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二次项定理典型例题 学生用-


典型例题
1 ? ? 例 1 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项. 4 2 x? ?
例2 求? x ?
n

? ?

1 ? ? 的展开式中,系数绝对值最大的项以及系数最大的项. 3 2 x?

10

例3

已知 (1 ? 2 x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 ,求: (1) a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a7 ; (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (3)

a0 ? a2 ? a4 ? a6 .

例4 例5 例6 例7

(1)求 (1 ? x)3 (1 ? x)10 展开式中 x 5 的系数; (2)求 ( x ? 求 (1 ? x ? x 2 ) 6 展开式中 x 5 的系数. 求证: (1) C1 ? 2C 2 ? ? ? nC n ? n ? 2n ?1 ; (2) C0 ? n n n n 利用二项式定理证明: 32n? 2 ? 8n ? 9 是 64 的倍数.
5

1 ? 2) 6 展开式中的常数项. x

1 1 1 2 1 1 . Cn ? Cn ? ? ? Cn ? (2n?1 ? 1) . n 2 3 n ?1 n ?1

3 ? ? 例 8 展开 ? 2 x ? ? . 2x2 ? ?
例9 若将 ( x ? y ? z )10 展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为( A.11 例 10 若? x ? B.33
n

) .

C.55

D.66

? ?

1 ? ? 2 ? 的展开式的常数项为 ? 20 ,求 n . x ?
10

1 ? ? 例 11 ? x ? 3 ? 的展开式的第 3 项小于第 4 项,则 x 的取值范围是______________. x? ?
例 12 已知 ( x
log 2 x

∶∶ ? 1) n 的展开式中有连续三项的系数之比为 1 2 3 ,这三项是第几项?若展开式的倒数第二项为

112 ,求 x 的值.
例 13 例 14

(1 ? 2 x) n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
设 f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ( m, n ? N ? ),若其展开式中关于 x 的一次项的系数和为11 ,问 m , n 为何值时,含
m n

x 2 项的系数取最小值?并求这个最小值.
例 15 若 (3x ? 1) ? a7 x ? a6 x ? ? ? a1 x ? a0 ,
7 7 6

求(1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ;(2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ;(3) a0 ? a2 ? a4 ? a6 . 例 16 填空:(1) 2 ? 3 除以 7 的余数_____________;(2) 55 ? 15 除以 8 的余数是________________.
30 55

例 17

求证:对于 n ? N ? , ?1 ?
2 5

? ?

1? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? n ? ? n ?1?

n

n ?1



例 18

在 ( x ? 3x ? 2) 的展开式中 x 的系数为(

) .
1

A.160 例 19 已知 ?

B.240
9

C.360

D.800

?a 9 x? ? 的展开式中 x 3 的系数为 ,常数 a 的值为___________. ? ?x ? 4 2? ?

1 2 3 例 20 (1)求证:1 ? 3Cn ? 32 ? Cn ? 33 ? Cn ? ? ? (?1) n 3n ? (?2) n

(2)若 (2 x ? 3 ) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ,求 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 的值.
4 2 3 4

例 21 例 22

若 n ? N ? ,求证明: 32 n?3 ? 24n ? 37 能被 64 整除.
2

已知 ( x 3 ? 3x 2 ) n 的展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.

例 23

0 p 1 p 0 p 求证:(1) Cn Cm ? CnCm ?1 ? ? ? Cnp Cm ? Cm? n ;

0 2 4 n (2) Cn ? 32 Cn ? 34 Cn ? ? ? 3n Cn ? 2 ? 4n ?1 ? 2n ?1 ( n ? 2 K , n ? N * )

选择题 1.在今年公务员录用中,某市农业局准备录用文秘人员二名,农业企业管理人员和农业法宣传人员各一名,报考农业 公务员的考生有 10 人,则可能出现的录用情况种数是( A.5040 B.2520 C.1260 A.9 B.10 C.19 ) D.210 ) D.20

2. 若一位学生把英语单词“error”中字母的拼写错了,则可能出现错误的种数是(

3.从 10 个学生中挑选若干人组成一组,如果必含其中某人的组合数等于必不含某人的 组合数,则这样的一个组合的人数有( )

