 ABDF 的两组对边 AB、 FD 的延长线交于点 C,BD、AF 的延长线交于点 E.求证:
AC BD EF CB AE FD BA CF DE ? ? = 1, ? ? = 1, ? ? = 1, CB DE FA BA EF DC AC FD EB EB DC FA ? ? = 1. BD CF AE

B

F D

E

C

例 2.如图, △ABC 的内切圆分别切三 边 BC,CA,AB 于点 D,E,F,点 X 是△ABC 内的一点,△XBC 的内切圆 也在点 D 处与 BC 边相切,并与 CX, XB 分别相切于点 Y,Z. 证明: 四边形 EFZY 是圆内接四边形. (第 36 届 IMO 预选题)

A

F X Z Y E

B

A D D E M B
P

C

例 3.如图, 以△ABC 的底边 BC 为直径作半圆, 分别与边 AB 和 AC 交于点 D 和 E, 分别过点 D、 E 作 BC 的垂线,垂足依次为 F、G,线段 DG 和 EF 交于点 M. 求证: AM ? BC .(1996 国家集训队选拔)

F

GC

例 4.如图,四边形 ABCD 内接于圆,其边 AB, DC 的延长线交于点 P,AD 和 BC 的延长线交于 点 Q,过 Q 点作该圆的两条切线,切点分别为 E 和 F. 求证:P、E、F 三点共线.

B F C O A D E
A

Q

性质 1.完全四边形 ABCDEF 的三条对角线 AD、BF、CE 的中点 M、N、P 三点共线.(牛顿线)
M B N

F

D E

性质 2.完全四边形 ABCDEF 中,G、H 分别是过 E 的直 线上且在△DEF 内、在△ABE 外的两点.设直线 GF 与 HA 交于点 M,直线 GD 与 HB 交于点 N,则 M、N、C 三点 共线.

C

P

H

A

M

B N G

F D

E C

笛沙格定理若△ABH 和△FDG 的对应顶点的连线
AF、HG、BD 所在直线交于一点 E,则△ABH 和△FDG 的三对对应边 AB 与 FD、 HB 与 GD、 HA 与 GF 所在直线 的交点 C、N、M 三点共线.
H

A

M

B N G

F D

E C

G
性质 3.在完全四边形 ABCDEF 中,G 是对角线 AD 所在 直线上的一点,连结 BG、 CG、 EG、 FG,若∠AGC=∠AGE, 则∠AGB=∠AGF.注:此结论对其它几种情况同样适 用.(1)点 G 在线段 AD 上;(2)点 G 在 AD 的延长线上(又 分成∠AGC 大于、等于、小于 90°三种情况).

A B C D E F

A
性质 4.在完全四边形 ABCDEF 中,过 B、F 分别作 与对角线 AD 平行的直线,交对角线 CE 于点 G、 H, 连 BH、FG 相交于点 P,则点 P 在直线 AD 上.

B C G

D P Q H

F

E

A
有限制条件的完全四边形一: 在完全四边形 ABCDEF 中,点 M 是其 Miquel 点,且 AC⊥BE,AE⊥CF,则:(1) 点 M 在 CE 上,且 A、D、M 共线,DM⊥CE.(2)以 MB 为 直径的圆交 BC 于点 P,交 CE 于点 Q,则 PQ//AE;以 MF 为直径的圆交 FE 于点 R,交 CE 于点 S,则 RS//AC.

B F D C M E

有限制条件的完全四边形二: 在完全四边形 ABCDEF 中,点 M 是其 Miquel 点,且 B、 C、E、F 共圆 O,则:(1)点 M 在对角线 AD 上;

(2)AM 平分∠CME,AM 平分∠BMF,且 C、O、M、E 四点共圆, 点 B、O、M、F 四点共圆. (3)OM⊥AD
B D

A

F

O

M

C

E

有限制条件的完全四边形三: 在完全四边形 ABCDEF 中,点 M 是其 Miquel 点,且 A、 B、D、F 四点共圆 O,则: A (1)点 M 在对角线 CE 上; (2) OM ? CM ;(3)OM 平分∠BMF,
O F B D

例 5: ? ABC 具有下面性质:存在一个内部 的点 P,使得 ?PAB ? 10? , ?PBA ? 20? , ?PCA ? 30? ,?PAC ? 40? , 证明:? ABC 是 等腰三角形。
C

M

E

例 6:在 ? ABC 中, ? A 的内角平分线交 BC 于点 D,联结 ? ABD,? ACD 的内心 I1 、 I 2 ,分别交边 AB、AC 于点 M、N。证明: BN 与 CM 的交点在边 AD 上。 例 7:四边形 ABCD 内接于圆,AB、DC 的延长线交于 E,AD、BC 的延长线交 于 F,P 为圆上任一点,PE、PF 分别交圆于 R、S。 若对角线 AC 与 BD 相交于 T,求证:R、T、S 三点 共线。

A

F

B

O M H

N

E C


推荐相关:

201502雷勇平面几何.doc

201502雷勇平面几何_数学_自然科学_专业资料。平面几何培训讲义 四点共圆问

201502雷勇数论.doc

201502雷勇数论 - 徐州培训讲稿 整除的定义:设 a,b 为二整数,且 b

基于H_B准则的公路桥梁桩基嵌岩深度计算_雷勇.pdf

基于H_B准则的公路桥梁桩基嵌岩深度计算_雷勇 - 第 36 卷第 2 期 2015 年 2 月 DOI:10.16285/j.rsm.2015.02.022 岩土力学 Rock and...

雷勇文继续教育.doc

雷勇文继续教育 - 蓬安县中小学教师申报 专业技术职务继续教育审核表 申报人:雷勇文 申报职称名称:中学英语一级教师 工作单位:四川省蓬安县实验中学 规范性 学时...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com