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浅谈高中常用的数学思想方法与解题


浅谈高中常用的数学思想方法与解题 摘要:许多高中学生对于课本上的内容能看懂,老师讲的知识能听懂,但是 到了考场解题时却存在很多障碍。其主要原因是缺乏必要的数学思想方法,找不 到解题思路,所以领会掌握数学思想方法是必要的。 关键词:数学思想;方法;解题 高考题十分重视对数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解 答过程都蕴含着重要的思想方法。 这是因为教学思想方法比数学基础知识有较高 的地位和层次。凡是有助于提高数学学习质量、学习效益的程序、规则、技巧及 调控方式均属于数学方法。高中常用的数学方法有:配方法、换元法、待定系数 法、数学归纳法、参数法、消去法等,掌握这些方法,有利于提高解题能力。 一、配方法 例 1:求 y=x+的最小值 解析:y=x+=x-1+ +1=(+ )2+ 因为≥0 所以当 =0 时,ymin= + =1 评注:二次函数或形如 F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]类的函数的值域问题,均可用 配方法。 二、换元法 例 2:已知 a、b R,a2+b2≤4,求证|3a2-8ab-3b2|≤20 证明:因为 a、b R,a2+b2≤4,故可设 a=rcosθ,b=rsinθ,其中 0≤r≤2,所以 |3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|≤5r2≤20,所以原不等式成立。 评注:三角代换是最常见的变量代换,凡条件为,x2+y2=r2 或 x2+y2≤r2 或 ± = 1 均可用三角换元。 三、待定系数法 例 3:求焦点在坐标轴上,且经过点 M(2,-)和点 N(-1, )的椭圆的标准 方程。 解析:设椭圆标准方程为 +=1(A>0,B>0,A≠B) 因为椭圆经过(2,-)和(-1, )两点。 所以 故所求椭圆的标准方程是+=1 评注:由题设条件,椭圆的焦点在哪个坐标轴上,不明确,而椭圆的标准方 程有两种形式,为了计算方便,可设方程为 + =1(A>0,B>0,A≠B) ,这样 不必考虑焦点位置,直接可求出方程。 四、数学归纳法 例 4:试比较(n+1)2 与 3n(n N+)的大小 解析:当 n=1 时,左=(1+1)2=4,右=31=3,所以左>右 当 n=2 时,左=(2+1)2=9,右=32=9,所以左=右 当 n=3 时,左=(3+1)2=16,右=33=27,所以左<右 当 n=4 时,左=(4+1)2=25,右=34=81,所以左<右 由此猜想,当 n≥3,n N 时, (n+1)2<3n,下面用数学归纳法证明: 假设 n=k(k≥3)时,命题成立,即(k+1)2<3K 那么 n=k+1 时,3k+1=3.3K>3 (k+1)2,下面只需证 3(k+1)2>(k+2)2,即证 3k2+6k+3>k2+4k+4,即证 2k2+2k>1 又 k≥3,不等式 2k2+2k>1 显然成立。 因为 n=k+1 时,猜想成立,由归纳假设知当 n≥3 时 (n+1)2<3n 评注:“归纳,猜想、证明”是一种符合由特殊到一般,由具体到抽象规律的 科学研究方法, 其过程是: 根据题目条件给出的或通过计算得出的有限个事例进 行观察、试验、归纳、猜想出符合规律的结论,然后用数学归纳法证明。 五、参数法 例 5:一条直线被两直线 L1:4x+y+6=0,L2:3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰 好是坐标原点,求该直线的方程。 解析:设所求直线与 L1、L2 的交点分别是 A、B 设 A(x0、y0) 因为 AB 的中点是坐标原点,所以 B(-x0、-y0) ,又因为 A、B

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