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 4. 4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得 100 分,答错得-100 分;选乙题答对得 90 分,答错得-90 分.若 4 位同学的总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的 种数是 ( ) A.48 B.36 C.24 D.18 5.小王打算用 70 元购买面值为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡,若他至少买一张, 则不同的买法一共有( ) A.5 种 B.6 种 C.7 种 D.8 种 6.编号为1、2、3、4、5的五个人,分别去坐在编号为1、2、3、4、5的五个 座位上,至多有两个号码一致的坐法有( )种. A.120 B.119 C.110
2 2

D.109

7.已知直线 ax ? by ? 1 ? 0 (a,b 不全为 0)与圆 x ? y ? 50 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么 这样的直线共有( A.60 条 ) B.66 条 C.72 条 D.78 条

8.从 1、2、3、4、5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数,当三个数字有 2 和 3 时,则 2 需排在 3 的前面(不一定相邻),这样的三位数有 ( ) A.9 个 B.15 个 C.45 个 D.51 个 9.在某市举行的“长城杯”足球比赛中,由全市的 6 支中学足球队参加.比赛组委会规定:比赛采取单循环赛制进行, 每个队胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.在今年即将举行的“长城杯”足球比赛中,参加比赛的市第 一中学足球队的可能的积分值有 A.13 种 B.14 种 C.15 种 D.16 种 ( )

10.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,其肽链由7种不同的氨基酸构成,
2

若只改变其中的三种氨基酸的位置,其余四种不变,则不同的改变方法有( A.210 B.126 C.70 D.35 11.北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作,

)种.

若每天排早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同 的排班种数为( ) A.
12 4 C14 C12C84

B.

12 4 C14 A12 A84

C.

12 4 C14 C12C84 3 A3

D.

12 4 3 C14 C12C84 A3

12.某中学拟于下学年在高一年级开设《矩阵与变换》《信息安全与密码》《开关电路与布尔代数》等三门数学选修 、 、 课程。在计划任教高一的 10 名数学教师中,有 3 人只能任教《矩阵与变换》 ,有 2 人只能任教《信息安全与密码》 , 另有 3 人只能任教《开关电路与布尔代数》 ,这三门课都能任教的只有 2 人。现要从这 10 名教师中选出 9 人,分别 担任这三门选修课程的任课教师,且每门课程安排 3 名教师任教,则不同的安排方案共有: ( A. 8 种 B. 12 种 C. 14 种 D. 16 种 )

填空题 13. 有10个优秀名额,分到高三年级一、二、三班,他们各班的名额数不少于 他们的班级数,共有 种分配方案. 14.六名同学报考 A、B、C 三所学校,如果每所学校至少有 1 人报考,则不同的报考方法 共有 种。 个. 15. “渐升数”是指正整数中每个数字比其左边的数字大的数,如:24578, 则五位“渐升数”共有 16.雅典奥运会的第三天共产生 8 枚金牌,分别为中国 4 枚,美国 2 枚,日本、希腊各一枚,在奏国歌的先后顺序中, 奏希腊国歌的前后都是奏中国国歌,美国国歌不连在一起奏的,则这天奏国歌的不同顺序有__ ___ _种。 17.如图,其中A、B、C、D为四个村庄, 要修筑三条公路,将这四个村庄连接起来, 则不同的修筑方案共有 种。

A D C B

解答题 18.从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数、四个奇数,试问: (1).能组成多少个没有重复数字的七位数? (2).上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? (3).(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? (4).(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?

19.平面上有 9 个点,其中 4 个点在同一条直线上,此外任三点不共线. (1)过每两点连线,可得几条直线? (2)以每三点为顶点作三角形可作几个? (3)以一点为端点作过另一点的射线,这样的射线可作出几条? (4)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量?

20.某种产品有 3 只不同的次品和 6 只不同的正品,每次取出一只测试,直到 3 只次品 全部测出为止,求第三只次品在第 6 次测试时被发现的不同的测试情况有多少种.

3


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